Приведу несколько примеров практических, лабораторных, лабораторно-графических работ.

Приведу несколько примеров практических, лабораторных, лабораторно-графических работ.

Инструкционная карта №3

Тақырыбы/ Тема: «Функция. Способы задания функции. График функции. Обратная функция.»

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с понятием функции, ее способами задания функции, понятием графика функции и понятием обратной функции. Нахождением области определения функции.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Развивать самостоятельность и рациональность при решении упражнений, развивать логику мышления.

Теоретический материал:

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией. Обозначение: . Функция считается заданной, если указаны:

1. область определения ;

2. правило, или закономерность, между значениями х и у;

3. множество значений .

Графиком функции y = f(x)  называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Пример 1

Рассмотрим функцию 

Рассмотрим теперь область определения. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим  

Пример 2

Рациональная функция  определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Возвращаясь к примеру, можно записать: 

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции:

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции 

Пример 4

Найти область определения функции у = х² +2х – 5

Если функция задана в виде многочлена, то ее значение можно вычислить при любом значении аргумента, следовательно, D (у) = R

Четность и нечетность функций.

• Функция f называется четной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).

• Функция f называется нечетной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятие об обратной функции

Пример

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции  f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Что такое числовая функция?

2. Какое множество соответствует области определения функции?

3. Назовите способы задания функции?

4. Дайте определение четной (нечетной) функции.

5. Всякой ли функции можно найти обратную функцию?

Инструкционная карта № 4

Тақырыбы/ Тема: «Вычисление различных видов пределов»

Мақсаты/ Цель:

1.Научить студентов применять теоретический материал при решении практических упражнений. Уметь рационально находить правильный метод вычисления пределов.

2. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно планировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

Теоретический материал:

1. Если к данной функции, предел которой находится при стремлении аргумента к некоторому предельному значению, применимы теоремы о пределах, то вычисление предела сводится к постановке этого предельного значения в функцию.

-6*2+2-5=13.

1. Вычисление предела функции, когда предел делителя равен нулю.

Вычисление предела функции нужна подстановка аргумента его предельного значения не всегда возможно, но из этого не следует, что предел функции не может быть вычислен. В таких случаях требуется произвести над функцией такие преобразования, чтобы можно было применить теоремы о пределах.

А) случай, когда предел делителя равен нулю, и предел делимого не равен нулю.

Предел делителя равен нулю ,то теорему 4 применить нельзя, т.к. деление на нуль нельзя. Если, то 4x-8 есть величина бесконечно малая, и величина ей обратная бесконечно большая. Следовательно, при произведение есть величина бесконечно большая, то есть .

Б)случай, когда предел делителя и делимого равен нулю ;

По теореме Безу, согласно которой оба многочлена разделятся без остатка на (x-a), сократив числитель и знаменатель на двучлен (х-а), применим теоремы о пределах.

1. Раскрытие неопределенностей вида:

случай, когда при делимое и делитель есть бесконечно большие величины

1. 1 замечательный предел

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение предела функции в точке.

2. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

3. Как вы понимаете предел функции на бесконечности?

4. Запишите первый замечательный предел.

Инструкционная карта № 10

Тақырыбы/ Тема:Решение задач на составление уравнения прямой.

Мақсаты/ Цель:

1. Научить учащихся применять теоретические знания составления уравнения прямой при решении различных задач.

2. Создать условия для формирования умений сравнивать, классифицировать изученные факты и понятия.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно классифицировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

Теоретический материал:

Пример : Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение: Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ: 

Расстояние от точки  до прямой  выражается формулой 

Пример : Найти расстояние от точки  до прямой 

Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ: 

Как найти угол между двумя прямыми? 

Пример : Найти угол между прямыми 

прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом  и не перпендикулярны, то ориентированный угол  между ними можно найти с помощью формулы:
 

Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых задачах.

Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты: 

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2)  Используем формулу:

Ответ: 

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Практическая часть:

Задача: Дан треугольник с вершинами А(х₁;у₁), В(х₂;у₂), С(х₃;у₃). Составьте уравнение стороны АВ треугольника, медианы АК, высоты ВД, расстояния от вершины С до стороны АВ, вычислите угол А.

Контрольные вопросы:

1. Назовите общее уравнение прямой.

2. В чем заключается условие параллельности и перпендикулярности, прямых на плоскости?

3. Напишите формулу для уравнения прямой проходящей через две точки.

4. Как вычислить угол между прямыми, заданными общими уравнениями прямых?

5. Запишите формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

6. Напишите формулу для уравнения прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом.