Проект "Мнимые числа: история и значимость"

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Рязанский государственный университет имени С.А.Есенина»

Институт физико-математических и компьютерных наук

Кафедра математики

Научно-исследовательская работа

по теме « Мнимые числа: история и значимость»

Выполнил:

Каплин Егор Олегович,

ученик«10» класса

МОУ «Ряжская средняя школа №2»

Научный руководитель:

Назина Людмила Юрьевна

Рязань 2022

Введение

История чисел

Квадратные и кубические уравнения

Значимость: польза и применение

Заключение

Список литературы

Актуальность: мнимые(комплексные) числа – важнейшая тема курса математики. Она не только имеет большое значение в современной науке, но и входит в программу обучения большинства ВУЗов, в том числе и без технической направленности.

Решаемая проблема: Знания школьников о числовых множествах ограничиваются действительными числами, а это влияет как на решение конкретных задач, так и на уровень кругозора в целом.

Цель проекта: узнать, что такое мнимые (комплексные) числа, чем они отличаются от действительных и как могут быть использованы.

Социальная значимость проекта: работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

Введение

Данный проект посвящен изучению мнимых(комплексных) чисел. 

Актуальность исследования обусловлена тем, что мнимые(комплексные) числа – важнейшая тема курса математики. Она не только имеет большое значение в современной науке, но и входит в программу обучения большинства ВУЗов, в том числе и без технической направленности. Несмотря на это, первое ознакомление с темой происходит только на последнем году школьного обучения, в 11 классе.

Кроме того, данной темы нет в Едином Государственном Экзамене, а значит есть риск, что время, выделенное на изучение мнимых(комплексных) чисел, теоретически может быть сокращено в пользу подготовки выпускников к экзамену. В таком случае школьники ознакомятся с этой важной и интересной темой лишь поверхностно. В этом и состоит проблема исследования: знания школьников о числовых множествах ограничиваются действительными числами, а это сказывается и на решении конкретных задач, так и на математическом кругозоре учеников. 

Объектом исследования являются мнимые(комплексные) числа. 

Предмет исследования – их свойства, возможные операции, отличия от действительных чисел и применение.

Цель исследования: узнать, что такое мнимые(комплексные) числа, чем они отличаются от действительных и как могут быть использованы.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение, сравнение, анкетирование.

В качестве продукта проекта был выбран обучающий курс, который позволит наглядно представить информацию по теме и сделать ее доступной для всех интересующихся. Кроме наглядности и доступности, он должен соответствовать следующим критериям: работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

В процессе работы над проектом были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю числовых множеств и конкретно мнимых(комплексных ) чисел

2. Изучить литературу, посвященную мнимым(комплексным) числам

3. Составить план курса в соответствии с критериями оценки продукта

4. Изложить проанализированную информацию в обучающем курсе

5. Провести апробацию продукта

6. Предоставить результаты работы

Научная новизна проекта состоит в том, что в ходе работы предполагается создание уникального материала по теме «Мнимые(комплексные )числа».

Социальная значимость проекта состоит в том, что работа поможет ученикам расширить свой математический кругозор, а также может повысить интерес к самому предмету.

История чисел

Для начала обсудим, как вообще появлялись новые числа. В начале пути было достаточно натуральных чисел. В то время числовая ось выглядела бы как последовательность точек.

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Самый примитивный способ представления натурального числа — ставить метку при учёте каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора. Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для обозначения натуральных чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали обширную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака, датируемой примерно 1500 лет до н.э. и ныне находящейся в Лувре, число 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622

Первое систематическое изучение чисел, как абстракций, обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, а иногда и вовсе не как к числу. Евклид, например, сначала определил сущность единицы, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц являются числом 2)

С развитием цивилизации люди сталкивались с более сложными вопросами. Когда начинать посевы? Как делить землю? Как следить за налогами и торговать? Натуральные числа уже не справлялись с подобными вычислениями. К счастью египтяне изобрели кое-что новое – дроби. Идея что между числами могут существовать другие числа стала настоящим технологическим прорывом.

И несколько тысяч лет ничего лучше не появлялось, пока к числам не добавили ноль и отрицательные, правда прижились они далеко не сразу. Большинство не понимало как их вообще интерпретировать. Где в природе встретишь ноль или минус единицу, а люди всегда стремились избегать непонятного.

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел.

Меж тем античность давно кончилась, но скепсис никуда не делся. Буквально несколько веков назад математики всячески пытались избавиться от отрицательных чисел в уравнениях. Но все же прогресс брал верх. Ведь они так и напрашиваются во многие математические задачи. Огромное количество вычислений без них не провести.

Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.

Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным.

А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.

Несмотря на это изучение чисел продолжалось, и в 1572 г. итальянский математик Р. Бомбелли установил первые правила арифметических операций. В 1637 году Р. Декарт ввел название «мнимые числа», а в 1777 г. Л. Эйлером был введен символ (первая буква фр. Imaginaire – «мнимый»). Во всеобщее употребление символ вошел благодаря К. Гауссу.

