Презентация по теме"Теория вероятностей и математическая статистика"

Комбинаторика Теория вероятностей Математическая статистика

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. они в ряде случаев позволяют подсчитать количество всевозможных и количество благоприятных исходов.

Перестановки Размещения Сочетания

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества

• Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!

задачи

Задачи

1) Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7

3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3

2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Дополнительные задачи по комбинаторике

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов Теорема: число размещений из n по m равно

задачи

1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

Задачи

Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов Теорема: Число сочетаний из n по m равно

Следствие : Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ? Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.

Способов выбора былых шаров

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй- не более 9 человек ?

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Задачи

Теория вероятностей Вероятность события- это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

N – число всех исходов испытания

М – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности:

• 1) Вероятность достоверного события равна 1

• 2) Вероятность невозможного события равна 0

• 3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Задачи по теории вероятностей

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?

N=10; М=6; А- Извлечение белого шара

N=10; М=4; А- Извлечение черного шара

задачи

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый

• N=10; М=2
• N=10; М=4
• N=10; М=4
• N=10; М=0

Задачи

События

• Невозможные – это события, которые не могут произойти в данных испытаниях
• Достоверные – это события, которые обязательно произойдут в данных испытаниях
• Случайные – это события, которые могут произойти, а могут не произойти в данных испытаниях

Статистическая и геометрическая вероятности

Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М/N , где N- число опытов; М-число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу , равна 1.

Теорема сложения вероятностей

• Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Условной вероятностью - называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Два события называются независимыми , если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:

Р(А 1 А 2 А 3 …А n )=Р(А 1 )Р А1 (А 2 )Р А1А2 (А 3 )…Р А1А2А3 …Аn-1 (А n );

Р А1А2А3…Аn-1 (А n ) – вероятность появления события А n , вычисленная в предположении, что события А 1 А 2 А 3 …А n-1 произошли

• Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

• Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 А 2 А 3 …А n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Случайные события. Операции над событиями

Событие - явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).

Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).

Невозможным считается событие , которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

Случайные события

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В .

События А и В называются не совместными , если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А -выбивание четного числа очков; В - не четного).

События А и В называются совместным , если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А - в аудиторию вошел учитель; В - вошел студент).

Случайные события

Два события А и называются противоположными , если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А ).

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий .

События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А -орел; В -решка).

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары.

А- извлечение черного шара

В- извлечение красного шара

С- извлечение белого шара

А+В – извлечен черный или красный шар

В+С – извлечен красный или белый шар

А+С – извлечен черный или белый шар

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А , которое может наступить только при условии появления одного из событий H 1 , H 2 , H 3 ,…,H n , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H 1 , H 2 , H 3 ,…,H n на соответствующую условную вероятность события А :

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим события В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них В i событие А может наступать с некоторой условной вероятностью

Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса , формуле вероятности гипотез:

Формула Бернулли

Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р(0

q=1-p ; q - вероятность противоположного события

или

Асимптотические формулы

Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа , дающая асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно.

Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р n (m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции

Асимптотические формулы. Распределение Пуассона

Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона . Теорема:

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Р n (m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна

1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

Дополнительные задачи

Математическая статистика

Вариации это частота появления варианты (чисел ряда)

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точке Рi или «размазав» ее с плотностью Fj(х) то точка математического ожидания будет координатой «центра тяжести прямой».

Пример: пусть случайная величина равна числу очков выпадающих при одном подбрасывании кубика, тогда математическое ожидание равно:

(1+2+3+4+5+6)/6=3,5

в среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3,5 очка

Дисперсия

Медиана

Мода

Задачи для самостоятельной работы