Презентация к уроку "Тождества и тождественные преобразования"

Тождественные уравнения. Тождественные преобразования выражений

Могут ли разные выражение с одинаковыми переменными и при любых одних и тех же значениях переменных иметь равные значения?

Рассмотрим два выражения: 2( а + в ) и 2а+ 2в.

Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях а и в .

А

-1

В

-2

-2

2(а+в)

1

-6

2а+2в

0

-4

2

-6

0

2

6

1

-4

2

4

3

6

6

10

2

3

-2

14

6

10

7

8

-3

14

6

10

8

10

34

6

10

40

34

40

Как видим, значения выражений 2(а + в) и 2а + 2в равны при всех приведенных в таблице значениях а и в. А будут ли значения этих выражений равны при других значения переменных а и в?

Согласно распределительному знаку умножения, эти выражения будут иметь одинаковые числовые значения при всех значениях переменных.

Тождественно равными называются выражения, соответствующие числовые значения которых равны при любых значениях переменных,

Тождественно равными являются выражения 3а + 5а и 8а, так как при каждом значении переменной а эти выражения имеют равные числовые значения, это вытекает из распределительного закона умножения.

Два тождественно равных выражения, соединённые знаком равенства, образуют тождество.

Приведём примеры тождеств:

2( а + в ) = 2а + 2в; 3а + 5а = 8а.

Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений, такими как, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Рассмотрим примеры

Приведите подобные слагаемые в выражении:

3х + 2х – х.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Имеем: 3х + 2х – х = ( 3 + 2 – 1 )х = 4х.

Выполненное преобразование основывается на распределительном законе умножения.

Являются ли тождественными выражения :

А) ах + ах + ах и 3ах; Д) х + х + х + х и х;

Б) р²р и р³; Е) –а² и (-а)²;

В) а – с и с – а; Ж) х – 2а и -2а + х;

Г) а² + в² и ( а + в )²; З) а + с² и ( а + с )² ?

Для того чтобы утверждать, что два выражения тождественно равны, нужно доказать это, используя известные законы.

Для того чтобы утверждать, что выражения не являются тождественно равными, достаточно найти значения переменных, при которых числовые значения этих выражений будут разными.

• ВЫРАЖЕНИЯ, СООТВЕТСВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОТОРЫХ РАВНЫ ПРИ ЛЮБЫХ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПЕРЕМЕННЫХ, НАЗЫВАЮТСЯ

ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫМИ .

(a²)³ и a6

ab∙(-a²b) и –a³b²

ЗАМЕНУ ОДНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДРУГИМ, ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫМ ЕМУ, НАЗЫВАЮТ ТОЖДЕСТВЕННЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Способы доказательства тождеств: 1). Преобразование левой части тождества так, чтобы получилась её правая часть (если после преобразования левой части, выражение получится как в правой части , то данное выражение является тождеством)

2).Преобразование правой части тождества так, чтобы получилась её левая часть

3).Преобразование обеих частей тождества…..(должны получится одинаковые выражения)

• 4).Найти разность между правой и левой частями выражения. (если эта разность равна нулю, то данное выражение - тождество)

Сравните соответствующие числовые значения выражений х³ и х, если х = -1, х = 0, х = 1. тождественны ли эти выражения?

Решение

Составим таблицу по условию задачи:

Хотя значения х³ и х при х = -1, х = 0, х = 1 равны, тем не менее выражения х³ и х не являются тождественно равными, так как при х = 2 значения выражений х³ и х разные.

Х

-1

х³

0

-1

1

0

1

В тождестве 2х + 3х = 5х замените переменную х выражением а – в. Является ли полученное выражение тождеством?

Решение

Если в тождестве 2х + 3х = 5х заменить переменную х выражением а – в, то 2( а – в ) + 3( а – в ) = 5( а – в ). Полученное равенство является тождеством.

После выполнения задачи нужно подвести итог: если в тождестве вместо переменной везде написать одно и то же выражение, то получим тождество.

Подведение итогов урока

Вопросы классу:

• Какие выражения называются тождественно равными?
• Что такое тождество? Приведите примеры тождества.
• Какие преобразования выражений называют тождественными?

Спасибо за внимание!