Проект "Лист Мёбиуса"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Кормиловского муниципального района

«Юрьевская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательский проект

«Волшебный лист Мёбиуса»

Выполнила: ученица 9 класс

Павлова Дарья

Руководитель: Касаткина

Елена Викторовна,

учитель математики

2020

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………….3

1. Основная часть

1.1. Наука топология ………………………………………………………….……….…5

1.2.Что такое лист Мёбиуса? ………………………………………………..…………...5

1.3. А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие………………………………………5

1.4. Опыты с листом Мёбиуса …………………………………………………………..6

2. Исследовательская деятельность.

2.1.Анкетирование учащихся………………………………………….………………...7

2.2. Проведение и описание экспериментов…………………………………………...8

2.3. Практическое применение листа Мёбиуса………………………………………..8

2.3.1.Применение листа Мёбиуса в технике……………………………....…………..9

2.3.2.Лист Мёбиуса в литературе………………………………………….……………9

2.3.3.Графическое искусство и скульптура…………………………….…..………..10

2.3.4.Архитектура………………………………………………………….…………….10

2.3.5.Лист Мёбиуса в повседневной жизни…………………………..….…………...11

2.3.6. «Памятники» математику А.Ф. Мёбиусу……………………………….………12

2.3.7.Лента в спорте……………………………………………………….……………..13
Заключение………….………………………………………………..…….…………….14
Литература ………………………………………………………………….…….………15

Введение

При изучении темы «Геометрические фигуры» на уроке учитель математики принесла обычную прямоугольную полоску и сделала из неё колечко с необычными свойствами под названием лист Мёбиуса. Мы были очень удивлены, как из обычного листа с лицевой и изнаночной сторонами получилась поверхность, имеющая только лицевую сторону. Поэтому мы решили провести исследование и выявить интересные свойства листа Мёбиуса, а затем провести мастер – класс со своими одноклассниками.

Я хочу рассказать об удивительной поверхности, которая имеет только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.  Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Меня очень заинтересовала и заинтриговала эта тема. Я изучила литературу, изготовила лист Мебиуса,  проводила исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства. 

Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но  тем, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, я предлагаю вместе со мной провести исследование и окунуться в светлое чувство познания. Это ведёт к более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.

Новизна работы заключается в том, что учащиеся нашей школы выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Я провела анкетирование и из анкеты видно, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Основополагающий вопрос.

Только ли математикам интересен лист Мёбиуса?

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования:  свойства листа Мебиуса

Все знают, что такое "поверхность". Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

• постановка проблемы,

• анкетирование,

• изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса,

• сбор собственного материала,

• проведение экспериментов,

• разработка нового электронного продукта.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Для достижения данной цели я поставила перед собой следующие задачи:

1) Изучить историю открытия листа Мёбиуса.

2) Изготовить лист Мёбиуса и исследовать  его свойства.

3) Найти объекты в окружающем мире, имеющие функциональные сходства с листом  Мёбиуса.

4) Установить области применения листа Мебиуса в повседневной жизни.

Гипотеза исследования:  Я предполагаю, что лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Методы исследования:

• поисковый;

• аналитический;

• экспериментальный;

• описательный

1. Основная часть

1.1 Наука топология

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

1.2. Что такое лист Мебиуса?

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е. пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

1.3 А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все ка к у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Эта история произошла в 1865 году.

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

1.4.Опыты с листом Мебиуса

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверх­ность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов.

Опыт №1. Зададимся вопросом: сколько сторон у этой полоски бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеются две стороны. А у него самого, оказывается только одна! я провела опыт: взяла краски и стала закрашивать ленту в одном направлении. Что же оказалось?

Результат: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь я ее не переворачивала, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогла бы перевернуть, даже если бы очень захотела, потому как поверхность ленты Мебиуса - односторонняя. Вот каким любопытным свойством она обладает.

Опыт №2. Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты. Я разрезала ее вдоль, точно посередине.

Результат: получилась не две, а одна лента.

Опыт №3. Сделала новый лист и разрезала ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края.

Результат: получилось два кольца – но!- одно большое и сцепленное с ним маленькое.

Вывод: Лист Мебиуса обладает связностью.

Опыт №4. На листе Мёбиуса соединим любую точку с любой другой точкой.

Результат: Разрывов нет – непрерывность полная.

