© 2020 1224 0
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Примеры решения систем уравнений и уравнений, решаемых с помощью системы
Категория:
Математика
18.02.2020 17:58
Просмотр содержимого документа
«Примеры решения систем уравнений и уравнений, решаемых с помощью системы»
Примеры решения систем уравнений и уравнений, решаемых с помощью системы
Пример 1
Решить систему уравнений
х 2 + у 2 + 2ху – х – у = 6,
7х – 3у = 26.
Решение . Обозначим х + у = u .
х 2 + у 2 + 2ху – х – у = 6, u 2 – u – 6 = 0.
7х – 3у = 26.
u 1 = -2 , u 2 = 3 .
х + у = -2, х + у = 3,
7х – 3у = 26; 7х – 3у = 26.
Ответ : (2; -4) , (3,5; -0,5) .
u 2
-u
Пример 2
Решить систему уравнений
Решение. Обозначим = u , a x + y = v , тогда
система имеет вид 8u + v/4 = 2, u = 1/8
24u – v/2 = 1 . v = 4 .
Учитывая введенные обозначения, получим систему:
= 1/8, x + y = 8 x = 6
х – у = 4, х – у = 4, у = 2.
Ответ: (6; 2).
1
х + у
1
х + у
Пример 3
Решить систему уравнений х 2 – ху + у 2 = 19,
х 3 + у 3 = -19 .
Решение. х 2 – ху + у 2 = 19, х 2 – ху + у 2 = 19,
(х + у) (х 2 – ху + у 2 )= -19; (х + у) ∙ 19 = -19.
х 2 – ху + у 2 = 19,
у = -х – 1.
Решая методом подстановки нашли х 1 = -3 и х 2 = 2 .
у = -х – 1, у = -х – 1,
х = -3; х = 2.
Ответ : (-3; 2), (2; -3).
= 19
или
Пример 4
Решить систему уравнений
Решение. Заметим, что (5х – 4у) + (2х + 8у) = 7х + 4у . Пусть 5х – 4у = u , 2х + 8у = v , тогда 7х + 4у = u + v .
Таким образом, данная система примет вид
u + v = 8, u + v = 8, u + v = 8, u = 4 ,
u 2 + v 2 = 32, (u + v) 2 – 2uv = 32, 8 2 – 2uv = 32, v = 4 .
5х – 4у = 16, х = 4,
2х + 8у = 16, у = 1.
Ответ: (4; 1).
Пример 5
Решить систему уравнений 2|x – y| + 3|2x – 3y| = 51,
3|x – y| + 6|2x – 3y| = 96.
Решение . Пусть |x – y| = u , |2x – 3y| = v , тогда
2u + 3v = 51, u = 6,
3u + 6v = 96; v = 13 .
Решение сводится к решению совокупности
четырех систем уравнений:
х – у = -6, х – у = 6, х – у = -6, х – у = 6,
2x – 3y = -13; 2x – 3y = -13; 2x – 3y = 13; 2x – 3y = 13.
х = -5, х = 31, х = -31, х = 5,
у = 1; у = 25; у = -25; у = -1.
Ответ: (-5;1), (31;25), (-31; -25), (5; -1).
или
или
или
Пример 6
Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала
Значение произведения равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Решить уравнение
Решение. 2х – 3 = 0,
х – 5 ≥ 0
х = 1,5,
х ≥ 5
Нет решений или х = 5.
Ответ: 5 .
!
или ;
или х = 5 ;
0; х 5. Ответ : х = 6 . ! " width="640"
Пример 7
Уравнение, содержащее переменную в знаменателе и под знаком радикала
Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл и не равен нулю.
Решить уравнение
Решение . х 2 – 3х – 18 = 0, (х = -3 или х = 6),
х – 5 0; х 5.
Ответ : х = 6 .
!
0; х Ответ : нет решений . " width="640"
Пример 8
Уравнение, содержащее переменную в знаменателе и под знаком радикала
Решить уравнение
Решение.
