Проект "Календарь глазами математика"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Кормиловского муниципального района

«Юрьевская средняя общеобразовательная школа»

Проект по математике на тему:

«КАЛЕНДАРЬ ГЛАЗАМИ МАТЕМАТИКА»

Выполнила: ученица 9 класса

Касаткина Влада

Руководитель: Касаткина Елена

Викторовна, учитель математики

2020 - 2021 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………. ……………………………………………..…………..………. 3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ КАЛЕНДАРЕЙ

1. 1. Календарь и его виды ………………………………...…………..………………………. 4

1. Первые печатные календари ………………………..…………...………………...............5

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЕ

2.1. Исследование «Треугольники в календаре» ……...………………………………………7

2.2. Исследование «Четырехугольники в календаре» ……...………………………………....9

2.3. Исследование «Пятница 13-е» ………………….…………..…………………………….11

1. Закономерности в календаре …………...…………………………………... …………...12

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ…………………………..13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………..………….………………………...… 16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………………….……….17

ВВЕДЕНИЕ

Мы так привыкли пользоваться календарем, что даже и не вполне отдаем себе отчет в том, как велика в нашей жизни и во всем нашем мышлении роль упорядоченного счета времени; между тем нетрудно видеть, что никакая культура невозможна без него.

Н.И. Идельсон,

советский астроном-теоретик

Любой из нас с легкостью может назвать, какой сегодня день недели, число, месяц, год. В разговоре мы часто используем обороты, которые так или иначе затрагивают тему времени: «через неделю», «год назад», «до новой эры» и т.д.? В наше время нет человека, который не знал бы, что такое календарь. К его услугам мы прибегаем ежедневно. Календарь стал привычным и необходимым для нас предметом. Мы настолько привыкли пользоваться календарем, что даже не можем себе представить современное общество без упорядоченного счета времени.

Двенадцать систематизированных определенным образом числовых таблиц интересны не только ученым, но и любителям математики. Так, многие сборники математических задач, задачи различных математических соревнований, конкурсов и олимпиад содержат задачи, связанные с календарем.

Гипотеза проекта: Какие особенности и закономерности присутствуют в календаре?

Цель работы: изучить и систематизировать математические закономерности в календаре на уровне понятном моим сверстникам.

Предмет исследования — особенности и закономерности календаря.

Объект исследования: календарь.

Задачи:

• Прочитать и проанализировать естественнонаучную и художественную литературу, которая описывает понятие «календарь». Научиться работать с литературой. Находить информацию в Интернете.

• Расширить свой кругозор, получить новые знания и умения.

• Обобщить и систематизировать информацию о понятии «календарь» для любителей математики в виде проекта.

• Познакомить с собранной информацией сверстников, например во время «Недели математики».

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ КАЛЕНДАРЕЙ

1. Календарь и его виды.

История календаря и сам календарь произошел из далекой древности. Более того, невозможно утверждать, что создание календаря принадлежит какому-либо одному народу. Дело в том, что многие народы и даже эпохи вложили свои знания в то, что сегодня мы называем календарем.

Календарь – система счисления длительных промежутков времени, основанная на периодичности таких явлений природы, как смена дня и ночи, смен фаз Луны, смена времени года. [6]

Слово «календарь» происходит от латинского calendae – в Древнем Риме так назывались первые дни каждого месяца (календы). В свою очередь это существительное происходит от архаичного глагола caleo – «провозглашать», «созывать». Это связано с тем, что в Риме начало месяца всегда торжественно провозглашалось особыми жрецами. Затем возникло слово calendarium, что означает «долговая книжка». В Древнем Риме должники платили проценты впервые дни месяца, то есть календы. В современном значении календарь - это способ деления года на удобные периодические интервалы времени, основанный на периодичности видимых движений небесных тел. Основными задачами календаря являются фиксация и изменение интервалов времени. Создать точный календарь можно при условии, что год будет состоять из целого числа суток. Следовательно, составление точного календаря невозможно! Существуют попытки составления точного и удобного календаря, поэтому и видов календарей несколько, например:

• Лунный календарь;

• Солнечный календарь;

• Солнечно – лунный календарь;

• Юлианский календарь («старый стиль»);

• Григорианский календарь («новый стиль») и др.

