Презентация Задачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной.

Y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

0

10

9

7

6

5

4

3

2

1

8

В начале было слово.

• К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
• Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

• Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое?
• Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

• А как Вы представляете себе мгновенную скорость?

• Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

• Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».
• Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.

Итак, проблема поставлена. Приступим к её решению.

Остановись мгновенье –

мы тебя исследуем !

Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему.

Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.

Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

Производная

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t) .

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо

s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h , или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h .

Сказанное записывают в виде

Задача о мгновенной скорости

• Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t при t → t 0 , называется мгновенной скоростью v(t 0 ) в момент времени t 0

v(t 0 ) =

А л г о р и т м

• ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0
• ∆ v = v(t+t 0 ) - v(t 0 ) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )
• .
• .

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x) .

Задача о касательной к графику функции

y

А

В

y = f(x)

М(х ,у)

∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 (х 0 ,у 0 )

С

∆ х =х-х 0

tg β =



β

x 0

x

x

При х →х 0

А л г о р и т м

1) ∆x = x – x 0

2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )

3)

4)

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ; t 1 ] ( масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

А л г о р и т м

• ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0
• ∆ f = f(t 1 ) - f(t 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 )
• .
• .

1

y

y = f(x)

A

D

M 0

C

x

O

B

Какая из прямых - АВ или С D - касается кривой в точке М 0 ?

2

Следует ли считать понятия «прямая касается кривой» и «прямая пересекает кривую» взаимоисключающими ?

3

y

x

А 0 В С D E F

Определите точки, в которых касательная существует, и точки, в которых касательная не существует

y

4

M

y=f(x)

∆ y

T

M 0

∆ x

x 0 x 0 + ∆x

x

0

Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

5

• Найдите угловой коэффициент касательной к параболе у = х 2 :
• а) в точке (1;1);
• б) в точке ( х 0 ; ).
• Используя полученный результат, найдите способ построения касательной в любой точке параболы.

6

• Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = х 3 в точках ( х 0 ; ); (1 ; 1); (0 ; 0).
• Как построить касательную к кривой у = х 3 в любой её точке ? Какая прямая является касательной в токе (0 ; 0) ?