Проект по теме " теорема Пифагора и ее применение при решении алгебраических систем"

Приложение 5

Учебный проект "Теорема Пифагора"

Автор проекта: Даниличева Ксения

Ведущая деятельность :

Поисковая, исследовательская, творческая.

Краткая аннотация проекта

Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Настоящий проект направлен на поиск новых идей в преподавании математики при повторении темы «Теорема Пифагора» в курсе геометрии в начальном профессиональном образовании. Проект является личностно ориентированным, так как предполагает возможность участия в нём различного контингента учащихся. В ходе реализации проекта учащиеся знакомятся не только с основным материалом учебной темы, но и получают дополнительные знания по истории математики, учатся находить и использовать на практике межпредметные связи, знания различных наук.

Дидактические цели проекта

- С помощью дополнительной литературы, основанной на исторических фактах, познакомится сжизнью Пифагора с точки зрения истории развития математики.

- Рассмотреть теорему Пифагора, как источник замечательных математических открытий.

- Определить значение теоремы Пифагора для развития науки и использовании теоремы в различных областях.

Методические задачи учебного проекта

- Формирование мировоззрения учащихся, алгоритмического мышления.

- Научиться обрабатывать и обобщать полученную информацию.

- Развитие навыков исследовательской деятельности.

- Формирование информационной культуры, воспитание активности, самостоятельности, ответственности, культуры общения.

Вопросы, направляющие проект :

Основополагающий вопрос:

В чем уникальность Пифагора?

Проблемные вопросы:

Пифагор – кто он?

Какая связь между Пифагором и музыкой?

Какая связь между Пифагором и астрономией?

Какая связь между Пифагором и литературой?

Какие способы доказательства теоремы Пифагора существуют?

'Как теорема Пифагора применяется в жизни?

Учебные вопросы

Какой вклад внес Пифагор в геометрию?

Чем интересна биография Пифагора?

В чем заключалось учение Пифагора?

Где в литературе встречается теорема Пифагора?

Как возникла теорема Пифагора?

Как доказать теорему Пифагора?

Как теорема Пифагора используется в наше время?

Какие исторические задачи решаются с помощью теоремы Пифагора?

Как теорема Пифагора применяется для решения треугольников?

Проект

Теорема Пифагора

Выполнила: Даниличева Ксения

Основополагающий вопрос

В чем уникальность Пифагора?

Проблемные вопросы:

• Пифагор – кто он?

• Какие способы доказательства теоремы Пифагора существуют?

• Как теорема Пифагора применяется в жизни?

• Как применяется эта теорема при решении практических задач?

Теорема Пифагора:

• Биография Пифагора

• Доказательство теоремы Пифагора
• Геометрические приёмы решения систем уравнений
• Практическое применение теоремы Пифагора

Пифагор

• С оздатель древнегреческой религиозно-философской школы, которая впоследствии получила название пиф а горейства

• Основой всего существования считал числа, которые образовывали порядок во Вселенной

• Пифагору приписывают формулировку так называемой Пифагоровой теоремы (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

• Создал учение о противоположностях, которое состояло в том, что все вещи представляют собой противоположности.

Доказательство теоремы Пифагора

Древнекитайское доказательство:

На чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с ² , а с другой - а ² + b ² , т.е. с ² = а ² + b ² . Теорема доказана.

Простейшее доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Простейшее доказательство:

Доказательство с использованием признака подобия:

На основе утверждения о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённого из вершины прямого угла, имеем АС =

C

, или AC ² = AD * AB .

В

А

Аналогично BC ² = BD * AB . Складывая эти равенства почленно и, учитывая, что

AD+BD=AB, получаем:

AC² + BC² = AD* AB + BD*AB = (AD + BD)*AB = AB².

D

Доказательство Евклида:

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и Р FBC = d + Р ABC = Р ABD . Но S ABD = 1/2 S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC = 1/2 S ABFH (BF-общее основание, АВ. - общая высота).

Отсюда, имеем S BJLD = S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL = S ACKG . Итак, S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED , что и требовалось доказать.

Древнеиндийское доказательство

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа.

Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с ² перекладывается в "кресло невесты" а ² - b ²

Классическое доказательство:

а

b

c

c

c

b

а

b

а

а

b

c

c

b

а

(a + b ) ² = 4( ab ) + с ²

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой с .