Так, в основе Лунного календаря положен лунный месяц, продолжительностью 29 или 30 суток. Продолжительность солнечного года не принимается во внимание. Длина года в лунном календаре составляет 354 суток. Лунным календарем до нашего времени пользуется большинство мусульманских стран. А чтобы поставить в соответствие с солнечным календарем ведение сельскохозяйственных работ и общественную жизнь, к короткому году лунного календаря время от времени стали прибавлять тринадцатый месяц. При этом часто возникала путаница.

Солнечно-лунный календарь был создан еще в Древнем Египте. В нем было 12 месяцев по 30 суток и в конце года добавлялось еще 5 суток. Позже Эвергет предложил один раз в 4 года добавлять одни 366-е сутки. В настоящее время этот календарь используется в Эфиопии.

Также, существуют календари «нового стиля» и «старого стиля». Такими календарями являются Григорианский календарь и Юлианский календарь.

Юлий Цезарь постановил считать одни годы по 365 суток, другие по 366 суток, чередуя их: три коротких, четвёртый длинный. Все нечётные месяца имели по 31 дню, чётные по 30 дней, кроме февраля, который имел 29 дней, а 30 только в високосные года. Продолжительность года в таком календаре была 365 суток и 6 часов. Этот календарь назывался Юлианским календарём.

Но этот календарь превышал астрономический год на 11 минут и 14 секунд. К 325 году превышение стало уже 3 суток. Тогда было решено создать новую реформу календаря. Инициатором реформы был римский папа Григорий 13, а разработал её итальянский врач, математик и астроном Алиозий Лилио. В таком календаре сдвинули числа на 10 дней, оставив чередование простых и високосных лет. Если год оканчивается 2 нулями, а число его сотен не делится на 4, то этот год простой, а не високосный. Этот календарь называют Григорианским. Жители России, Европы, США и многие другие используют Григорианский календарь.

Было много попыток по реформе календаря с изменением длительности недель и месяцев, при которых в каждом месяце было бы одинаковое количество недель, но по разным причинам они были не приняты.

На сегодняшний день календарь является одним из наиболее востребованных видов полиграфической продукции. Современные технологии позволяют печатать календари любых размеров, цветов и форматов. На современном рынке полиграфической продукции календари представлены множеством типов, видов и вариантов.

Если под календарем подразумевать печатное издание в виде таблицы (табель-календарь), где содержится перечень чисел, дней недели, месяцев (реже годов), то выделяют следующие виды календарей: [7]

• Отрывной календарь – карманный или настенный календарь-книжка с отрывными листами, где на одном листе располагается информация по данному дню (реже – неделя или месяц). Нередко используется как настенный календарь.

• Перекидной календарь – настольный или настенный календарь-книжка, у которого по прошествии указанного периода (дня, недели или месяца) перекидываются страницы (например, на «пружине»). К началу XXI века набрал большую популярность, чем отрывной.

• Табель-календарь – календарь в виде таблицы, может быть как карманным, так и настенным или настольным.

• Карманный календарь – малоформатный печатный календарь такого размера, чтобы его можно было положить в карман (то есть не большой почтовой открытки). Выпускается в виде таблицы (один плотный лист) или книжки (отрывной карманный календарь).

• Календарь-ежедневник – справочное издание в виде книжки среднего формата в плотной обложке, содержащее, помимо собственно календарных страниц, много другой полезной информации, которая может понадобиться в любое время. Например: календарь на несколько лет вперед, адресные страницы, телефонные коды городов и стран, таблица государственных праздников своей страны и зарубежных стран, календарная страница планирования отпусков, таблица зон времени, единицы исчисления, валюты стран мира, карты мира и многое другое. Являются незаменимой принадлежностью и составляющей любого планирования рабочего времени и фиксации всей необходимой полезной информации. Отвечает всем требованиям своего предназначения на каждый день: удобен в работе, в поездке, при использовании на весу, в условиях ограниченного времени, на улице, в машине и т.д.

За всю историю своего существования значение слова «календарь» менялось не раз. Но каждое новое значение, так или иначе, соотносилось с понятием времени и проблемой его измерения. Интересно, что первый в мире календарь появился уже примерно в трехтысячном году до нашей эры, в Европе, в небезызвестном местечке Stonehenge (Стоунхэндж), которое само по себе является своего рода календарем. Но в те времена, конечно же, проблема времени не была столь актуальна, как в современном мире. Календарь тогда был, скорее, методом познания окружающей действительности, попыткой осмыслить и понять закономерности земного бытия.

