Приложения регрессионных методов к идентификации композитов

ПРИЛОЖЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МЕТОДОВ

К ИДЕНТИФИКАЦИИ КОМПОЗИТОВ

Рассмотрим линейную статическую систему, имеющую m  входов  и один выход Z (рис.1). Она описывается следующим линейным уравнением:

.                          (1)

Рис.1

Используя серию измерений величин ,   в r  моментов времени, можно определить параметры . По r совокупностям измерений вычисляются  и , где ,  – средние значения ,  для указанных серий измерений. Введём ,    .   Тогда уравнение (1) принимет вид

,                                    

,                                                    

где  – вектор-столбцы с элементами x_j, a_j соответственно.

Количество r последовательных измерений удовлетворяют соотно­шениям

                                            (2)

где  обозначает момент измерений z,. Введём вектор  и матрицу  следующим образом:

;    .  

Следовательно, система уравнений (2) может быть записана в векторной форме:

.                                                    (3)

Предполагая, что компоненты вектора  в уравнении (3) являются оценками  истинного вектора , можно с помощью уравнения (3) получить такие оценки   вектора , что.    

Легко показать, что наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка  вектора  удовлетворяет уравнению ,   так что

,                                   

что и позволяет построить процедуру идентификации вектора  на основе линейной регрессии и метода наименьших квадратов. Отметим, что матрица  существует только тогда, когда матрица  не является особенной.

Число измерений r должно быть больше числа идентифицируемых параметров . Если , то в оценке  шум измерений не будет сглажен. Поэтому для адекватной идентификации требуется по крайней мере  измерений, причём в течение этого периода система пред­полагается стационарной.

Воспользуемся указанным подходом [1] для определения зависимости предела прочности при сжатии  от твёрдости T и модуля деформации Е эпоксидных композитов по данным эксперимента:

Принято: 

Имеем:  = 4,61;  = 5,01  10⁴;  = 89,9.

Для центрированных значений переменных данные эксперимента приводятся в таблице:

В соответствии с предыдущим значение  при -измерении и для параметров линейной модели будем иметь:

= (19,1; – 1,26  10 ^–5).

Окончательно получим = 2,48 + 19,1 T – 1,26  10 ^-5 E₁₅.

Как видим, относительная ошибка вычисления по модели  не превы­шает приблизительно 1 %. Одновременно отметим, что исходная таблица измерений обладает избыточностью (достаточно знания одного из двух параметров  или T). При этом  и T практически от E не зависят.

Аналогично устанавливались зависимости ряда других свойств эпоксидных композитов от рецептурно-технологических параметров [2]. Естественно, предлагаемая методика, в основном, ориентирована на изучение свойств материалов  в локальных областях факторного пространства.

Литература

1.     Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. - Пенза: ПГУАС, 2011. -296 с.

2.     Баженов Ю.М., Гарькина И.А., Данилов А.М., Королев Е.В. Системный анализ в строительном материаловедении: монография. -М.: МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов. -2012. –432 с.