Проект "Формула Пика"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Кормиловского муниципального района

«Юрьевская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательский проект

по математике на тему:

«Формула Пика как один из рациональных способов нахождения площади многоугольников»

Выполнила: ученица 11 класса

Исангулова Виктория

Руководитель: Касаткина Елена

Викторовна, учитель математики

2020 - 2021 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………. ……………………………………………..……………..………. 3

ГЛАВА 1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. 1. Методы расчета площади многоугольников ………..…………..…………………………. 4

1. Формула Пика……………… ………………………..…………...…………………..............5

1. Использование формулы Пика………………………………………………………..………6

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Задачи ЕГЭ…………………………………………...………………………………...…….…7

2.2. Формула Пика для окружностей……………….. ……...……………………………....….....9

2.3. Формула Пика в пространстве………………….…………..…………………………….….10

1. Эксперимент и исследование …………...…………………………………... …….…..…....10

ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА……………….…………..12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………..………….…………………...….…...… 17

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………….…………….……….19

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………..………..20

"Геометрия есть знание величин,

фигур и их границ,

а также отношений между ними

и производимых над ними операций,

разнообразных положений и движений"

Диа́дох Прокл

Введение

Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да. Это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?

Актуальность: при решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго. Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на клетчатой бумаге очень интересная тема. Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др.

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель: исследование рациональности использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на плоскости.

2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей.

3. Сравнить и проанализировать результаты исследования.

4. Разработать рекомендации учащимся по применению формулы Пика при решении задач ЕГЭ.

 Методы:

1. Системный анализ

2. Обобщение

3. Сравнение

4. Поиск

ӏ Основная часть 1.1. Методы расчета площади многоугольников.

Мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.

В жизни часто приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.

Задание: Вычислить площадь многоугольника

1 Способ - разбиение

Задача 1.

Рисунок 1

Решение: 1) S1 =82 = 64 (кв. ед.) 2) S2 = 6*6/2 = 36/2 = 18 (кв. ед.) 3) S3 = 10*2/ 2 = 20/2 = 10 (кв. ед.) 4) S = 64+18+10 = 92 (кв. ед.) Ответ: 92 кв. ед.

Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 нельзя разбить на прямоугольные треугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае.

2 Способ – достраивание

Задача 2.

Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до «хорошего», нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, затем из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

Рисунок 2

Решение: 1) SABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.) 2) SACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.) 3) SCBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.) 4) SCEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.) 5) SABC = SABF - (SBCE + SACD + SCEFD) = 3 - (0,5 + 1 + 1) = 0,5 (кв. ед.) Ответ: 0,5 кв. ед.

Задача 3.

Рисунок 3

Решение: S1 = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.) S2 = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.) S3 = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.) S4 = 5 * 3 = 15 (кв. ед.) S5 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.) S6 = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.) S7 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.) SФ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + + S7 = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 (кв. ед.) Ответ: 39 кв. ед.

Вывод:

Анализ показал, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» сложно и долго. Оказывается, есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя Формулу Пика.

1.2. Формула Пика

Георг Александр Пик

(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.3. Использование формулы Пика

Алгоритм вычисления площади многоугольника

с помощью формулы Пика:

1. Отметить внутренние и граничные узлы¹.

2. Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов.

3. Находим площадь фигуры по формуле:

S = В + Г : 2 - 1.

Задача 4

Вычислим площадь фигуры по формуле Пика.

Рисунок 4

В = 1 , Г = 8 S = 1 + 8 : 2 – 1 = 4 (кв. ед.) Ответ: 4 (кв. ед.)

Вернёмся к задаче №3 и вычислим её площадь по Формуле Пика:

В = 35, Г = 10 S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.) Ответ: 39 кв. ед.

II. Исследовательская часть 2.1. Задачи ЕГЭ

На ЕГЭ часто встречаются задачи на вычисление площади фигур, которые изображены на клетчатой бумаге. Их площадь можно вычислить с помощью «разбиения» или «достраивания». Это простые способы, но они очень громоздкие и отнимают много времени.