1. Первые печатные календари.

История печатных календарей началась в Древнем Риме.

Именно древние римляне впервые стали составлять списки, в которых указывались религиозные праздники, дни рождения императоров дни заседаний Сената. Самый древний из таких рукописных календарей относится к 354 году.

Первым в мире настенным печатным календарем, в виде одного листа бумаги с размером 67х72 см, был «астрономический календарь» 1448 года, изданный Иоганном Гутенбергом.

В Средние века составлением календарей ведала Церковь. Обычно такой календарь называли «Часослов», и представлял он собой «церковную книгу» с указанием дней, когда полагалось чтить тех или иных святых. В 1491 году был издан первый кириллический календарь «Часослов» немцем Швайпольтом Фиолем. В «Часослове» год начинался с сентября, а каждый месяц имел свое название, количество дней, длительность дня и ночи. Также, в «Часослове» числа месяцев обозначались кириллическими цифрами и были вынесены на боковые поля. Сам текст состоял из названий праздников, а важнейшие из них были выделены красным цветом. Название месяцев в «Часослове» были схожи с русскими.

В 1522 году Франциском Скориной был написан кириллицей на старославянском языке «Соборник», включающий в себя первые календарные сведения. В «Соборнике» упоминались первые сведения о количестве дней, знаках Зодиака, длительности дня и ночи, предсказания затмений Солнца и Луны, расчет Пасх на 20-ти летний период и др.

В 1581 году в России выходит первый календарь «Хронология», отпечатанный в типографии Ивана Федорова. Это был однолистный календарь, представленный в стихах Андреем Рымшей на старобелорусском языке с народными названиями месяцев. В календаре «Хронология» год начинается с сентября, что соответствовало византийскому календарю конца 15 века. Единственный экземпляр печатного календаря «Хронология» хранится в Российской национальной библиотеке Санкт-Петербурга.

В России печатные календари хорошо были известны с XVII века. Один из них был издан в 1670 году и назывался «Годовая разпись, или Месячило».

При Петре I начался постоянный выпуск настенных календарей. Самый замечательный из них – «Брюсов Календарь», изданный в шести таблицах, где «расписания» дней сопровождались предсказаниями погоды и урожаев. Название календарь получил по имени составителя – Якова Брюса, сподвижника царя и одного из самых образованных людей своего времени. Был Брюс астрономом, математиком, географом, ботаником, геологом … .

Только в 1704 году в Санкт-Петербурге в «Лексиконе» было официально напечатано слово «Календар», до того употреблялось название «Мясецяцеслов».

В 1727 году исключительное право на издание календарей получила Санкт-Петербургская Академия наук. Выпускаемые ею календари – месяцесловы содержали множество сведений по астрономии, географии, метеорологии, истории. Однако стоили дорого и были доступны далеко не каждому.

В начале XX века знаменитый московский издатель Иван Дмитриевич Сытин наладил выпуск красочно оформленных и дешёвых календарей. Их общий тираж был огромным по тем временам – 6 миллионов экземпляров.

Эти настольные календари, например, «Всеобщий русский календарь», «Общеполезный календарь», позволяли не только ориентироваться в днях недели и числах – читатель находил в них полезные сведения из разных областей знания: сведения об императорской семье, статистические данные, расписания ярмарок, карту железных дорог, образцы заполнения векселей.

Именно Сытин позже начал выпускать и популярный до сих пор отрывной календарь.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЕ

1. Исследование «Треугольники в календаре».

Задача. Если в календаре 2019 года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение.

Для удобства решения задачи, используем календарь, в котором числа запишем на клетчатой бумаге.

Из построения чертежа очевидно, что треугольники с вершинами в числах 30 – 9 – 10 и 10 – 13 – 20 – прямоугольные, с прямыми углами в вершинах с числами 9 и 13 соответственно. Из чертежа ясно, что стороны 9 – 30 и 10 – 13 равны; аналогично равны стороны 9 – 10 и 13 – 20. Отсюда, треугольники 30 – 9 – 10 и 10 – 13 – 20 равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих их сторон 10 – 30 и 10 – 20.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180˚, получаем, что сумма острых углов в треугольнике с вершинами в числах 9 – 10 – 30 равна 90˚. Следовательно, сумма углов, дополняющих угол 10 до развернутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9 – 10 – 30. Значит, угол 10 тоже равен 90˚. Итак, треугольник с вершинами в числах 10 – 20 – 30 является равнобедренным и прямоугольным.

