Проект по теме "Применение теоремы Пифагора при решении задач ОГЭ"

Тема моей работы

Применение теоремы Пифагора при решении задач ОГЭ.

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них –

это теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Цель : Применение теоремы Пифагора при решении различных задач.

Задачи:

- узнать больше информации о Пифагоре и его теореме;

-рассмотреть основной способ доказательства теоремы;

-рассмотреть практическую значимость теоремы Пифагора при подготовке решения задач ОГЭ;

-создать презентацию, буклет и подборку задач

Без преувеличения можно сказать, что его теорема самая известная теорема геометрии, так как о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть.

1. Биография Пифагора

О самом Пифагоре известно мало, человек-легенда, очень много мифов связана с его жизнью.

Известно, что

Пифагор родился 570г – 495г до н. э.  на острове Самос в Греции. Он получил хорошее образование. Что бы ознакомиться с мудростью ученых востока, уехал в Египет и жил там 22 года.

Хорошо изучив науку египтян, а так же математику, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет. Так же, если верить преданиям, посещал Индию.

Пытался организовать свою философскую школу на острове Самос, но позже покидает его, переезжая в Кротон.

Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Там его школа действовала около 30 лет.

Пифагор - древний математик и философ- идеалист. 

Пифагор- это не имя , а прозвище , которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул.

(Пифагор - "убеждающий речью").

2. Теорема Пифагора

В чем же причина такой популярности теоремы Пифагора ?

Знатоки утверждают, что причин здесь три:

а) простота, б) красота в) значимость в практическом

применении.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.

Формулировка теоремы Пифагором

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах

Современная формулировка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема применяется в геометрии буквально на каждом шагу. В настоящее время известно около трехсот различных доказательств теоремы, но мы рассмотрим основной способ доказательства теоремы Пифагора.

Дано: прямоугольный треугольник ,

а, в -катетами, с- гипотенуза

Доказать: с² = a² + b²

Доказательство:

1.Достроим треугольник до квадрата со стороной (а + в) как показано на рисунке , получили квадрат

2. тогда площадь этого квадрата - S = (а + в)²

3.С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с

S каждого из прямоугольных треугольников = · ав  , S квадрата =

4. т.е. получим , что площадь всего квадрата равна

S= 4· · ·ав + с² = 2ав + с².

5. (а + в)² = 2ав + с² ,откуда = 2ав + с². Таким образом получим, с² = а ²+ в².

Теорема доказана.

Решать задачи можно используя такой алгоритм

Алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора

1. Указать прямоугольный треугольник.

2. Записать для него теорему Пифагора.

3. Выразить неизвестную сторону через две другие.

4. Подставив известные значения, вычислить неизвестную сторону.

Рассмотрим несколько ЗАДАЧ на применение теоремы Пифагора.

1.

Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см прямоугольным?

Решение:

Выбираем большую сторону – это сторона 9 см( потому что, гипотенуза в прямоугольном треугольнике больше катетов),

проверяем, выполняется ли теорема Пифагора тогда :

81= 49+36; 81≠85, не верно, значит, этот треугольник не прямоугольный.

2.

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Если обозначить за х –расстояние(гипотенузу) которое он прошел

Запишем теорему Пифагора

Х= =100м

3.

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Если обозначить за х –расстояние(гипотенузу) которое будет между ними через 2 ч, запишем теорему Пифагора

Х= =50км

4.

Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 метров, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Если обозначить за х – длину (гипотенузу) , запишем теорему Пифагора ,

Х= =10м

5.

На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Если обозначить за х – расстояние (гипотенузу) , запишем теорему Пифагора ,

Х= =5м

6.

В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Если обозначить за х – расстояние (гипотенузу) между верхушками деревьев, запишем теорему Пифагора (31-6=25) ,

Х= =65м

Заключение

• Значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно решить множество задач на уроках математики. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора поможет мне успешно решать задачи по геометрии на применение теоремы Пифагора.

• Теорема Пифагора поможет качественно подготовиться к обязательному государственному экзамену.