Проект. Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15 с углублённым изучением отдельных предметов имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны » Энгельсского муниципального района Саратовской области

Муниципальная научно-исследовательская конференция «Первые шаги в науке»

Проект: Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни.

Проект выполнили:

ученицы 9Б класса

Андреева Мария и

Сулеймандибирова Марина

МОУ «СОШ №15»

г.Энгельса Саратовской области

Руководитель:

Затеева Валентина Павловна,

учитель алгебры и геометрии

МОУ «СОШ №15»

Актуальность проекта

В 9 классе мы изучаем прогрессии. Эти темы очень важные в курсе 9 класса. Они актуальны, так как задание по данным темам встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. У учеников не достаточно высокий уровень решения задач данного типа.

Однако, современный человек должен уметь применять полученные теоретические знания и в повседневной жизни.

Проблема проекта

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Цель проекта

• Выявить примеры практического применения арифметической и геометрической прогрессии.
• Обобщить и систематизировать знания по теме: «Прогрессии».

Задачи проекта

1. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение.

2. Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

3. Подбор задач из вариатов ОГЭ и их решение.

Гипотеза проекта

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека.

Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Методы исследования проекта

• наблюдение

• сбор информации

• практическое применение

Практическая часть проекта

Геометрическая прогрессия в жизни человека

Прогрессия в природе: простейшие организмы

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две, каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии, из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов .

Практическое использование интенсивности размножения бактерий

• В пищевой  промышленности для приготовления напитков, кисломолочных продуктов,  при квашении, солении.

• В фармацевтической промышленности для создания лекарств, вакцин.

• В сельском хозяйстве для приготовления силоса, корма для животных.

• В коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях для очистки сточных вод, ликвидации  нефтяных пятен.

Прогрессия в природе: сложные организмы

Все клетки в сложных живых организмах, в том числе и у человека, делятся в геометрической прогрессии, что позволяет организмам быстро обновлять отмирающие клетки, а человеку – долго не стареть.

Прогрессия в ядерной физике

Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д.

Это свойство используют при создании ядерных реакторов и оружия.

Прогрессии в банковских расчетах

В конце срока хранения сумма банковского вклада возрастает в несколько раз, так как она растёт в геометрической прогрессии.

В этом и состоит выгода хранения денег не дома, а в банке.

Финансовые пирамиды

Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег.

Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек.

Практическая часть проекта

Арифметическая прогрессия в жизни человека

Прогрессия в строительстве

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Прогрессия в медицине

Больной может принимать лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий.

Прогрессия в спорте

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий.

Прогрессия в литературе

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

М. Ю. Лермонтов

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

«бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

Прогрессия 1; 3; 5; 7.

А.С. Пушкин.

Прогрессии в ОГЭ. Проблема?

Вопрос, как решать прогрессию, ставит поначалу в тупик многих учеников. Быть может, это происходит оттого, что кажется сложным само название, а может, оттого, что формулы арифметической и геометрической прогрессии выглядят устрашающе.

На самом деле, прогрессию решать совсем несложно, если хорошо понять, что это такое.

Задачи из вариантов ОГЭ

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

РЕШЕНИЕ.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q

Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна        

  -1024-256-64-16-4=-1364

Ответ: −1364.

Дана арифметическая прогрессия: -4;-2;0… Найдите сумму первых десяти её членов.

РЕШЕНИЕ.

Определим разность арифметической прогрессии:

Сумма первых k -ых членов может быть найдена по формуле 

Необходимо найти S10, имеем:

Ответ: 50.

Дана арифметическая прогрессия ( a n ), для которой a 10  = 19, a 15  = 44. Найдите разность прогрессии.

РЕШЕНИЕ.

Член арифметической прогрессии с номером n вычисляется по формуле

Зная, что a 10  = 19, b 15  = 44, получаем систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго и решим систему:

Ответ: 5.

Вывод проекта

Выдвинув гипотезу, что прогрессия широко применяется в жизни человека, мы увидели, что прогрессии в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями .

Используемая литература

• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы - М.: Просвещение, 1990.-224сю;
• Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..
• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
• http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
• http://festival.1september.ru/articles/568100/
• Открытый банк заданий ФИПИ