Корни уравнения удовлетворяют системе неравенств
х – 5 ≥ 0, х ≥ 5, нет решений.
2-х 0; х
Ответ : нет решений .
Пример 9
Уравнение, содержащее переменную в знаменателе и под знаком радикала
Решить уравнение
Решение. Корни данного уравнения должны удовлетворять системе неравенств
х – 2 ≥ 0, т.е. х = 2 . другие значения
2 – х ≥ 0, переменной х корнями быть не могут.
Проверка. 0 = 0 .
Ответ: 2 .
Пример 10
Уравнения, содержащие выражения со знаком модуля
Решить уравнение 3х + |х| = 4 .
Решение. 3х + |х| = 4
х ≥ 0, х
3х + х = 4 3х - х = 4.
Решив обе системы, получим х = 1 .
Ответ : 1.
или
Пример 11
Уравнения, содержащие выражения со знаком модуля
Решить уравнение 3х + |х - 2| = 4 .
Решение. х - 2 ≥ 0, х ≥ 2, нет
3х + х - 2 = 4 х = 1,5 решений
или
х - 2 х х = 1.
3х – (х – 2) = 4. х = 1 .
Ответ : 1.
4 . Решение. х - 2 ≥ 0, х ≥ 2, х [2; + ∞) 3х + х - 2 4 х 1,5 или х - 2 х х (1; 2) 3х – (х – 2) 4. х 1 . Ответ : (1; + ∞). " width="640"
Пример 12
Неравенство, содержащее выражения со знаком модуля
Решить неравенство 3х + |х - 2| 4 .
Решение. х - 2 ≥ 0, х ≥ 2, х [2; + ∞)
3х + х - 2 4 х 1,5
или
х - 2 х х (1; 2) 3х – (х – 2) 4. х 1 .
Ответ : (1; + ∞).
2, x 2, x + 4x ≥ x – 2 + 8. x ≥ 1,5; x (2; + ∞). Ответ : [1 ; + ∞). 0 2 или 2 3 2 3 или 2 3 " width="640"
Пример 13
Неравенство, содержащее выражения со знаком модуля
Решить неравенство | x | + 4x ≥ |х - 2| + 8 .
Решение.
x : - + +
x -2 : - - +
х х
-x + 4x ≥ -(x – 2) + 8 x ≥ 2,5 нет решений
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2,
x + 4x ≥ -(x – 2) + 8 x ≥ 1 x [1 ; 2]
x 2, x 2,
x + 4x ≥ x – 2 + 8. x ≥ 1,5; x (2; + ∞).
Ответ : [1 ; + ∞).
0 2
или
2
3
2
3
или
2
3
![Пример 14 Функция, содержащая выражения со знаком модуля Изобразить график функции у = | x | - |х - 2| - 1 . Решение. x : - + + x -2 : - - + Если х (-∞; 0] , то у = -х + х - 2 – 1 , т.е. у = -3 . Если х (0; 2] , то у = х + х - 2 – 1 т.е. у = 2х – 3 . Если х (2; + ∞) , то у = х – (х – 2) – 1, т.е. у = 1 . 0 2 у 1 | | | | | | | | | | | - 5 -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 х -3](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/02/18/s_5e4bfb764fb9a/img14.jpg)
Пример 14
Функция, содержащая выражения со знаком модуля
Изобразить график функции у = | x | - |х - 2| - 1 .
Решение.
x : - + +
x -2 : - - +
- Если х (-∞; 0] ,
то у = -х + х - 2 – 1 ,
т.е. у = -3 .
- Если х (0; 2] ,
то у = х + х - 2 – 1
т.е. у = 2х – 3 .
- Если х (2; + ∞) , то у = х – (х – 2) – 1, т.е. у = 1 .
0 2
у
1
| | | | | | | | | | |
- 5 -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 х
-3
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
