Проект. Двумерный симплекс.

2020-2021 учебный год

Содержание

Введение 3

Глава 1. Что такое треугольник?

1. 
   1.1 Понятие треугольника 5

2. 
   1.2 Виды треугольников 5

3. 
   1.3 Основные линии треугольника 6

4. 
   1.4 Признаки равенства треугольников 8

5. 
   1.5 Признаки равенства прямоугольных треугольников 8

6. 
   1.6 Признаки подобия треугольников 9

Глава 2. Это интересно …

2.1 Немного истории 9

2.2 Треугольники вокруг нас 10

2.3 Триединая природа Вселенной 12

Глава 3. Удивительные треугольники

3.1 «Золотой» прямоугольный треугольник 14

3.2 Египетский треугольник 16

3.3 Треугольник Паскаля 17

Глава 4. Практическое применение треугольников 19

Заключение 20

Информационные ресурсы 21


Введение

“Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги, треугольники

и иные математические фигуры”


Г. Галилей

Актуальность исследования. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах ученые находят в египетских папирусах, которым более 4000 лет.

В Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – это теорема Пифагора и формула Герона, которым более 2000 лет.

В XV – XVI веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Например, это большой раздел планиметрии, получивший название “Новая геометрия треугольника”. Большой вклад в изучение свойств треугольника внес русский ученый Н.И. Лобачевский. Его труд «Новое начало геометрии» получил применение в физике, кибернетике и математике.

^ Цель исследования:

расширить представления о треугольниках.

Объект исследования: треугольник.


Предмет исследования:

1. 
   Основные линии треугольника и их свойства.

2. 
   Виды треугольников.

3. 
   Признаки равенства треугольников.

4. 
   Треугольники в жизни.

5. 
   Признаки подобия треугольников.

Задачи исследования:

• 
  Пополнить интеллектуальный багаж;

• 
  Рассмотреть треугольник, его основные линии и их свойства;

• 
  Рассмотреть различные виды треугольников;

• 
  Совершить экскурс в историю треугольников

Гипотеза исследования: Если популярность треугольника определяется его триединством, то это простота, красота и значимость


Методы исследования:

• 
  теоретические (анализ специальной литературы по проблеме, материалов, полученных из информационных источников сети Интернет, учебника геометрии);

• 
  статистические: математическая обработка полученных в ходе исследования результатов.

^ Этапы исследования: На первом этапе (октябрь 2009 г.) проводилось накопление материала.

На втором этапе (ноябрь 2009 г.) была выдвинута и разработана гипотеза исследования.

На третьем этапе (декабрь 2009 г.) с целью проверки гипотезы была разработана методика исследования; организована работа, на основе которой осуществлялась проверка и уточнение рабочей гипотезы, и теоретическое обобщение результатов исследовательской работы.

^ Структура исследовательской работы. Исследовательская работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка информационных ресурсов.

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, определяются объект, предмет, цель, гипотеза, задачи и методы исследования.

В первой главе раскрывается понятие треугольника, его видов, основных линий. Перечисляются признаки равенства треугольников и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Во второй главе рассматриваются занимательные исторические факты из области изучения треугольников.

В третьей главе рассматриваются удивительные треугольники и их свойства.

В четвертой главе рассматривается практическое применение треугольников.

В заключении подводятся итоги исследования, анализируются материалы, собранные из различных информационных источников.


^ Глава 1. Что такое треугольник?

1. 
   Понятие треугольника

Треугольник – это простейшая фигура. Математики его называют двумерным симплексом. « Симплекс» по- латыни означает простейший.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

^ 1.2 Виды треугольников

1) Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

2) Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

3) Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

4) Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

5) Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.


^ 1.3 Основные линии треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.




^ Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

Би ссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.


Вы сотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.


^ Трисектриса угла — луч, делящий угол на три равные части.



Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.


^ 1.4 Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

• 
  две стороны и угол между ними;

• 
  два угла и прилежащая к ним сторона;

• 
  три стороны.

^ 1.5 Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

• 
  гипотенуза и острый угол;

• 
  катет и противолежащий угол;

• 
  катет и прилежащий угол;

• 
  два катета;

• 
  гипотенуза и катет.

Признаки подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если:

1. 
   все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов);

2. 
   все их стороны пропорциональны;

3. 
   две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между этими сторонами, равны

Глава 2. Это интересно …


^ 2.1 Немного истории


Со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника и ромба.

Первобытные люди покрывали свои ритуальные сферические сосуды сетью крупных равносторонних треугольников, штамповали треугольники и ромбы на других изделиях.

Символическое изображение треугольника проходит в архитектуре и строительстве (пирамиды и др.), во фрагментах одежды и украшениях.

Вожди племен северо-американских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник с точкой в центре, в Африке женщины туарегов также украшают себя большими пластинами из равносторонних треугольников, часто закрывающими всю грудь.

Равносторонние треугольники рисуют на священных пластинках (например, пластина кубанской культуры в экспозиции Исторического музея в Москве), равносторонние треугольники - на изображениях священных животных, странные треугольные плитки в большом количестве находят на ныне пустынном острове Маражо в устье Амазонки.