Вывод: Лист Мебиуса обладает непрерывностью.

Опыт №5.Я вырезала бумажного человечка и отправила его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса.

Результат: он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие.

Вывод: Лист Мебиуса не обладает ориентированностью.

Мои опыты показали, простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в волшебную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства такие как односторонность, непрерывность, связность. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса.

2.Исследовательская деятельность

2.1. Анкетирование учащихся.

Чтобы выяснить, что же знают ученики нашей школы о листе Мёбиуса и его свойствах, мы провели среди них анкетирование. Анкета содержала следующие вопросы:

Анкета

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

- я знаю, что это такое

- только слышал о таком понятии

- не знакомо

2. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

- нет

- да, это следующие свойства - ______________________

3. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?

- нет

- да, он применяется - _______________________________

Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса и всё, что с ним связано.

2.2.Проведение и описание экспериментов

Что получится, если лист Мёбиуса разрезать вдоль на 3 полоски, 4,5,6,7 полосок? Эксперимент №1

Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

Исходный материал — на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски).

Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое — лист Мёбиуса — состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.

Эксперимент №2

Исходный материал — лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).

Результат разрезания – получим 3 кольца: I — лист Мёбиуса — 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III — кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.

Далее я решила провести эксперименты с разрезанием листа Мёбиуса на 4, 6, 7 полосок и занесла результаты в таблицу.

Результаты экспериментов.

Проанализировала табличные данные и заметила, что результаты зависят от чётности числа полосок, на которые разрезали лист Мёбиуса.

Выводы по проведённым экспериментам:

• при разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, число которых в 2 раза меньше числа полосок.

• при разрезании листа Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцеплённых с маленьким.

2.3.Практическое применение листа Мебиуса

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

2.3.1.Применение листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами. 

Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

2.3.2 Лист Мёбиуса в литературе

Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. Например рассказ Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Н. Ю. Ивановой

Лист Мебиуса – символ математики,

 Что служит высшей мудрости венцом…

 Он полон неосознанной романтики:

 В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

                              Что недоступна даже мудрецам:

                              Здесь на глазах преобразилась плоскость

                               В поверхность без начала и конца.              

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

2.3.3. Графическое искусство и скульптура

Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. На ней представлены муравьи, которые ползают по петле Мёбиуса с обеих сторон, хотя на самом деле сторона лишь одна.

Получается, что муравьи ползают по одной поверхности друг за другом. Художник очень любил геометрию и увлекался ей. В связи с чем. Именно поэтому на его работах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, оптические иллюзии.

М. Эшер. "Лист Мёбиуса II"

В  МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».

В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие творческий союз искусства и науки.

Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов г. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.

Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных картин и для графического искусства.

2.3.4. Архитектура

О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.

Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

2.3.5. Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.

Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

2.3.6 «Памятники» математику А.Ф.Мёбиусу

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

2.3.7. Лента в спорте

Существует множество других видов спорта Мёбиуса и даже Олимпийские игры Мёбиуса. Их эмблемой являются 5 сплетённых колец Мёбиуса. По причине бесконечности игровой поверхности, примечательностью этих видов спорта является то, что игра в основном идёт не на выигрыш, а на вылет.

Одними из таких являются бег с прыжками по Ленте Мёбиуса, тетрис Мёбиуса, бильярд Мёбиуса, футбол Мёбиуса.

Заключение

1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.

2. Лист Мёбиуса действительно необыкновенный. В этом мы убедились, проводя анализ результатов опыты с обычным кольцом и перекрученным листом.

3.Свойства листа многообразны. Они получены в результате эксперимента и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

Я сумела получить интересный математический материал. В ходе работы я создала мультмедийную презентацию, в которую включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

1. М.Гарднер  «Математические чудеса и тайны». Просвещение,1993

2. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики». Просвещение,1989

3. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.

4. Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. Просвещение, 2002 г.

5. Современный словарь иностранных слов.

6. И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева  «Наглядная геометрия» 5-6 класс. Дрофа, 2000г.

7. Энциклопедия для детей «Математика». Аванта+, 2001г.

Интернет-источники:
http://schools.keldysh.ru/sch1905/4
http://abursh.sytes.net/rusart/sculpture/etkalo/defaultr.htm
http://www.chinara.ru/ex_5.htm
http://www.sola.narod.ru/top.htm

http://yandex.ru/images/