Прикладные задачи по геометрии

Прикладные задачи по геометрии

Предлагаемый дидактический материал предназначен для использования при подготовке учащихся к ОГЭ или включении в урок при изучении указанных тем в качестве самостоятельной работы. Первый вариант разбирается коллективно, второй и третий самостоятельно, в качестве закрепления навыка решения практических задач, используя геометрические понятия и теоремы.

Тема: Теорема Пифагора

Вариант 1

1. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 9 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

2. Лестница длиной 2,5 м прислонили к дереву. Найдите высоту, на которой находится ее верхний конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м. Ответ дайте в метрах.

3. Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.

4. В 32 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 37 м, а другой – 13 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

5. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 16 км/ч и 30 км/ч. Какое расстояние ( в километрах) будет между ними через 3 часа ?

. Лестница соединяет точки А и В и состоит из 50 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками А и В (в метрах).

Вариант 2

1. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,6 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,5 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

2. Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если ее верхний конец находится на высоте 1,6 м над землей, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м. Ответ дайте в метрах.

3.Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 12 м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.

4.В 21 м одна другой растут две сосны. Высота одной 39 м, а другой – 11 м. Найдите расстояние (в метрах между их верхушками.

5.Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорость из равна соответственно 21 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?

. Лестница соединяет точки А и В и состоит из 50 ступеней. Высота каждой ступени равна 13 см, а длина – 84 см. Найдите расстояние между точками А и В (в метрах)

Вариант 3

1. Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 4,2 м. Длина троса равна 7 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ дайте в метрах.

2.Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если ее верхний конец находится на высоте 3,5 м над землей, а нижний отстоит от дерева на 1,2. Ответ дайте в метрах.

3.Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну третьего этожа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах?

4.В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 50 м, а другой – 18 м. Найдите расстояние (в метрах) между верхушками.

5.Два парохода из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорость их равна соответственно 28 км/ ч и 21 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 5 часов?

. Лестница соединяет точки А и В и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 25,5 см, а длина – 34 см. найдите расстояние между точками А и В (в метрах).

Тема: Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции. Подобие треугольников

Вариант 1

1.Проектор полностью освещает экран А высотой 160 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 80 см, чтобы он был полностью отвещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

2.Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см.рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большой опоры 2,5 м. Найдите высоту малой опоры. Ответ дайте в метрах.

3.Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 18 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна двум шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

4.Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 19,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Вариант 2

1.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 330 см, чтобы он был полностью отвещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

2.Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см.рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

3.Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

4.Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 16 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 8 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Вариант 3

1.Проектор полностью освещает экран А высотой 140 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 360 см, чтобы он был полностью отвещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

2.Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см.рис.). Высота малой опоры 2,25 м, высота большей опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

3.Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 17 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна пяти шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

4.Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Тема: Окружность

Вариант 1

1.Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 4 ч?

2.Какой угол (в градусах) образует минутная и часовая стрелка в 9 ч?

3. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 1 час 50 минут?

4.Колесо имеет 5 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

5.Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 12º

Вариант 2

1.Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелка часов в 11 ч?

2.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 5 минут?

3.Какой угол(в градусах) описывает часовая стрелка за 1 час 22 минуты?

4.Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

5.Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 40º?

Вариант 3

1.Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелка часов в 8 ч?

2.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 30 минут?

3.Какой угол(в градусах) описывает часовая стрелка за 2 часа 52 минуты?

4.Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

5.Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 15º?

Тема: Площадь прямоугольника. Площадь квадрата.

Вариант 1

1.Площадь прямоугольного земельного участка равна 11 га, ширина участка равна 200 м. Найдите длину этого участка в метрах.

2.Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 10 000 м² и одна сторона в 4 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 5 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

4.Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 35 см, чтобы облицевать ими стену,имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,8 м и 4,2 м.

5.Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 19 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картина с окантовной, равны 696 см². Какова ширина окантовки?

6.Из прямоугольного листа картона, размеры которого 55 см и 36 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должно быть равна сторона вырезанного квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 780 см²?

7.Длина ограждения вокруг сквера, имеющего форму прямоугольника, равна 184 м, а площадь, занимемая сквером, равна 2052 см². Какую длину и ширину имеет площадка?

Вариант 2

1.Площадь прямоугольного земельного участка равна 17 га, ширина участка равна 400 м. Найдите длину этого участка в метрах.

2.Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 108 300 м² и одна сторона в 3 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

4.Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 25 см, чтобы облицевать ими стену,имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,5 м и 4 м.

5.Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 12 см и 17 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картина с окантовной, равны 414 см². Какова ширина окантовки?

6.Из прямоугольного листа картона, размеры которого 49 см и 38 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должно быть равна сторона вырезанного квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 726 см²?

7.Длина ограждения вокруг сквера, имеющего форму прямоугольника, равна 164 м, а площадь, занимемая сквером, равна 1665 см². Какую длину и ширину имеет площадка?

Вариант 3

1.Площадь прямоугольного земельного участка равна 4 га, ширина участка равна 100 м. Найдите длину этого участка в метрах.

2.Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 72 200 м² и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

4.Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 30 см, чтобы облицевать ими стену,имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3,6 м.

5.Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 11 см и 17 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картина с окантовной, равны 775 см². Какова ширина окантовки?

6.Из прямоугольного листа картона, размеры которого 44 см и 41 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должно быть равна сторона вырезанного квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 928 см²?

7.Длина ограждения вокруг сквера, имеющего форму прямоугольника, равна 192 м, а площадь, занимемая сквером, равна 2303 см². Какую длину и ширину имеет площадка?

Список литературы

1.ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, А.С. Трепалин, П.И. Захаров, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2017. – 479, [1] с. (Серия «ОГЭ. Банк заданий»)