Платон считал, что Вселенная построена из различного сочетания простейших и одинаковых элементов. Такими первоэлементами он считал треугольники. В диалоге "Тимей" Платон пишет: "Различных по величине треугольников было столько, сколько родов различают ныне (внутри основных видов). Сочетание их между собой и с другими треугольниками дало беспредельное многообразие". " Природа строит своё богатство и многообразие из простейших блоков", - вторит ему современная наука, описывая строение вируса в форме икосаэдра - многогранника из 20 треугольников.






^ 2.2 Треугольники вокруг нас


По словам архитекторов, треугольная форма здания позволяет минимизировать затененность соседних зданий, а так же уменьшает ветровую нагрузку и воздействие солнечных лучей.


 


 


Треугольные купала башен и отделка, делают здания ещё привлекательнее.

 

Треугольник в природе


 

Сосновый треугольник Все в жизни имеет завершение

 

Жизнь треугольника Невозможные треугольники

Астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд используют свойства треугольников.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Инженеры любят треугольник за его «жестокость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырехугольников и многоугольников с большим числом сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника.




^ 2.3 Триединая природа вселенной


Триединая природа вселенной:

• 
  Небо, Земля, Человек;

• 
  Отец, Мать, Дитя.

Человек как:

• 
  Тело, Душа, Дух;

• 
  Любовь, Истина, Мудрость.

Мистическое число три. Тройка - первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из  треугольников  (Платон). Равносторонний  треугольник  символизирует завершение.


Геометрически четыре стихии изображаются в виде треугольников:




Треугольник, обращенный вершиной вверх - символ огненной стихии, творческая сила, вдохновение. Огонь находится на юге; это стихия лета, тепла.


Треугольник, обращенный вершиной вверх - символ огненной стихии, творческая сила, вдохновение. Огонь находится на юге; это стихия лета, тепла.

 Треугольник, обращённый вершиной вниз - вода, символ лунного могущества, интуиция и чувства. Она расположена на западе и ассоциируется с осенью.




Треугольник, обращённый вершиной вверх с горизонтальной линией - воздушная стихия, представляет логику и разум. Воздух - стихия весны, она находится на востоке.



Перевернутый треугольник с горизонтальной линией - знак Земли, реальность, практическое начинание, глубинная сущность вещей. Эта стихия располагается на севере и ассоциируется с зимой.


Глава 3. Удивительные треугольники


^ 3.1 «Золотой» прямоугольный треугольник





Кроме широко известного «золотого» равнобедренного треугольника, в архитектуре широко используется еще один вид треугольника, основанного на золотом сечении.

Считается, что именно этот прямоугольный треугольник является главной геометрической идеей пирамиды Хеопса.




^ 3.2 Египетский треугольник


Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25.

Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины. В VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет.

Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет - и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.

Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников - треугольников с целочисленными сторонами и площадями.


^ 3.3 Треугольник Паскаля





Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике".

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года – даты выхода в свет трактата.


Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.


^ Построение треугольника Паскаля


Тр еугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.


^ Свойства треугольника Паскаля

Свойства строк

1. Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1).

2. Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).

3.  Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т- простое число, а n - степень этого простого числа.

Глава 4 Практическое применение треугольников

Задача 1. Определение расстояния до недоступной точки. Как найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В?

Дано:  А=71^о,  С=99^о45^,, АС=50 м.

Найти: АВ

Решение:

Недоступная точка В это основание столба ВD





Ответ: 306 м.


За дача 2. Определение высоты предмета. Как найти высоту дерева? Как найти высоту столба?

Дано:

ВС=34,5 м

АВН=α=3^о20^, для дерева

АСН=β=3^о для дерева

АВН=α=1^о36^, для столба

АСН=β=1^о26^, для столба

Найти:

АН – высоту дерева и столба

Решение:



Вычисления для дерева.



Вычисления для столба:



Ответ: 8,2м.


Заключение

В ходе своей работы я выяснила, что:

1. 
   Первые упоминания о треугольнике и его свойствах были найдены в египетских папирусах.

2. 
   Свой вклад в изучение треугольников внесли такие великие ученые, как Пифагор, Герон, Евклид, Паскаль, Н.И. Лобачевский и др.

3. 
   В математике существуют удивительные треугольники: треугольник Паскаля, Египетский треугольник, «золотой» треугольник.

4. 
   Треугольник имеет огромное мистическое значение.

Вывод

Причина популярности треугольника: это простота, красота и значимость. В самом деле, треугольник – это простейшая фигура. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений, используется в архитектурных сооружениях.

В ходе исследования моя гипотеза подтвердилась полностью.


Информационные ресурсы

• 
  Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-изд.

• 
  Выпуск 1. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 23. (Приложение к журналу «Квант». – 1998. - № 1)

• 
  Готман Э. Прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 23.

• 
  Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1984, с. 120.

• 
  Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с.96.

• 
  Шарыгин И.Ф. и др. Окружность девяти точек и прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 31.

• 
  Шарыгин И.Ф. Узнайте точку /Математический кружок. – М.: Бюро Квантум, 1999, с. 46. (Приложение к журналу «Квант». – 1999. - № 3).

• 
  Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 381

Начало формы

Конец формы