Продолжение лекции 9 (10) Формулы Ньютона - Котеса: методы прямоугольников, трапеций, парабол

Цель: повторить теоретические знания, полученные в лекции 9, закрепить теорию выполнением практической части

ОТЧЁТ ПРЕДОСТАВИТЬ В ВИДЕ ДОКУМЕНТА EXCEL. В НАЗВАНИИ УКАЗАВ ФАМИЛИЮ НОМЕР ГРУППЫ

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где f(x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью аналитической формулы:

– формула Ньютона-Лейбница.

Однако во многих случаях не удается преобразовать f(x) к табличной функции, для которой известна аналитическая формула F(x). В таких случаях приходится решать задачу численного интегрирования.

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитическом виде, некоторой простой табличной функцией φ(x). Поскольку в этом случае решение является приближенным, то в постановке задачи необходимо задавать точность .

Обзор методов численного интегрирования

Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов – кубатурными).

К квадратурным методам относятся методы Ньютона-Котеса. В этих методах φ(x) – это полиномы различных степеней, к ним относятся: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.

Постановка задачи

Дан определенный интеграл , где f(x)– функция непрерывная на отрезке [a; b] и точность  – малое положительное число. Необходимо вычислить интеграл с заданной точностью.

Графическая интерпретация метода

С геометрической точки зрения интеграл при f(x) 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей: x₀=a, x₁=x₀+h, x₂=x₁+h, … , x_n=b, где h=(b-a)/n. Площадь всей криволинейной трапеции заменим суммой площадей «маленьких» криволинейных трапеций, образованных при проведении прямых x=x_i. Заменим при вычислении площади каждую «маленькую» криволинейную трапецию прямоугольником, то есть заменим кривую f(x) полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс. При этом прямоугольники можно построить тремя разными способами, взяв за одну из сторон прямоугольника ординату x_i-1, или x_i, или (x_i-1+x_i)/2. Таким образом, различают методы левых, правых и средних прямоугольников.

Алгоритм метода прямоугольников

1. Вводим исходные значения , a, b.

2. Задаем n=1, S=0.

3. Приравниваем S₀=S, .n=2·n.

4. Расчет h=(b-a)/n.

5. Расчет приближенного значения интеграла:

Метод прямоугольников с недостатком (левые прямоугольники).

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

Метод прямоугольников с избытком (правые прямоугольники).

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

Метод средних прямоугольников.

Приближенное значение интеграла равно сумме площадей прямоугольников:

1. Проверка условия |S₀-S| ε. Если условие выполняется, то переход к пункту 7, иначе переход к пункту 3.

2. Расчет закончен. Результат равен S.