Задача 5.

Нарисуем на клетчатой бумаге какой - нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 5.

Рисунок 5

Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты.

1 способ: Решение достраиванием:

Рисунок 6

S1 = (3 * 1) : 2 = 1,5 (кв. ед.) S2 = (3 * 2) : 2 = 3 (кв. ед.) S3 = 1 * 4 – (1 * 2 : 2) – (1 * 3 : 2) - 1 * 1 = 4 – 1 – 1,5 – 1 = 0,5 (кв. ед.) Sф = 1,5 + 3 + 0,5 = 5 (кв. ед.) Ответ: 5 кв. ед.

2 способ: Решение с помощью Формулы Пика:

Рисунок 7	Г = 6, В = 3 S = 3 + 6 : 2 – 1 = 5 (кв. ед.) Ответ: 5 кв. ед.

Задача 6 .

О чень сложно вычислить площадь, разбивая на части, достраивая до элементарных фигур, но Формула Пика позволяет легко найти площадь этой фигуры.

Решение:

Г = 8, В = 0.

S= 0 + 8 : 2 – 1 = 3 (кв. ед.)

Ответ: 3 (кв. ед.)

Рисунок 8

Многоугольник на рисунке 9 сложно разбить на прямоугольные треугольники, но его площадь можно вычислить по теореме Пика:

Рисунок 9

Решение. В = 6, Г = 13 S = 6 + 13 : 2 - 1 = 11,5 Ответ: 11,5 (кв. ед.)

С помощью компьютерной программы сайта «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/ мы проверили наши вычисления.

Рисунок 10

2.2. Формула Пика для окружностей

Многие считают, что формула Пика не подходит для нахождения площади окружности, но это не так. Правда есть маленькая неточность, но нам не нужно вычислять площадь до десяти тысячных долей.

Вычислим площадь кольца на рисунке 11.

Рисунок 11

Известно, что площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов.

1 способ.

Решение по формулам:

Примем за 3,14.

R₁ = 2,9

R₂ = 2

S_кол = (3.14 * 2.9 * 2.9) – (3.14 * 2 * 2) = (3.14 * 8.41) – (3.14 * 4) = 26.4074 – 12.56 = 13.8474 (кв. ед.)

Ответ: 13,8474 (кв. ед.)

2 способ.

Решение по формуле Пика:

В₁= 21 В₂ = 9

Г₂ = 16 Г₂ = 12

S_БК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.)

S_МК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.)

S_кол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.)

Ответ: 14 (кв. ед.)

В итоге мы видим, что отличие в результатах всего 1.1%

2.3. Формула Пика в пространстве.

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1 с помощью формулы Пика не получится.

К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.

2.4.Эксперимент и исследование

Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным (безошибочным и малозатратным по времени).

Обучающимся 8-11 классов мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью формул для нахождения площадей. Каждому нужно было решить 6 задач и засечь время их выполнения.

Затем мы рассказывали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время).

Результаты эксперимента представлены в таблице.

Общие результаты эксперимента:

	Затраченное время - среднее значение (мин)		Количество уч-ся, допустивших ошибки		Безошибочных работ
	T1	T2	О1	О2	Э1	Э2
8 класс (15 учеников)	6,8	3,5	10	3	5	12
9 класс (15 учеников)	6,6	3,7	13	7	2	8
10 – 11 класс (10 человек)	4,7	2,4	4	0	6	10
Всего (40 учеников)	6,3	3,4	27	10	13	30

Проведенный эксперимент показал, что:

1. никто из учеников не знал формулу Пика;

2. 27 из 40 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;

3. 10 из 40 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;

4. количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 - 11 – классников 100 %;

5. количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза;

6. время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.

