Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Средняя школа № 8

Исследовательская работа по информатике

на тему: «Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики»

Руководитель: Кустова Ю.Е.

Выполнил: ученик 7 Б класса

Скворцов Н.

г. Бор

2021 год

Содержание

Введение 3

Глава 1 4

1.1 История возникновения кругов Эйлера-Вена 4

1.2 Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера 4

1.3 Практическое применение кругов Эйлера 5

Глава 2 7

2.1 Способы решения задач 7

2.2 Эксперимент в классе на использование кругов Эйлера-Венна 8

Заключение 10

Литература 11

Приложение 1 12

Приложение 2 13

Приложение 3 14

Приложение 4 15

Приложение 5 16

Приложение 6 17

Приложение 7 18

Введение

Актуальность темы учебно-исследовательской работы

На уроках математики мы рассмотрели тему «Множества». Графически множества удобно представлять с помощью кругов, которые называют кругами Эйлера. В процессе изучения материала учителем моему классу было предложено решить одну задачу. На первый взгляд она показалась нам простой. Однако, легко решить ее математически сразу не удалось. Тогда учитель познакомил нас с графическим способом решения подобных задач с применением кругов Эйлера-Вена. Этот способ я оценил очень увлекательным. Меня заинтересовала эта тема, и я решил узнать побольше.

В наше время вокруг нас собрано огромное количество информации, и разобраться в ней бывает непросто. Находить логические связи между явлениями и понятиями помогают «Круги Эйлера» – это практичный и удобный метод решения логических задач. «Круги Эйлера» находят широкое применение, как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому.

Вышеуказанные причины определили актуальность и важность темы исследовательской работы.

Предмет исследования: решение задач раздела математической логики с использованием кругов Эйлера-Вена

Предметные области: математика, информатика, русский язык, биология и др.

Цель работы – познакомиться с методом решения задач с использованием кругов Эйлера

Задачи:

• Познакомиться с литературой по теме: круги Эйлера;

• Рассмотреть способы решения задач раздела математической логики в математике и информатике;

• Показать наглядность и быстроту способа решения задач с использованием кругов Эйлера

• Сделать выводы о проделанной работе

Гипотеза

Применение кругов Эйлера-Вена обеспечивает простоту, наглядность и быстроту решения задач раздела математической логики в математике и информатике.

Глава 1

1.1 История возникновения кругов Эйлера-Вена

Леонард Эйлер (1707 – 1783) (Приложение 1. Рисунок 1) родился в маленькой тихой Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают некоторые разделы математики в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по классической монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком. Но всегда подчеркивал практическую деятельность расцвета математики. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Его называли идеальным математиком 18 века.

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн  —   британский логик и философ и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логики, статистики, компьютерных науках.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна».

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

1.2 Графическое представление отношения между множествами
кругами Эйлера

Круги́ Э́йлера — графическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами для наглядного представления.

С множествами можно выполнять определенные операции. Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие:

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (Приложение 2. рис. 1). Такое отношение существует между объемом понятий «самые умные девочки класса» и «самые умные мальчики класса» образуют новое множество «самые умные ученики класса»

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (Приложение 2. рис. 2).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». Некоторые (но не все) студенты являются спортсменами; некоторые (но не все) спортсмены являются студентами.

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (Приложение 2. рис. 3).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». И это только та часть студентов, которые действительно не являются спортсменами.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (Приложение 2. рис. 4).

Такое отношение существует между объемом понятий «студент» и «спортсмен». И это только та часть студентов, которые действительно не являются спортсменами или та часть спортсменов, которая не является студентами.

Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (Приложение 2. рис. 5):

Такое именно отношение существует, например, между понятиями «тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия «тупоугольный треугольник» не отображается ни один остроугольный треугольник, а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается ни один тупоугольный треугольник.

1.3 Практическое применение кругов Эйлера

Графические изображения, сделанные с использованием кругов Эйлера, существенно упрощают понимание сложных математических формулировок и наглядно отражают суть определений.

Круги Эйлера – метод, позволяющий развивать математические представления и использовать их при изучении окружающего нас мира.

Какие задачи можно решить с помощью кругов Эйлера? Удобнее всего, логические задачи на пересечение и объединение множеств.

Множеств может быть два, а может быть и больше. Чем больше множеств, тем труднее становится решить задачу.

С помощью кругов Эйлера на практике можно решать задачи логики, биологии, философии и других областей. Проиллюстрируем это на примерах.

