Проект "Извлечение квадратного корня"

Введение.

Обоснование выбора темы

Каждый год ребятам 9 и 11 классов приходится сдавать государственную итоговую аттестацию. При решении полных квадратных уравнений, при нахождении сторон прямоугольного треугольника с использованием теоремы Пифагора, приходится вычислять квадратные корни. В школе при вычислении квадратного корня из больших чисел используется таблица квадратов. Но таблица квадратов, которая есть у нас в учебнике за девятый класс, содержит квадраты чисел до 9801. А если вычислить квадратный корень из 15129, то эту таблицу использовать нельзя.

Актуальность

Когда на экзаменах, особенно на профильной математике, ребятам приходится вычислять квадратные корни из больших чисел, то многие плохо справляются с этой задачей. Они стараются вычислить методом подбора, затрачивая на это вычисление много времени. Ребята нервничают и допускают ошибки. Я решила исследовать эту проблему, то есть выяснить, нет ли других методов вычисления квадратных корней.

Цель проекта: Выявить методы вычисления квадратных корней из больших чисел и их исследовать. И оценить области, в которых применяются эти вычисления.

• Изучить методы вычисления квадратных корней.

• Оценить области применения методов вычисления квадратных корней.

• Получить навыки в вычисление квадратных корней.

• Познакомить с методами вычисления квадратных корней своих одноклассников.

Методы вычисления квадратных корней.

Навыки вычисления квадратных корней упростят вычислительную деятельность.

Ожидаемые результаты

• Знать методы вычисления квадратных корней

• Уметь вычислять квадратные корни различными способами

• заинтересованность обучающихся школы в применениях методов вычисления квадратных корней.

Методы реализации проекта:

1. Объяснительно-иллюстративный – предъявление информации различными способами (объяснение, рассказ, беседа, инструктаж, демонстрация, работа с литературой и др);

2. Эвристический – метод творческой деятельности (создание творческих моделей и т.д.);

3. Проблемный – постановка проблемы и самостоятельный поиск её решения;

4. Программированный – набор операций, которые необходимо выполнить в ходе выполнения практических работ (компьютерный практикум);

5. Репродуктивный – воспроизводство знаний и способов деятельности (собирание моделей и конструкций по образцу, упражнения по аналогу);

6. Частично-поисковый – решение проблемных задач с помощью педагога;

7. Поисковый – самостоятельное решение проблем.

• сеть Интернет,

• АРМ ученика и учителя (компьютер, проектор, сканер, принтер)

Основная часть.

Мы рассмотрим три способа вычисления квадратных корней: разложение на множители, метод оценивания, деление столбиком.

1 способ – разложения на множители.

Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители. Например. Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

Примеры для самостоятельного выполнения: , .

2 способ – метод оценки.

Если мы число возводим в квадрат, т.е. умножаем само на себя. Тогда на конце этого числа могут стоять цифры:

Значит если я перемножаю 64 на 64, то результат должен оканчиваться цифрой 6, если 49 на 49 – то на 1 и т.д. Что это даёт?

Например, мы должны найти . Мы должны найти границы т.к. 60²=3600, а 70²=4900, то будет находиться между 60 и 70. А так как число 4761 оканчивается на «1», то будет равен либо 61, либо 69. Но так как 4761 находится ближе к 4900, то будет равен 69.

Пример: , .

3 способ – деление столбиком.

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую.

Пример

=&, т.е. &²=596334.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа &.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа &: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа &.

Далее процесс повторяется.

Заключение

В ходе реализации проекта у меня сформировались умения и навыки:

• Извлекать квадратные корни методом разложения на простые множители.

• Извлекать квадратные корни методом оценки.

• Извлекать квадратные корни методом столбика

• Устного счёта

Вывод

В результате реализации проекта «Способы вычисления квадратного корня» я познакомилась с методами вычисления квадратного корня. Получила навыки в вычислении квадратного корня из чисел большого порядка. Повысила навыки устного счёта.

Библиографический список

1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980

3. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.

–М.:Просвещение,1987

1. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979

2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.

https://pandia.ru/text/81/016/9027.php

https://www.youtube.com/watch?v=Tzg_Z2CpORE

https://www.youtube.com/watch?v=NFnwR6VTPgQ

https://www.youtube.com/watch?v=_7WBkLMVfVM

4