Презентация "Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей"

Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей

Токорева Г.П.,

учитель математики МОУ «Горская сош»

Определение. Два случайных события называют независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из n попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть

Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на реклам ном стенде, равна 0,06. Чему равна вероятность того, что:

а) потребитель увидит обе рекламы;

б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Решение. Обозначим через А событие «потребитель увидит рекламу продукта по телевидению», через В событие «потребитель увидит рекламу продукта на рекламном стенде». События А и В независимые.

а) Событие С «потребитель увидит обе рекламы» является произведением событий C=A ·B . Из условия задачи известны вероятности P(A)= 0,04 и P(B)= 0,06 . По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

б) Определим событие D «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Тогда получаем:

Определение. Условной вероятностью (обозначение P А (B) или P(B | A) ) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, то есть

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий. Например, для трех событий формула имеет вид

. В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие Б 1 состоит в том, что первый шар белый, а событие Б 2 – второй шар белый. Из условия задачи имеем вероятность P (Б 1 )=

. После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 5 шаров и среди них 1 белый. Тогда получае м P Б1 (Б 2 )=

По теореме умножения зависимых событий находим

В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы – женщины, а 6,4% работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение . Переформулируем задачу: какова вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату? Определим событие А – «случайно выбранный работник – женщина», событие В – «случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату».

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.