Например, кругами Эйлера можно изобразить высказывание: «Все квадраты являются прямоугольниками». (Приложение 3. Рис. 6)

Можно проанализировать ситуацию поиска целевой аудитории в каком-то городе людей в возрасте от 18 до 35 лет, зарегистрированных одновременно в известных социальных сетях «В контакте» и «Одноклассники». (Приложение 3. Рис. 7). Искомая область находится на пересечении трех областей.

Применять круги Эйлера удобно в маркетинге и рекламе. В данных областях круги Эйлера могут самым наглядным способом передать важнейшую информацию. (Приложение 3. Рис. 8)

Следовательно, используя круги Эйлера можно решать задачи в различных областях деятельности человека.

Глава 2

2.1 Способы решения задач

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов Эйлера на уроках математики и информатики.

Задача 1.

В трех седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке – 10 ребят из хора, в хоре – 6 спортсменов, в драмкружке – 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор.

Необходимо выяснить:

Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

Сколько ребят занято только спортом?

Решение

Для наглядности приведем два варианта решения: классический и с помощью кругов Эйлера.

1. Классический метод

Ответ: 10 человек.

1. Метод с использованием кругов Эйлера (Приложение 4)

По условию задачи известно о 3 кружках: драмкружок, хор, спортивная секция.

Чтобы решать подобные задачи можно придерживаться следующего алгоритма

1. Изобразить кругами Эйлера заданное по условию задачи количество множеств;

2. Пронумеровать все полученные сегменты;

3. Выразить сегментами дано из условия задачи;

4. Выразить сегментами неизвестное из условия задачи;

5. Используя полученные уравнения выполнить подстановки и найти результат

Применение кругов Эйлера в информатике

Задача 2.

В информатике с использованием кругов Эйлера можно решать задачи на построение запросов для поисковых систем или подсчитывать количество страниц по запросам.

Следует иметь ввиду, что в языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» (объединение) используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» (пересечение) – символ «&».

Например: в таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Необходимо найти количество страниц (в тысячах) по запросу:

Списывать&На&ЕГЭ&Запрещено

Из условия задачи известно о четырех множествах: Списывать, На, ЕГЭ, Запрещено

Далее задача решается точно также по алгоритму, описанному выше. Единственная сложность – появляется приоритет выполнения операций (Приложение 5).

Чем сложнее и запутаннее логическая задача, связанная с множествами, тем полезнее будет нарисовать диаграмму с кругами Эйлера. После этого решение значительно упрощается.

2.2 Эксперимент в классе на использование кругов Эйлера-Венна

При изучении данной темы я решил провести небольшой эксперимент в моем классе и доказать выдвинутую гипотезу – использование кругов Эйлера-Венна обеспечивает простоту, наглядность и быстроту решения задач раздела математической логики в математике и информатике.

В ходе эксперимента я предложил одноклассникам конкретную задачу и попросил ребят ее решить. Однако, на этом этапе поставленная задача у всех одноклассников вызвала затруднение.

На следующем этапе я сначала объяснил ребятам возможность использования кругов Эйлера при решении подобных задач. После этого та самая задача, в условии которой нам было сначала достаточно непросто разобраться, стала понятна и решаема.

На заключительном этапе я предложил еще одну задачу. И ребята, убедившись в простоте и наглядности использования кругов Эйлера-Венна с удовольствием быстро пришли к поставленной цели.

Проведенный эксперимент доказал не только выдвинутую мной гипотезу, но и показал мне возможность использования данного подхода не только в решении задач математики и информатики, а при решении обычных жизненных задач выбора. Например, если человек хочет определить, какая профессия больше ему подходит, он может сначала нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж этого поможет определиться ему с выбором: Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет обеспечить вам достойную заработную плату, но и будет нравиться. (Приложение 6).

Заключение

В результате проведенного исследования мной были изучены: теоретические основы становления раздела математической логики; изучены основные операции: пересечение, объединение, разность; проиллюстрировано применение кругов Эйлера для решения различных задач; рассмотрены способы решения задач раздела математической логики; подробно рассмотрено применение кругов Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики.

В ходе исследования я подтвердил гипотезу и пришел к следующим выводам:

1. Чем сложнее и запутаннее логическая задача, связанная с множествами, тем полезнее будет нарисовать диаграмму с кругами Эйлера. После этого решение значительно упрощается.

2. Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

3. Знания по этой теме мне пригодятся при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике и при написании олимпиадных работ по данным предметам.

Литература

Список учебной и научной литературы

1. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл./И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999.

2. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.

3. Игнатьев. Е.И.  В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.

4. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

5. Математика: 6 класс: Дидакт. материалы для общеобразова. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.- М.: Дрофа, 1996.

6. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы./А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.

Интернет-ресурсы:

1. http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;

2. http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;

3. http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html

Приложения

Приложение 1

Рисунок 1

Приложение 2

В А В А В А В 3 2 1 А Рисунок 1	операция «объединение» сложение секторов 1+2+3
А В Рисунок 2	операция «пересечение» сектор 2
1 2 3 Рисунок 3	операция «разность» сектор 1
1 2 3 Рисунок 4	сектор 1 или 3 исключаем 2
0 Рисунок 5	сектор 0 исключаем 1, 2, 3

Приложение 3

Рисунок 6

Прямоугольники

Квадраты

Отображение отношений между множествами

Рисунок 7

Применение кругов Эйлера в социологическом исследовании

Рисунок 8

Применение кругов Эйлера в маркетинге и рекламе

Приложение 4

1

Драм

7

Хор

Приложение 5

Приложение 6

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Средняя школа № 8      Исследовательская работа по информатике   Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики

Выполнил: ученик 7 «Б» класса Скворцов Николай

Руководитель: Кустова Ю.Е.

Актуальность темы учебного исследования

В наше время вокруг нас собрано огромное количество информации, разобраться в ней бывает непросто. Находить логические связи между явлениями и понятиями помогают «Круги Эйлера» – это практичный и удобный метод решения логических задач.

«Круги Эйлера» находят широкое применение в повседневной жизни, в науке, ими стоит уметь пользоваться каждому.

Вышеуказанные причины определили актуальность и важность темы исследовательской работы.

Цель и задачи исследовательской работы:

Цель работы - познакомиться с методом решения задач с использованием кругов Эйлера

Задачи:

• Познакомиться с литературой по теме: круги Эйлера;
• Рассмотреть способы решения задач раздела математической логики в математике и информатике;
• Показать наглядность и быстроту способа решения задач с использованием кругов Эйлера;
• Сделать выводы о проделанной работе.

Гипотеза

Применение кругов Эйлера-Вена обеспечивает простоту, наглядность и быстроту решения задач раздела математической логики в математике и информатике.

Введение

Леонард Эйлер (1707 – 1783) родился в маленькой тихой Швейцарии. Он принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества.

В одной из 850 написанных работ Эйлером появились круги. Впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Позднее работу с кругами продолжил учёный Джон Венн  и этот приём назвали «диаграммы Эйлера-Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логики, статистики, компьютерных науках.

Приложение 1

Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера

Круги́ Э́йлера — графическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами для наглядного представления.

С множествами можно выполнять определенные операции. Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие:

• объединение;
• пересечение;
• разностью;
• симметрическая разность;
• абсолютным дополнение;

Приложение 2

Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера

Круги Эйлера существенно упрощают понимание сложных математических формулировок и наглядно отражают суть определений.

Этот метод позволяет развивать математические представления и использовать их при изучении окружающего нас мира.

С помощью кругов Эйлера удобнее всего решать логические задачи на пересечение и объединение множеств.

Множеств может быть два, а может быть и больше. Чем больше множеств, тем труднее становится решить задачу.

С помощью кругов Эйлера на практике можно решать задачи логики, биологии, философии и других областей. Проиллюстрируем это на примерах.

Приложение 3

Эксперимент

Чтобы доказать справедливость моей гипотезы я провел эксперимент среди одноклассников. На первом этапе я предложил им решить поставленную задачу и обозначил время 10 минут.

Задача 1.

В трех седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке – 10 ребят из хора, в хоре – 6 спортсменов, в драмкружке – 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор.

Необходимо выяснить:

Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

Сколько ребят занято только спортом?

Результат

Ребята не смогли решить задачу.

На мой вопрос к ребятам почему, я получил ответ – сложно, сначала надо как-то это нарисовать схемой…

Эксперимент

На втором этапе я продемонстрировал на другой задаче метод Эйлера-Венна по следующему алгоритму:

• Изобразить кругами Эйлера заданное по условию задачи количество множеств;
• Пронумеровать все полученные сегменты;
• Выразить сегментами дано из условия задачи;
• Выразить сегментами неизвестное из условия задачи;
• Используя полученные уравнения выполнить подстановки и найти результат

Эксперимент

Задача 2. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека.

Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»?

В классе учатся 40 человек – все полученное множество состоит из суммы сегментов 1,2,3,4,5,6,7.

Решение:

По русскому языку имеют «тройки» 19 человек. Сумма сегментов 1,2,4,5

Русский язык=19

Математика=17

1

3

2

5

История=22

4

6

По математике имеют «тройки» 17 человек. Сумма сегментов 2,3,5,6

7

По истории имеют «тройки» 22 человека. Сумма сегментов 4,5,6,7

Только по одному предмету по русскому языку имеют «тройки» 4 человека. Сегмент 1

Решение:

Только по одному предмету по математике имеют «тройки» 4 человека. Сегмент 3

Русский язык=19

Математика=17

1

3

2

5

История=22

Только по одному предмету по истории имеют «тройки» 11 человек. Сегмент 7

4

6

7

Пять учеников имеют тройки по всем предметам. Сегмент 5

Решение:

Подстановкой легко определить неизвестные сегменты и найти ответ на поставленный вопрос - сколько человек учится без «троек»?

Р=19

М=17

4

?

5

4

7

?

?

11

И=22

Решение:

Подстановкой легко определить неизвестные сегменты и найти ответ на поставленный вопрос - сколько человек учится без «троек»?

6

Р=19

4

М=17

4

4

6

6

2

5

4

5

4

4

4

5

2

2

4

11

11

И=22

4

11

36

40 – 36 = 4

Эксперимент

На третьем этапе я снова предложил одноклассникам решить поставленную задачу и обозначил время.

Результат Приложение 4

Ребята справились за обозначенное время с решением задачи и нашли все ответы на поставленные вопросы. …

Решение задачи по информатике кругами Эйлера

На четвертом этапе я предварительно изучив литературу по данному вопросу. Особое внимание уделив приоритету выполнения операций показал ребятам возможность использования кругов Эйлера-Венна для решения задачи по информатике на запросы

Задача 3. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Решение

Задача 3. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ « | », а для обозначения логической операции « И » – символ « & ».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

1475

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

450

Списывать&На

1400

Запрещено

Списывать

На

ЕГЭ

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу:

Списывать&На&ЕГЭ&Запрещено

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На| ЕГЭ&Запрещено )

1475

Списывать

На

1

3

2

ЕГЭ

Запрещено

7

5

6

9

4

10

8

12

13

11

Запрос

Списывать&( На |ЕГЭ&Запрещено )

Найдено страниц (в тысячах)

1475

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

4

9

10

8

12

13

11

Запрос

Списывать& (На|ЕГЭ&Запрещено)

Найдено страниц (в тысячах)

1475

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

450

Списывать&На

1400

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

4

9

10

8

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

1475

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

450

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

6

5

4

9

8

10

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

1475

Списывать&На

450

1400

Списывать

На

1

2

3

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

9

4

10

8

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

1475

Списывать&На

450

1400

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

9

4

10

8

12

13

11

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу:

Списывать&На&ЕГЭ&Запрещено

 9

9  ?

• 2+5+6+9=1400

(2+5+6+9)+8=1475

1400+8=1475

8=1475-1400

8=75

9  ?

2) 8+9=450

75+9=450

9=450-75

9=375

Результаты исследования

В результате проведенного исследования мной были изучены: литературные и интернет-источники по использованию кругов Эйлера-Венна; основные операции и приоритет их выполнения; проиллюстрировано применение кругов Эйлера для решения различных задач; рассмотрены способы решения задач раздела математической логики; подробно рассмотрено применение кругов Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики.

Результаты исследования

В ходе исследования я подтвердил гипотезу и пришел к следующим выводам:

• Чем сложнее и запутаннее логическая задача, связанная с множествами, тем полезнее будет нарисовать диаграмму с кругами Эйлера. После этого решение значительно упрощается.
• Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.
• Знания по этой теме мне пригодятся при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике и при написании олимпиадных работ по данным предметам.

Литература

Список учебной и научной литературы

• Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5 – 6 кл./ И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999.
• Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.
• Игнатьев. Е.И.  В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.
• Математика: 6 класс: Дидакт. материалы для общеобразова. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.- М.: Дрофа, 1996.
• Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы./   А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.
• Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

Интернет-ресурсы:

• http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;
• http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;
• http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html;

Спасибо за внимание !