Итак, данную задачу можно переформулировать в утверждение: в календаре 2016 года при соединении чисел 10, 20 и 30 января получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Гипотеза 1. Попробуем расширить утверждение: если в календаре любого года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник.

Расположение чисел 10, 20 и 30 в январе будет зависеть от того, каким днем недели будет 1 января.

Анализируя рисунки, мы видим, что существует семь различных вариантов расположения дат в январском календаре. При этом существует всего три существенно различных ситуаций расположения чисел 10, 20 и 30. Остальные получаются из первых двух, горизонтальными сдвигами треугольника.

Для первого случая доказательство, что полученный треугольник – равнобедренный и прямоугольный, приведено в задаче. Рассуждения для второго случая будут аналогичными.

Вывод. Календари обладают следующей особенностью: если в календаре любого года соединить числа соответствующие 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

Гипотеза 2. Попробуем расширить утверждение: если в календаре соединить числа 10, 20 и 30 любого месяца, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник или отрезок.

Проверим это утверждение на календаре 2019 года.

Получим тоже три различных ситуации расположения чисел 10, 20 и 30 в году.

Вывод. Календари обладают следующей особенностью: если в календаре соединить числа 10, 20 и 30 любого месяца, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой

Заметим, что первая ситуация получается, если первое число месяца приходится на воскресенье, понедельник и вторник. Вторая ситуация получается, если первое число месяца приходится на среду, четверг и пятницу. Если первое число приходится на субботу, то получаем, что числа 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

Гипотеза 3. Попробуем расширить утверждение: если в календаре в любом месяце соединить числа, стоящие друг от друга на 10 единиц, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник или отрезок.

Проверим это утверждение на календаре январь 2019 года.

Из рисунков видно, что получаются треугольники или отрезки. Проведя доказательства, делаем вывод, что получаются равнобедренные прямоугольные треугольники.

Вывод. Календари обладают следующей особенностью: если в календаре любого месяца соединить числа, отстоящие друг от друга на 10 единиц, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

1. Исследование «Четырёхугольники в календаре».

Заметим, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2х2), из девяти чисел (3х3) и из шестнадцати чисел (4х4). Аналогично, рассмотрим календарь за 2019 год, январь месяц.

Какими свойствами обладают такие квадраты?

Квадрат 2х2

Свойство 1. Сумма чисел на одной диагонали выделенного квадрата, равна сумме чисел на другой диагонали.

Пусть первое выделенное наименьшее число равно m, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны m + 1, m + 7 и m + 8.

Сумма одной диагонали квадрата: m + (m + 8) = 2m + 8.

Сумма другой диагонали: (m + 1) + (m + 7) = 2m + 8. Таким образом, выражения равны, а числа на одной диагонали квадрата равны сумме чисел на другой диагонали.

Свойство 2. Чтобы найти сумму четырех чисел в выделенном квадрате достаточно удвоить сумму чисел одной диагонали.

Свойство очевидно из предыдущего доказательства.

Пример: 2(2 + 8) = 20.

Квадрат 3х3

Свойство 1. Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

Пусть первое выделенное наименьшее число равно m, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны m + 1, m + 2, m + 7, m + 8, m + 9, m + 14, m + 15 и m + 16.

Складывая числа, получим 9m + 72 = 9(m + 8).

Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

Пример: (1 + 8)9 = 81.

Свойство 2. Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

Пусть последнее выделенное наибольшее число равно а, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны а – 1, а – 2, а – 7, а – 8, а – 9, а – 14, а – 15 и а – 16.

Складывая числа, получим: 9а – 72 = 9(а – 8). Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

Пример: (17 – 8)9 = 81.

Квадрат 4х4

С войство 1. Чтобы найти сумму шестнадцати чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 12 и полученную разность умножить на 16.

Пусть последнее выделенное наибольшее число равно а, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны а – 1, а – 2, а – 3, а – 7, а – 8, а – 9, а – 10, а – 14, а – 15, а – 16, а – 17, а – 21, а – 22, а – 23 и а – 24.

