Презентация на тему: "Показательная функция"

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Определение показательной функции, ее график

2. Методы решения показательных уравнений

3. Использование показательной функции на практике

0, a 1), называется показательной функцией с основанием a. График показательной функции называют экспонентой . " width="640"

Определение показательной функции, ее график

Функция, заданная уравнением y = a x (a0, a 1), называется показательной функцией с основанием a.

График показательной функции называют экспонентой .

Методы решения показательных уравнений:

• Графический

Пример:

= 4

Решение:

Построим графики функций y = и y =4.

Они имеют одну общую точку (2;4). Следовательно, уравнение =4 имеет единственный корень х=2.

Ответ: х=2

• Приведение к одному основанию

Пример:

* 0,5 = *

Решение:

* = *

=

х-1=

х-1=

8х-3=6х-6

2х=3

х=1,5

Ответ: х=1,5

• Разложение на множители

Пример:

+ = 520

Решение:

+ * = 520

* (1+64)= 520

=8, отсюда х=1

Ответ: х=1

0. Тогда уравнение принимает вид: + 3* t – 4= 0 D= 9 + 4*4 = 25 = = 1, отсюда х=0 = = -4 - не удовлетворяет условию замены   Ответ: х=0 " width="640"

• Введение новой переменной

Пример:

+ – 4= 0

Решение:

+ * 3 – 4= 0

Пусть = t , t 0. Тогда уравнение принимает вид:

+ 3* t – 4= 0

D= 9 + 4*4 = 25

= = 1, отсюда х=0

= = -4 - не удовлетворяет условию замены

Ответ: х=0

• Однородные уравнения

Пример 1:

= - однородное уравнение 1й степени

Решение:

=

1=

= , отсюда х=0

Ответ: х=0

0. Тогда уравнение принимает вид:   - 3* t +4 = 0 = 1, отсюда х=0 = - не удовлетворяет условию замены   Ответ: х=0   " width="640"

Пример 2:

4 * - = 3 * - однородное уравнение 2й степени

Решение:

4* - * = 3*

- - = 0

4 - - 3* = 0

Пусть = t , t 0. Тогда уравнение принимает вид:

- 3* t +4 = 0

= 1, отсюда х=0

= - не удовлетворяет условию замены

  Ответ: х=0

Использование показательной функции

В антропометрии используются как абсолютные, так и относительные величины человеческого тела. Относительные величины (индексы) менее вариативны. Введем некоторое множество относительных величин для измерения пропорций лица (точно в фас).

Лицо человека можно вписать в прямоугольник, а через визуально фиксируемые и функционально значимые точки лица проведены горизонтальные и вертикальные линии, которые разбиваю описанный вокруг лица прямоугольник на множество меньших прямоугольников. Часть из этих прямоугольников имеет пропорции, равные значениям целочисленной показательной функции y=*"n", где * - константа золотого сечения (*=1,618), а n - целое число. Так, в пропорциях лица человека были найдены и доказаны равенства и соотношения.

Примером квантования может служить разбиение непрерывного частотного диапазона октавы в музыкальной шкале на двенадцать полутонов при помощи показательной функции натурального аргумента. Как известно, в музыке используются звуки, находящиеся между собой в определенных звуко- высотных отношениях. Выбор их основан на явлениях консонанса и диссонанса.

Октава является основой первичного квантования непрерывной частотной шкалы звуков. Если считать, что человек воспринимает звуки в диапазоне 16 - 16 000 Гц, то легко подсчитать, что здесь укладывается приблизительно 10 октав. Таким образом, совершенный консонанс приводит к шкале октав или к шкале удвоения. Все октавы подобны друг другу, каждая обладает относительной целостностью, поэтому дальнейшее рассмотрение ограничим пределами одной октавы.

Шкала удвоения является частным случаем показательной функции , у которой аргумент принимает целочисленные значения. Октава делится на двенадцать равных интервалов, именуемых полутонами. Такой строй называется темперированным. Очевидно, что внутри октавы в этом случае звуки располагаются по показательному закону, где y - относительная частота звука (величина интервала), k - целое число, изменяющееся в пределах от 0 до 12. На практике величины интервалов несколько отличаются (по разным причинам) от расчетных, но эти различия незначительны, они не превосходят половины процента. Примерно такую степень отклонения величины интервала фиксируют люди с абсолютным звуко-высотным слухом.

ТЕОРИЯ СТЕРИЛИЗАЦИИ МОЛОКА

В зависимости от применяемых технических средств стерилизация молока может быть тепловой, химической или ионизированным излучением. В данном случае под термином “стерилизация” понимают тепловую стерилизацию.

Рис. 1. Полулогарифмическая зависимость изменения C/C 0 от продолжительности нагрева.

Графическое выражение (рис. 1) представляет собой семейство прямых линий {1, 2}, проходящих через начало координат. Каждый график соответствует определенной температуре. Значение log(C/C 0 ) , очевидно, всегда отрицательно, так как C/C 0 всегда меньше 1. Построенный график не соответствуют действительной форме, показывающей ход бактериологического разрушения, так как они просто представляют собой изменения логарифма количества спор, выдержавших тепловую обработку. Логарифмическую функциональную зависимость выражали как функцию, показывающую изменения, которые соответствуют числам, так как логарифм числа N является степенью, в которую возводится основание В для получения числа N .

Между числом N и его логарифмом существует следующая связь:

N = B logN .

Чтобы перейти от log(C/C 0 ) к C/C 0 , можно написать

C/C 0 = B log(C/C0 )

но

log (C/C 0 ) = - at ,

откуда

C/C 0 = B -at .

В начале координат при t = 0, C/C 0 = 1, то есть C = C 0 . Полученное выражение можно представить в виде

C=C 0 B -at

а это показательная функция y = k x .

Кривая, представляющая эту функцию, состоит из двух ветвей - параболы и гиперболы. Вторая ветвь (рис. 2) асимптотически приближается к оси x(t) .

Рис. 2. Зависимость изменения количества спор от продолжительности нагрева.

Однако тепловое разрушение микроорганизмов не всегда выражается графиком логарифмического вида, так как в чистых культурах могут содержаться более термостойкие клеточные семейства.