Принцип Дирихле конспект урока

Математический кружок 6 класс

Занятие №19 Принцип Дирихле. 18.02.12

Принцип Дирихле: Если голуби рассажены в клетки, причём число голубей больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного голубя.

В сегодняшнем занятии при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что в Вашей задаче играет роль клеток, а что – голубей.

10 голубей в 9 клетках.

1. В лесу растёт миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что найдутся две ёлки с одинаковым числом иголок.

2. В школе учатся 1000 человек. Существует ли в году такой день, в который празднуют свой день рождения хотя бы
   а) 2 человека из этой школы;
   б) 3 человека из этой школы;

3. На чаепитии присутствовали 10 человек, которые вместе съели 35 плюшек. Докажите, что кто-нибудь обязательно съел по крайней мере 5 плюшек, если известно, что есть граждане, съевшие ровно одну, ровно две и ровно три плюшки.

4. Найдутся ли 7 монет одинакового достоинства среди 25 монет достоинством 1, 2, 5, 10 рублей?

5. В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок? (Дырки считаются точечными).

6. Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы. 
   а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников. 
   б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

7. Найдутся ли в классе два человека, имеющие одинаковое число друзей среди одноклассников, если в классе учатся
   а) 5 человек;
   б) 25 человек;

8. Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

9. Несколько хоккейных команд проводят турнир, в котором каждая команда с каждой играет ровно один раз. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

10. Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть
    а) две одинаковых; б) три одинаковых.