Складывая числа, получим: 16а – 192 = 16(а – 12). Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если из большего числа вычесть 12 и разность умножить на 16.

Пример: (25 – 12)16 = 208.

Свойство 2. Чтобы найти сумму 16-ти чисел достаточно умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположенных концах любой диагонали, выделенного квадрата на 8.

Рассматривая квадрат из 16-ти чисел, видим, что числа в любой диагонали образуют арифметическую прогрессию с разностью 8 (а – 24, а – 16, а – 8, а) и с разностью 6 (а – 3, а – 9, а – 15, а – 21). Поэтому их сумму можно найти по формуле:
. Т.к. суммы чисел в диагоналях равны, то сумма чисел в двух диагоналях будет равна  .

Сумма чисел в столбцах и в строках, не вошедших в диагонали, тоже равна сумме чисел в каждой диагонали. Получаем, что сумма всех чисел обведенного квадрата равна

или  .

Таким образом, чтобы найти сумму 16-ти чисел достаточно умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположенных концах любой диагонали, выделенного квадрата на 8.

1. Исследование «Пятница 13-е».

Пятница 13-го числа любого месяца – распространенная примета, по которой в такой день следует быть особенно готовым к неприятностям и остерегаться неудач.

С незапамятных пор в Вавилоне 12 считалось священным числом. Превышение этого рубежа воспринималось, как дурной знак, отсюда число 13 суеверные люди считают несчастным, испытывают перед ним страх и стараются избежать этого числа. Но страх ещё усиливается, когда число 13 попадает на пятницу в году.

Цель исследования: выяснить, какое максимальное (минимальное) число пятниц в одном году может попадать на число 13.

Выводы:

1. Какой бы ни был год (високосный или не високосный) не может быть года, в котором 13 – е число хотя бы один раз не пришлось на пятницу.

2. Минимальное число пятниц, приходящихся на 13 число – одна. В не високосный год пятница 13-е может быть только: в мае, или в июне, или в августе. В високосном году пятница 13-е может быть только: в мае, или июне, или октябре.

3. Максимальное число пятниц приходящихся на 13 число три. В не високосный год (год начинается с четверга) пятница 13-е выпадает: на февраль, март и ноябрь. В високосном году (год начинается с воскресенья) пятница 13-е выпадает на: январь, апрель и июль.

1. Закономерности в календаре.

• Любой не високосный год начинается и заканчивается одним и тем же днем недели ( год начался со вторника и вторником закончился). Високосный год заканчивается со сдвигом на 1 день недели ( год начался с воскресенья, а закончился понедельником).

• В високосный год на один и тот же день недели в году приходятся:

а) 1 января и 1 октября;

б) 1 февраля, 1 марта и 1 ноября;

в) 1 апреля 1 июля;

г) 1 сентября и 1 декабря.

• Если в некотором году 1 января – понедельник, а 1 октября – вторник, то год будет високосный.

• Все месяцы как високосного, так и не високосного года, можно разделить на 7 групп по признаку, на какой день недели приходится 1 число месяца.

1 группа: январь и октябрь;

2 группа: февраль, март и ноябрь;

3 группа: апрель и июль;

4 группа: май;

5 группа: июнь;

6 группа: август;

7 группа: декабрь и сентябрь.

• В году будет больше тех дней недели, с которых они начинаются. Так, 2009 год – не високосный, начался и закончился четвергом, значит, четвергов в году будет 53, а остальных дней недели 52.

• Четные (нечетные) недели месяца повторяются через 2 недели, если первая четная среда 2 числа, то следующие четные приходятся на 16, 28.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ.

1. Может ли быть в одном месяце быть 5 понедельников и 5 четвергов? Обоснуйте ответ.

Если в месяце 31 день, и он начинается с понедельника, то в нём может быть 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред, но остальных дней недели по четыре, так как 5+5+5+4+4+4+4=31. Ответ: не может.

2. Может ли в феврале високосного года быть 5 понедельников и 5 вторников? Ответ обоснуйте.

Только в феврале високосного года может быть 5 понедельников и по 4 остальных дней недели, т.е. в сумме – 29 дней. Ответ: не может.

3. В феврале 2004 года 5 воскресений, а всего – 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 года?

