Презентация к уроку. " Физический смысл производной в решении задач".Алгебра 10 класс

«Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

Н.И. Лобачевский

Тестовое задание

Тестовое задание

Номер задания

1

Ответ (буква)

Ф 

2

3

Л 

Ю 

4

5

К 

С 

6

7

  И

  Я

О великом Ньютоне!

Исаак Ньютон один из создателей дифференциального исчисления.

Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».-оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её физический и механический смысл.

Интересно: Исаак Ньютон называл производную флюксией , а саму функцию - флюентой.

ЗАДАЧА. Мама с своей дочкой гуляла в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону φ ( t)= 1/9 t³- 2/ 5t² . Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 3 м/с². В какой момент времени необходимо сделать снимок?

Тема урока: Физический смысл производной в решении задач

Цель урока:

• Повторить основные формулы и правила дифференцирования.
• Рассмотреть на примерах решения практических задач, как применяется производная в химии, физике, биологии, экономике.

Физический смысл

производной

Повторим:

Если известен закон движения

материальной точки (тела)

x(t) , s(t) или φ (t) , то мгновенная

скорость в момент времени t

вычисляется по формуле

v(t) = x ׳ (t) = s ׳ (t) = φ ׳ (t) ,

а ускорение a ( t) = v ׳ (t) = x ׳׳ (t) .

№ 1.

При движении тела по прямой расстояние

S( км) от начальной точки меняется по закону  S(t) = 8 t + t³ . Найдите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2 с.

Решение: v(t) = S ׳ (t).

v(t) = 8+3 t²

v( 2 ) = 8+3 · 2² = 20

Ответ: 20 м/с.

№ 2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону  x(t) = 1/6 t² + 5 t + 28 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения).

В какой момент времени её скорость будет равна 6 м/с?

Решение: v(t) = x ׳ (t).

v(t) = 1 /3 t + 5

1 /3 t + 5 = 6

Ответ: 3 с.

№ 3.

Материальная точка движется прямолинейно по закону  S(t) = t³ -3/2 t² + 2 t - 1 (где S  — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеряемое с начала движения).

В какой момент времени её ускорение будет равно 9 м/с²?

Решение: v(t) = S ׳ (t) =3 t² -3 t +2

a ( t )= v´(t) = 6 t -3

6 t -3 = 9

Ответ: 2 с.

ЗАДАЧА

Мама с своей дочкой гуляла в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать дочку. Вращение карусели совершается по закону φ ( t)= 1/9 t³- 2/ 5t² . Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 3 м/с². В какой момент времени необходимо сделать снимок?

Решение: v(t) = φ ׳ (t) =1/3 t² -5 t

a ( t )= v´(t) = 2/3 t -5

2/3 t -5 = 3

Ответ: фотографировать девочку необходимо

на 12 секунде

Производная в биологии

Задача по биологии:

• По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t .

Справка: Популяция это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

P = x’(t)

Производная в по химии

• Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Справка:

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математики концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

V(t) = p’(t)

Производительность труда

Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. 

Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой 

у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах. 

Производительность труда П(t ) есть производная объема выпускаемой продукции.

П(t )= V'(t)

Функция

ƒ(х)

Перемещение

S (t)

Производная функции

ƒ'(х)

Объём продукции

V(t)

Скорость

v (t)

Кол-во вещества

p(t)

Производительность

П (t)

Численность популяции

Р(t)

Скорость

химической

реакции

v (t)

Количество электричества

q (t)

Скорость роста популяции

v ( t )

Сила тока

I (t)

Составить « Кластер»

Производная

Продолжи фразу:

1)На уроке я работал

2) своей работой на уроке я

3)материал урока мне был

4) моё настроение

• активно/пассивно
• (доволен/ не доволен)
• ( понятен/ не понятен,

интересен/ скучен)

• (стало лучше/стало хуже)