Со временем комплексные числа развивались и применялись математиками все чаще. В 1748 г. Л. Эйлер вывел формулу, которая связывает показательную и тригонометрические функции. Кроме этого, она позволяет находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять их логарифмы, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

К концу XVIII века комплексные числа полностью вошли в обиход математиков. Их начали применять для выражения корней линейных дифференциальных уравнений с целыми коэффициентами, которые встречаются в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде

Так, при нахождении общей формулы кубических уравнений , математики столкнулись с тем, что по их мнению вело к отсутствию корней. Изначально, квадратные уравнения имели простой и понятный геометрический пример решения, где х – недостающая часть квадрата. Но если под корнем оказывалось отрицательное значение, то это приводило их в тупик, так как где в реальном мире можно встретить квадрат со стороной -1?

В III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант нашёл целые и рациональные решения для некоторых кубических уравнений с двумя неизвестными (диофантовых уравнений). Считается, что Гиппократ, Менехм и Архимед подошли ближе к решению задачи об удвоении куба с помощью конических сечений, хотя некоторые историки, такие как Ревиэль Нетц (Reviel Netz), говорят о том, что неизвестно, думали ли греки о кубических уравнениях, или просто о задачах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Другие, как, например, Томас Хит, переводчик и комментатор всех дошедших до нас трудов Архимеда, не соглашаются, указывая на свидетельства, что Архимед действительно решал кубические уравнения с помощью пересечения двух конусов.

Численные методы решения кубических уравнений появляются в китайском математическом тексте Математика в девяти книгах, составленном около второго столетия до нашей эры и прокомментированном китайским математиком Лю Хуэем в третьем столетии^[

В 1530 году Никколо Тарталья получил две задачи в виде кубических уравнений от Дзуанне да Кои (Zuanne da Coi) и объявил, что он их может решить. Тарталье удалось разработать общий метод решения кубических уравнений.

После этого он быстро решил все предложенные ему задачи.

Метод Тарталья иногда (а именно — при наличии трех действительных корней) требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисления с этими комплексными числами в Ars Magna, но, на самом деле, до конца проблему не понял. Рафаэль Бомбелли изучал эту проблему детально, а потому считается первооткрывателем комплексных чисел.

Оказалось, что кубические уравнения – это только начало. В 1925 году Эрвин Шредингер занялся уравнением волновой функции, которая бы описывала движение квантовых частиц.. Он развивал идею о том, что материя состоит из волн. В результате появилось одно из важнейших уравнений в физике – уравнение Шредингера, в котором почетное место занимает i. Математики к тому времени уже привыкли к мнимым числам, в то время как для физики они были в новинку и многим не нравилось, что они появляются в столь фундаментальной теории. Шредингер и сам написал, что довольно неприятен и безусловно может быть подвержен критике тот факт, что в формуле присутствуют комплексные числа.

Волновая функция, или пси-функция {\displaystyle \psi }  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Наиболее распространенные символы для волновой функции — греческие буквы ψ и Ψ (строчные и заглавные psi соответственно). Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному)

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Волновая функция — это функция степеней свободы, соответствующая некоторому максимальному набору коммутирующих наблюдаемых. Как только такое представление выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

Для данной системы выбор коммутирующих степеней свободы не является уникальным, и, соответственно, область определения волновой функции также не уникальна. Например, её можно рассматривать как функцию всех координат положения частиц в координатном пространстве или импульсов всех частиц в пространстве импульсов; эти два описания связаны преобразованием Фурье. Некоторые частицы, такие как электроны и фотоны, имеют ненулевой спин, и волновая функция таких частиц включает спин как внутреннюю дискретную степень свободы; также для различных систем могут быть рассмотрены другие дискретные переменные, такие как изоспин. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в координатном пространстве) присваивает комплексное число для каждого возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спина) — эти значения часто отображаются в виде вектора-столбца (например, 2 × 1 для нерелятивистского электрона со спином.

Согласно принципу суперпозиции в квантовой механике, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа, чтобы построить новые волновые функции и задать гильбертово пространство. Внутреннее произведение в гильбертовом пространстве между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, правиле Борна, связывающем вероятности переходов со скалярным произведением состояний. Уравнение Шредингера определяет, как волновые функции эволюционируют с течением времени, а волновая функция качественно ведёт себя как другие волны, такие как волны на воде или волны в струне, потому что уравнение Шредингера математически является разновидностью волнового уравнения. Это объясняет название «волновая функция» и приводит к дуальности волна-частица. Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, все ещё открытое для различных интерпретаций, которое принципиально отличается от такового для классических механических волн

В статистической интерпретации Борна в нерелятивистской квантовой механике, квадрат модуля волновой функции — это вещественное число, интерпретируемым как плотность вероятности измерения частицы как находящейся в заданном месте или имеющей заданный импульс в заданное время и, возможно, имеющей определённые значения для дискретных степеней свободы. Интеграл этой величины по всем степеням свободы системы должен быть равен 1 в соответствии с вероятностной интерпретацией. Это общее требование, которому должна удовлетворять волновая функция, называется условием нормировки. Поскольку волновая функция имеет комплексные значения, можно измерить только её относительную фазу и относительную величину — её значение, по отдельности, ничего не говорит о величинах или направлениях измеряемых наблюдаемых; необходимо применить квантовые операторы, собственные значения которых соответствуют наборам возможных результатов измерений, к волновой функции ψ и вычислить статистические распределения для измеримых величин.

