Применение производной в экономике, социологии, физике.

Дидактические проекты уроков по математике

МИНИСТЕСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ФЭЛЕШТСКОГО РАЙОНА

Теоретический лицей имени А. С. Пушкина г. Фэлешть

2015-2016 учебный год

Преподаватель математики

Дата проведения: 1 февраля 2016 года.

Класс: 11 «б» (реальный профиль)

Предмет: Математика

Учитель: Дьячук Габриэлла

Номер урока в системе уроков: 12 урок.

Продолжительность урока: 45 минут.

Глава (Модуль V):Приложения производной.

Субъект урока: Применение производной в физике, геометрии, экономике.

Специфические компетенции:3: 3.2, 3.5, 3.6, 3.7

Цели урока: В конце урока учащиеся будут способны:

Ц1: вычислять производные элементарных и

сложных функций;

Ц2:распознавать и применять правила вычисления

производных при решении различных задач;

Ц3:решать задачи с применением уравнения

касательной к графику функций;

Ц4:использовать приобретенные знания и умения в

практической деятельности для решения

геометрических, физических и практических задач;

Ц5:оценивать критически свою деятельность на уроке,

отстаивать свою точку зрения.

Тип урока: Урок обобщения, анализа-синтеза

знаний.

К концу урока ученик будет способен

О1 – распознавать и классифицировать по различным критериям элементарные функции.

О2 – распознавать в различных контекстах функции и находить их производные.

О3 – анализировать решение задачи и объяснять полученный математический результат на социальном языке .

Дидактические технологии:

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы и приемы: анализ, синтез, обобщение, эвристическая беседа, работа в группах .

Дидактические материаллы: учебник И.Акири «Математика 11 класс», проектор, компьютер, доска, мел.

Дидактические технологии:

1)Методы обучения: Анализ, синтез и обобщение;

метод упражнений; беседа.

2)Формы обучения: Фронтальная, индивидуальная,

групповая.

3)Оборудование: Компьютеры,

компьютерная презентация в

Microsoft Power Point

проектор, экран,

оценочные листы, раздаточный

и справочный материал.

Оценивание: а) Виды оценивания: текущее оценивание;

б) Формы, методы оценивания: устные и

письменные вопросы и упражнения;

самостоятельная работа;

самопроверка.

План урока:

Организационный момент: проверка готовности класса к уроку (мел, доска)..

Вступительное слово учителя (2 мин.)

1 .Актуализация опорных знаний (10 мин.):

Постановка целей урока.

Математический диктант

Проверка домашней работы

( правильное решение проектируется на экран)

( 5 мин.)

2. Осмысление

Устная разминка( 3мин)

Самостоятельная работа (15 мин.)

3.Рефлексия.

Подведение итогов урока. (5 мин.)

Задание на дом, заполнение оценочных листов (2 мин.)

Резерв (дополнительные задания из тестов « Готовимся к БАКу» ).

1. Вступительное слово учителя.

-Здравствуйте ребята! Прошу вас сесть!

Организационный момент.

• Проверка явки учащихся.

• Проверка готовности учащихся к уроку.

• Создание эмоционального настроя у учащихся на работу.

Учитель: Сегодня у нас заключительный урок по теме « Применения производной», на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе.

( Постановка целей урока, проектируются проектором .)

Учитель: Перед нами стоит задача – показать знание формул и теоретического материала по теме и умение применять производную при решении практических задач .

Учитель: Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

Вопрос 1. В чем заключается геометрический смысл первой производной?

Ответ ученика: Геометрический смысл производной состоит в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную не параллельную оси у, то f’(x) выражает угловой коэффициент касательной. k=f’(x₀)=

Вопрос 2. В чем заключается физический смысл первой производной?

Ответ ученика: Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если S(t)- закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: V=S’(t).

Вопрос 3. В чем заключается физический смысл второй производной?

Ответ ученика:

Учитель: На практике во многих отраслях науки используется обобщение этого равенства: Если некий процесс протекает по закону S=S(t),то S’(t)- выражает скорость протекания этого процесса в момент времени t.

Примеры из физики: q’(t)=I; a=V’(t)

Производная – это скорость роста функции.

1. Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).

2. Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t).

3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).

5. Давление – производная силы по площади P = F'(S)

6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l_окр=S'_кр(R).

7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.

8. Успехи в учебе? Производная роста знаний.

Например. Обсуждая успехи учащегося, преподаватель математики так отозвался о нем: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Он хотел сказать, что скорость приращения знаний у учащегося положительная, а это есть залог того, что знания возрастут.

Чтоб увеличить скорость приращения знаний, ВЫПОЛНИМ ТЕСТ.