Результаты эксперимента:

Количество участвующих в эксперименте	Затраченное время			Количество ошибок
	ИС	ФП	О1		О2
1/8	6	4	2		1
2/8	6	3	3		0
3/8	7	4	0		0
4/8	6	3	2		0
5/8	6	3	0		0
6/8	4	2	3		0
7/8	9	3	2		1
8/8	6	4	1		0
9/8	6	3	0		0
10/8	9	2	0		0
11/8	4	3	1		0
12/8	5	3	2		1
13/8	6	3	0		0
14/8	9	2	2		0
15/8	10	5	1		0
16/9	6	3	1		0
17/9	7	4	2		1
18/9	8	4	2		1
19/9	6	3	1		0
20/9	9	5	2		1
21/9	9	5	3		2
22/9	6	3	1		0
23/9	5	3	1		0
24/9	7	4	2		1
25/9	5	3	0		0
26/9	5	3	0		0
27/9	6	4	1		0
28/9	7	3	3		2
29/9	5	4	2		1
30/9	6	3	2		0
31/10	5	3	0		0
32/10	4	2	2		0
33/10	6	3	1		0
34/10	4	2	0		0
35/10	6	3	1		0
36/11	4	2	0		0
37/11	4	2	0		0
38/11	5	3	2		0
39/11	5	2	0		0
40/11	4	2	0		0
Всего (40 учеников)

ИС – решение задач известными способами,

ФП – решение задач по формуле Пика.

III Практическое применение Формулы Пика

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 1.

Д ано:

Г=10, В=27.

Решение: S=27+10:2-1=31(кв. ед.)

Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.

Дано:

Г=3, В=0.

Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)

Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3.

Д ано:

Г=4, В=0.

Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)

Ответ: 1 кв.ед.

Задача 4.

Дано:

Г=6, В=3.

Решение: S=3+6:2-1=5 (кв.ед.)

Ответ: 5 кв.ед.

Задача 5.

Дано:

Г =6, В=16.

Решение: S=16+6:2-1=17(кв.ед.)

Ответ: 17 кв.ед.

Задача 6: Найти площадь «ракеты».

Дано:

Г=20, В=25.

Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)

Ответ: 34 кв.ед.

Задача 7: Найти площадь кувшина.

Дано:

Г=6, В=14.

Решение: S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)

Ответ: 16 кв.ед.

Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».

Д ано:

Г=10, В=4.

Решение: S=4+10:2-1=8 (кв.ед.)

Ответ: 8 кв.ед.

Задача 9.

Дано:

Г-9, В=11.

Решение: S= 11+9:2-1=14,5 (кв.ед.)

Ответ: 14,5 кв.ед.

Задача 10.

Дано:

Г=26, В=32.

Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)

Ответ: 44 кв.ед.

Задача 11.

Дано:

Г=16, В=27.

Решение: S=27+16:2-1=34 (кв.ед.)

Ответ: 34 кв.ед.

Задача 12.

Д ано:

Г=26, В=32.

Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)

Ответ: 44 кв.ед.

Задача 13.

Дано:

Г=22, В=30.

Решение: S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)

Ответ: 40 кв.ед.

Задача 14.

Дано:

Г=28, В=52.

Решение: S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)

Ответ: 65 кв.ед.

Задача 15.

Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 - 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.

Ответ: 31

Задача 16.

Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.

Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является — он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна

S=21 + 8/2 - 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 12² =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.

Ответ: 24 кв.ед., 6.

Задача 17: Вычислить площадь многоугольника.

Дано:

В=33, Г=28.

Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)

Ответ. 46 кв.ед.

Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.

Дано:

В=117, Г= 68.

Решение: S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)

Ответ:150 кв.ед.

Заключение

При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.

Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:

1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки.

3. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

4. Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.

Список используемой литературы.

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы. М. Просвещение, 2012.

2. Вавилов В.В, Устинов А.В. .Многоугольники на решетках. М.МЦНМО,2006.

3. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

4.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

5.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2016 – 2017.

6. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.

8. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен», 2011-2012гг

9. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

10. «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/

Приложение

1^ Узел – здесь: точка на пересечении клеток тетради.