Следует разобраться: почему же все-таки мнимая единица, впервые возникшая в кубических уравнениях, внезапно появилась в физике? Все из-за её некоторых уникальных свойств. Прямая мнимых чисел находится перпендикулярно прямой действительных. Вместе эти прямые образуют комплексную плоскость. При умножении числа на i происходит поворот от заданной точки на 90° против часовой стрелки.

Таким образом , i × i = -1

Есть функция при которой мы постоянно умножаем на i, двигаясь по оси х. это е^ iх. Получается спираль. Значение функции как бы ходит кругами, двигаясь при этом вдоль оси х.

Если взглянуть только на действительную часть графика, то получится косинусоида, а если взять только мнимую – синусоида

Две основные функции, описывающих поведение волн, являются частью е^ix, поэтому и получается, что решение к уравнению Шредингера так или иначе будет иметь какой-то вариант формы е^ix. Может показаться, что было бы проще использовать обычную синусоиду, но у выражения со степенью есть свои преимущества: если взять производную по положению или времени, она будет пропорциональна изначальной функции.

Синусоида таким свойством не обладает,
ведь производная от синуса – косинус.

К тому же уравнение Шредингера линейно. можно сложить любое количество его решений и получить волну любой нужной вам формы и она все равно будет решением самого уравнения.

Физик Фримен Дайсон позднее напишет :«Шредингер добавил в уравнение квадратный корень из минус единицы, и все встало на свои места. Теперь это была волновая функция, а не функция передачи тепла. К радости Шредингера, решение его уравнения совпали с расчетными орбитами электронов в атомной модели, предложенной Бором. Оказалось, что уравннние Шредингера безошибочно описывает все, что нам известно о поведении атомов. Это основа всей химии и практически всей физики. А корень из минус единицы говорит о том, что природа оперирует не действительными, а комплексными числами. Это открытие удивило самого Шредингера не меньше, чем остальных »

Разработка курса «Мнимые числа»

В ходе работы над проектом был проведен опрос среди группы учащихся 10 и 11 классов Ряжской средней школы №2 . Результаты опроса показали, что большинство участников поддерживают идею создания обучающего курса.

В итоге было принято решение о создании обучающего курса «Мнимые числа»..

В ходе работы над исследовательским проектом был создан обучающий курс по теме «Мнимые числа». Он должен помочь решить проблему исследования, состоявшую в том, что школьники плохо или совсем не знакомы с данной темой. Таким образом, была выполнена и цель исследовательской работы: проведен анализ литературы по теме и составлен онлайн-курс.

• Алгебра и геометрия комплексных чисел [Статья] / авт. А. Канунников // Квант. - Май 2017 г.. - стр. 28-31, 34.

• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс [Книга] / авт .А.Г.Мерзляк, Д.А.Номировский, В.Б.Полонский и др.: Издательство "Вентана-Граф", 2016.

• Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Книга] / авт .А.Г.Мерзляк, Д.А.Номировский, В.Б.Полонский и др.: Издательство "Вентана-Граф", 2016.

• Гиперкомплексные числа [Книга] / авт. Кантор И. Л. Солодовников А. С.. - [б.м.] : Издательство "Наука", 1973.

• Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе [Статья] / авт. Жмурова И. Ю. Баринова С. В. // "Молодой ученый". - Январь 2020 г.. - стр. 312-314.

• https://ve42.co/Dunham90
  https://ve42.co/Toscano2020
  https://ve42.co/Bochner63
  https://ve42.co/Murio21
  https://ve42.co/Branson2014
  https://ve42.co/Rothman
  https://ve42.co/Siadat21
  https://ve42.co/Merino2006
  https://ve42.co/Bombelli
  https://www.manim.community/

План

1. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел

2.Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа

4. Степени и корни

5. Применение комплексных чисел в геометрии

6. Применение комплексных чисел при решении задач из некоторых разделов физики.

Содержание курса

1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа .Понятие комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные комплексные числа.
Свойства сопряженных чисел. Извлечение квадратных корней
из отрицательных чисел.

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел-6 часов

Изображение комплексных чисел точками на плоскости. Векторная интерпретация операций с комплексными числами.

3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа . Полярные координаты точки и ее радиус-вектора. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Свойства модуля и аргумента комплексного числа. Примеры решения уравнений с комплексными переменными.

4. Степени и корни

Возведение в степень комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексного числа. Показательная форма комплексного числа.

5. Применение комплексных чисел в геометрии

Применение метода комплексных чисел к доказательству известных классических теорем элементарной геометрии. Примеры изображения множеств точек, задаваемых на комплексной плоскости уравнениями и неравенствами, содержащими комплексные числа

Применение комплексных чисел при решении задач из некоторых разделов физики.

Использование комплексных чисел при расчете цепей переменного тока