Презентация "Оптимизация рациона питания"

Оптимизация рациона питания

Основная задача исследования

С использованием методов линейного программирования из имеющихся в распоряжении видов продуктов составить меню, в котором удовлетворялись бы потребности организма в питательных веществах, причем стоимость его была бы минимальной

Задача №1 (о пищевом рационе)

Директору столовой нужно составить меню. В его распоряжении имеется 5 видов продуктов: хлеб, овощи, фрукты, мясо, рыба. Известно, что килограмм хлеба стоит с 1 рублей, килограмм овощей - с 2 рублей и т.д. Известно также, что килограмм хлеба содержит а 11 кг белков, а 12 кг жиров и а 13 кг углеводов и т. д. (содержание, белков, жиров и углеводов в килограмме каждого вида продуктов указано в таблице на рисунке 1). Требуется так составить меню, чтобы в нем содержалось не менее в 1 кг белков, не менее в 2 кг жиров и не менее в 3 кг углеводов, причем стоимость его была бы минимальной.

1

стоимость 1 кг

с 1

2

3

белки

хлеб

с 2

жиры

а 11

с 3

овощи

4

фрукты

а 21

а 12

углеводы

5

с 4

а 22

а 13

а 31

мясо

с 5

а 32

а 23

рыба

а 41

а 33

а 42

а 51

а 43

а 52

в 1

а 53

в 2

в 3

Решение: 1 этап. Составление математической модели.

• Пусть х 1 –количество хлеба которое войдет в меню, тогда х 2 – количество овощей и т. д. Тогда общая стоимость меню L , выразится равенством
• Ограничения на питательность меню выражаются системой неравенств

2 этап. Работа с составленной моделью

Наша задача приняла вид: найти неотрицательные значения переменных

которые удовлетворяли бы системе неравенств и обращали в минимум функцию

Это задача линейного программирования. Решить ее можно с помощью компьютера.

(о диете)

Даме необходимо похудеть, за помощью она обратилась к директору столовой. Директор посоветовал перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q . Суточное потребление этих продуктов должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий . На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий , а на упаковке килограмма продукта Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 15 рублей , а 1 кг продукта Q - 25 рублей . Так как дама была стеснена в средствах, то ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег.

продукты

стоимость 1 кг

продукта( руб)

Р

15

жиры

Q

калории

15

25

150

4

200

14

300

Решение: 1этап.Составление математической модели.

Пусть х -это количество продукта Р , а у -количество продукта Q , тогда общая стоимость меню выразится равенством z=15x+25y .

Ограничения на питательность выразятся системой неравенств:

2 этап. Работа с составленной моделью

Наша задача приняла вид: найти неотрицательные значения переменных х и у , которые удовлетворяли бы системе ограничений и обращали бы функцию z=15x+25y в минимум.

Решим эту задачу графическим методом. Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые.

0, y0 (в данном случае это треугольник DBC ) Построенную прямую перемещаем параллельно самой себе. Из рисунка следует, что наименьшее значение целевой функции достигается в точке С. Найдем координаты точки С: x=2 /3, y=1 " width="640"

• Находим многоугольник, являющийся пересечением двух полуплоскостей, причем х 0, y0 (в данном случае это треугольник DBC )
• Построенную прямую перемещаем параллельно самой себе. Из рисунка следует, что наименьшее значение целевой функции достигается в точке С. Найдем координаты точки С: x=2 /3, y=1

3 этап. Ответ на вопрос задачи

• Итак, отвечаем на вопрос задачи: в какой пропорции даме надо брать продукты P и Q , чтобы похудеть с наименьшими затратами.
• Ответ: необходимо брать 2 части продукта P и 3 части продукта Q

The end.