Проект на тему: Определенный интеграл. Введение и некоторые приложения

Бюджетное учреждение профессионального образования

«Радужнинский политехнический колледж»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ НА ТЕМУ:

«Определенный интеграл. Введение и некоторые приложения»

ВВЕДЕНИЕ

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике. Поэтому тема "Определенный интеграл и его приложения" вводится ещё в школьном курсе математики.

Все выше сказанное подчеркивает актуальность выбранной нами темы проектной работы.

Цель проекта состоит в изучении актуальности применения определенного интеграла и его приложений, а также широты его использования не только в математике, но и других науках, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

Объектом проекта являются определенный интеграл и его приложения.фференциальный уравнение интеграл кривая

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

- изучить литературу по заданной теме;

- собрать теоретический и практический материал по теме;

- подвергнуть материал обобщению и систематизации.

Раскрытие темы проектной работы было проведено по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства, вычисление определенного интеграла и его приложения.

Глава 1. Определенный интеграл.

1. Определение определённого интеграла через сумму Римана.

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3. найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;

4. составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой Римана функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5. найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Условия существования определенного интеграла.

Необходимое условие: если функция интегрируема на отрезке , но она ограничена на этом отрезке.

Достаточные условия: если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку; если функция непрерывна на отрезке , за исключением конечного числа точек, и ограничена на этом отрезке, то она интегрируема по отрезку .

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

1. Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

1.3. Основные свойства определенного интеграла

1.Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3.Если , то, по определению, полагаем

4.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5.Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6.Если функция интегрируема на и , то

.

7.(теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

1.4. Формула Ньютона–Лейбница.

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления

интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Ответ: 8

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

Ответ:

Глава 2. Некоторые приложения определенного интеграла.

2.1. Способы вычисления определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле: Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

.

Ответ:10

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.

Ответ:5

Интегрирование по частям: Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство: Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

.

Ответ: 1

Пример 6. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Ответ: -2

2.2. Вычисление площади плоской фигуры.

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле

. (5)

Пример 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

Ответ: 36

Если функция неположительная и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов: . (7)

Рис. 4

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5).

Рис. 5

Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:

;

.

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

Ответ:2

Рис. 6

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

Пример 9.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (6) в качестве возьмем x, а в качестве – . Получим:

(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Рис. 7

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8).

Рис. 8

Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (5):

(кв.ед.); (кв. ед.). Следовательно:

(кв. ед.).

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле

, (9)

х =  (у)

Рис. 9

1. Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 10).

Рис. 10

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (10)

Пример 11. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение. Из условия задачи имеем . По формуле (10) получаем:

.

2.4.Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 11). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (11)

Рис. 11

Пример 12. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 12).

Рис. 12

Из условия задачи следует, что , . По формуле (11) получаем

.

Ответ: 12 .

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 13), определяется по формуле

. (12)

х =  (у)

Рис. 13

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х² = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 14).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (12) получаем:

.

Рис. 14

Ответ: 32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения проектной работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области геометрии. Конечно, это еще далеко не единственная наука, в которой используется интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика / Григорьев С.Г., Иволгина С.В. – Москва, 2012г.

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике / Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. – Москва, 2014г.

3. Башмаков М.И., Математика / Башмаков М.И. – Москва, 2015г.

4. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начало математического анализа. Учебник для 10 - 11 кл. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др.- 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г.

5. Виленкин, М.Я. Алгебра и математический анализ / М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев, Мусатов, С.И. Шварцбурд, - Москва, 1993г.

6. Бермантт, А.Ф. Краткий курс математического анализа для вузов / А.Ф. Бермантт, И.Г. Араманови – М.: Наука, 1971. - 736с.

7. Власов, В.Г. Конспект лекций по высшей математике / В.Г. Власов, Москва Айрис, 1997г.

8. Иванов, А.А. Курс лекций по математике / А.А. Иванов

9. Ильин, В.А. Основы математического анализа, часть I / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк – Москва, 1982г.

10. Никольский, С.Н. Элементы математического анализа / С.Н. Никольский – М.: Наука, 1981г.

11. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный – M.: Айрис – пресс, 2003. – 288 c.