Докажем, что b ² + a ² = c ²

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна ( a + b )².

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольных, площадь каждого из которых равна

ab , и квадрат со стороной с, поэтому

S = 4 *

ab + c ² = 2 ab + c ².

Таким образом, ( a + b )² = 2 ab + c ²,

откуда

b ² + a ² = c ².

Геометрические приёмы решения систем уравнений.

1.Из условий x ² + y ² = 9, y ² + z ² = 16 и y ² = xz для положительных x , y и z , не вычисляя их значений, укажите значение выражения xy + yz .

Привычное задание «Решите систему уравнений» затруднений не вызывает:

х ² + у ² = 9,

у ² + z² = 16,

у ² = xz

Требуется, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения xy + yz . Так как x , y и z – положительные числа, следовательно, задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x , у и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВ D (угол D – прямой).

Числа y , z и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника BCD .

Число у есть среднее пропорциональное чисел x и z . Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС – прямой. Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение xy + yz .

х ² + у ² = 9,

у ² + z² = 16,

у ² = xz

В

y

А

С

z

D

x

xy + yz = (x + z) y = 2S АВС = 2 * 0,5 * 3 * 4 = 12.

Ответ: 12

2. Для положительных x , y , z из условий x ² + xy + = 169.

y ² + z ² = 50, x² + xz + =144 , не находя значений выражения xy + yz + zx .

Запишем три условия задачи в виде системы уравнений .

x² + xy + = 169,

А

+

= 25 ,

13

х

5

О

x² + xz + = 144.

В

С

12

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа , и 5

являются длинами соответствующих катетов и гипотенузы треугольника АОС с прямым углом АОС, а числа х, и 13

есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично х, и 12

есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°.

Так как 5² + 12² = 13², то в треугольнике АВС угол АСВ = 90°.

S AOB =

xy;

x *

sin 135° =

*

yz;

S AOC =

*

=

xz;

S BOC =

sin 135° =

x *

S А BC =

* 5 * 12 = 30.

Отвечая на главный вопрос задачи, заметим, что значение выражения xy + yz + xz равно учетверённой площади треугольника АВС. Итак, xy + yz + zx = 120.

Ответ: 120.

Практическое применение теоремы Пифагора.

Задача индийского математика XII века Бхаскары, записанная в стихотворной форме.

« На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг порыв ветра его стол надломил.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи.

У тополя как велика высота? »

В

Дано: АС D – прямоугольный

АС = 3 фута

А D = 4 фута

Найти: АВ -?

С

Решение: АВ = АС + CD ;

BC = CD;

CD² = AC² + AD²

А

D

По теореме Пифагора:

CD ² = 3² + 4², CD ² = 25, CD = 5 футов

AB = 3 + 5 = 8 футов

1 фут = 30,5 см.

АВ = 244 см.

Ответ: 8 футов или 244 см.

Заключение

1. Я узнала много новых интересных фактов о жизни Пифагора.

2. Познакомилась с множеством новых доказательств теоремы.

3. Научилась решать алгебраические системы уравнений и практические задачи с помощью неё.

Литература:

• В.Н. Виноградов, И.А.Ройтман «Элементы начертательной геометрии»

Москва «Просвещение» 1978 год

2. И.Ф.Шарыгин «Геометрия 7-9 класс»

Москва Издательский дом «Дрофа» 1997 год

3. С.В. Бахвалов, Л.И.Бабушкин, В.П.Иваницкая «Аналитическая геометрия»

Москва «Просвещение» 1976 год

4. Л.С.Атанасян, Г.Б.Гуревич «Геометрия»

Москва «Просвещение» 1970 год

5. М.Б.Балк, В.Г. Болтянский «Геометрия масс»

Москва «Наука» 1978 год

6. М.Комацу «Многообразие геометрии»

Издательство «Знание» 1981 год

7. Г.С.М. Кокстер, С.Л. Грейтцер «Новые встречи с геометрией»

Москва «Наука» 1978 год

8. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, И.И. Юдина, С.Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк

«Геометрия 7-9 класс»

«Специальная литература» Москва «Просвещение» 2003 год