Выполните задание:На столе у каждого учащегося находятся карточки с тестом:

1)Нужно указать пары “функция – график производной этой функции”.

• Ответы к заданию:

-Анализируя ваши письменные работы, самая часто встречающая ошибка-это производная сложной функции. Формулу производной сложной функции мы повторили в начале урока. ( Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам). Закрепим это на практике.

2)Вариант 1. Найти производные функций.

Теперь выполним самостоятельно вариант 2 и ответы запишем в таблицу.

Вариант 2. . Найти производные функций

II. Проверка домашнего задания.

Учащиеся обмениваются тетрадями и поверяют решение, которое отображается на экране.

На дом заданы примеры: №2(б),№10,№6(а)

Ответы домашней работы №2(б),№10,№6(а) спроецированы проектором.

• № 10.Найти силу F, действующую на материальную точку массой m, которая движется по закону S(t )=4 t³ – t² при t=3 сек.

Ответ: a(t) =24t-2, a(3)=70 (m/s ² ), F(t)=70m (H)

• № 2(б).Напишите уравнение касательной к графику функции f: D -R в точке с абсциссой х₀ =2/3, f(x)= lg² ( 3x-1).

Ответ : f ( 2/3 )=lg² 1 =0, тогда y=0 .

( Определите угловой коэффициент касательной? К=0, касательная параллельна или совпадает с осью ОХ)

• №6(а).Решить на множестве R неравенство f ^/ (х) 0 , если :

f(x) = x³ – 6x² + 3x .

Ответ: при х 

-Ученики индивидуально проверяют ответы и ставят (самоконтроль) оценку однокласснику в лист его контроля. (У каждого ученика имеется лист контроля, критерий оценки за домашнюю работу и образец листа контроля в раздаточном материале к уроку.)

Лист контроля (в приложении)

Демонстрационный материал. Презентация 5 минут. Свойства производной.

Применим наши теоретические знания на практике:

Задача №1. Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону , сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной?

, при t=1 скорость максимальна a(1)=0.

Задача №2. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию

, где –месяцы, -миллионы лей. Исследуйте оборот предприятия.

Решение: Исследуем оборот предприятия с помощью производной:

Определим вторую производную: U′′(t)=0,9t-4 и третью: Момент наименьшего оборота при =0, т.е.при t=8,9.Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U′′(t)=0 следует t=4,4. Так как U″′(t)0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота. Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:

1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота.

2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало

определенные средства. На пятом месяце (точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.

Задача №3.Способность человека развить и понимать пространственные концепции задается законом , t – возраст .

Найдите скорость улучшения понимания пространственных понятий когда человеку 9 лет и 16 лет. Определите знак ускорения. Вывод.

Работа в группах:

1 группа

Количество вещества в человеческой коже которое отвечает за эластичность кожи задано следующей законом , где t – возраст в годах.

Найдите Q когда t=0, t=25, t=100 лет. Вывод.

С какой скоростью меняется концентрация этого вещества, на что указывает минус?

2 групп

Мяч подброшенный ребёнком вверх, будет находиться через t секунд на высоте

метров ( от поверхности Земли).

С какой высоты подбрасывается мяч? Определите начальную скорость . Через сколько секунд мяч упадет на Землю?

3 группа

Оценка прибыли компании выражается следующей функцией

(тыс. евро) t – момент времени в годах.

Найти величину прибыли при t=0 и через год, скорость изменения прибыли, для каких значений t прибыль убывает, а для каких t возрастает ?.

«Изучение производных поможет Вам быстро и правильно принимать решения в различных ситуациях, так как Вы уже учитесь думать, преодолевать трудности и рассуждать, а это всё ведет к приобретению мудрости.»

Задача Докажите, что уравнение имеет только один действительный корень.

Указание: Рассмотрим функцию и найдем её интервалы монотонности.

Имеем:

Задача . При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня функция времени: = . Откуда следует: . Следовательно, и . Тогда , т.е. камни горной породы достигают уровня от края вулкана. ю

VI. Подведение итогов урока

• Подводятся итоги каждого этапа урока.

• Ответы на вопросы учащихся.

• Объявление и комментирование оценок

Подумайте и ответьте на такие вопросы:

Где применяется производная?

Как вы думаете нужно ли нам знать как применять производную? В вашей профессии она нужна?

VII. Домашнее задание:

Повторить метод интервалов из 10кл.

Домашнее задание

Придумать и решить задачу на применение производной.

Выучить правила дифференцирования §2-§4 из Модуля V.

Выполнить упражнение № 2,4 и5 из проверочной работы на стр.134,уровень Б и дополнительную карточку.

Резерв На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1?