Если в феврале 29 дней и 5 воскресений, то первое воскресение будет 1 февраля. Отсюда 23 февраля – понедельник.

4. В некотором месяце три пятницы пришлись на чётные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

Три пятницы, выпадающие на чётные числа месяца, могут быть только 2, 16 и 30 числа. 15 числа был четверг.

5. Известно. Что 1 декабря приходится на среду. На какой день недели приходится 1 января следующего года?

Среда 1, 8, 15, 22, и 29 декабря, четверг 30, пятница 31. Ответ: суббота 1 января следующего года.

6. В некотором месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

Четные воскресенья 2, 16, 28. Значит 20 число этого месяца – четверг.

7. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

53 воскресенья.

8. Какое самое большое число месяцев с пятью воскресениями может быть в году?

5 месяцев. Обычный год при этом должен начинаться с воскресенья, а високосный – с субботы или воскресенья.

9. В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Какое это могло быть число?

31-е число и только одно. Например, в 2007 году ни одно воскресенье не было 31 числом.

10. В некотором месяце три субботы пришлись на четные числа. Какой день недели был 28-го числа этого месяца?

Пусть первая «четная» суббота пришлась на число, которое обозначим через х ( х – четное число). Следующая четная суббота будет через две недели, т.е. (х+14) –го числа, а третья «четная» суббота – (х+28) –го числа. Но в месяце не более 31 дня, следовательно, х+28≤ 31. У этого неравенства одно еётное решение х=2. Тогда третья «четная» суббота была 30-го числа, а 28-го был четверг.

11. В некотором месяце три пятницы пришлись на четные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

12. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

13. Докажите, что первый и последний день 2010 года – это один и тот же день недели.

2010 год не високосный 2. Обычный год содержит 365=52х7+1 дней, т.е. 52 полных недели плюс один день. Поэтому любой обычный год начинается и заканчивается на один и тот же день недели. Для 2010 года это будет пятница.

14. В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был 5-го числа этого месяца? Мог ли этот месяц быть декабрем?

За 4 недели, с 1 по 28-е число, каждый день недели встречается ровно 4 раза, поэтому из условия следует, что 29-е – воскресенье, 30-е – понедельник, а 31-го числа в этом месяце нет. Следовательно, месяц, о котором идет речь, начался с воскресенья, а его 5-е число было четвергом. Данный месяц декабрём быть не мог: в декабре 31 день.

15. В некотором году три месяца подряд содержали всего по четыре воскресенья. Докажите, что один из этих месяцев – февраль.

Если февраль не входит в указанные «три месяца подряд», то сумма дней – 91 или 92. Но 91=7х13, 92=7х13+1, т. е в этом случае три месяца содержат 13 полных недель, значит, и каждый день недели, в том числе воскресенье, содержится 13 раз, и условие не выполняется. Тем самым доказано, что один из трех месяцев должен быть февралём, причем в обычном году достаточно, чтобы из трёх месяцев был февралём, а в високосном – эти три месяца: февраль(29), март(31), апрель(30). К тому же необходимо, чтобы последний день третьего месяца был субботой.

16. У большинства Петиных одноклассников день рождения в 1995 году пришёлся на четверг. В 1996 году у большинства одноклассников он пришёлся на пятницу. А на какой день недели он приходился в 1997 году?

1995 и 1997 годы не високосные (по 365 дней), а 1996 – високосный (366 дней). При переходе от 1995 года к 1996 году любое число сместится на один день недели вперёд. Но при переходе от 1996-го високосного, смещение будет на два дня вперёд, т. е. день рождения, приходившийся на пятницу, сместится на воскресенье.

17. Год 2000 обозначается всего двумя римскими цифрами ММ. Какой год из прошедших 2000 лет содержит максимальное количество римских цифр в своей записи?

1888=MDCCCLXXXVIII.

18. Один человек обнаружил в 1937 году, что в  -м году ему было х лет, и сказал: «Если к числу моих лет прибавить порядковый номер месяца моего рождения, то получится квадрат дня моего рождения. Когда родился этот человек?

Если человек жил в 1937 году, то в 1849 году ему не могло быть 43 года: 1849=43². Следующая возможность – ему было 44 года в 1936 году: 1936=44². В силу заданных условий, 44+m=d²; 0