Проект "Прогрессия в жизни человека"

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. , где .

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: , где .

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо b_n его выражение в виде b₁q^n-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии: .

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что

b₁b_n = b₂b_n-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

ГЛАВА 2

ПРОГРЕССИИ В РАЗЛИЧНЫХ СФЕРАХ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА

2.1 Прогрессия в природе.

Самым показательным примером прогрессий может служить природа. Ученые-биологи обнаружили, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

Задача 1. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления стало 320?

Решение:

Пусть первоначально было b₁ инфузорий. Количество инфузорий увеличивается с геометрической прогрессией. Тогда после шестого деления их стало

инфузорий

Ответ: 5 инфузорий было первоначально.

Те же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя общеизвестные формулы и специальные знания, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных в заповедниках и в дикой природе.

Задача 2.

Популяция кабанов в заповеднике увеличивается каждый год на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?

Решение:

Пусть было х кабанов. Тогда через год их стало:

2х кабанов станет по прошествии n лет.

Ответ: по прошествии 8 лет число кабанов удвоится.

Практически ничем не отличаются задачи, связанные с демографией человечества.

Задача 3.

Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится? 

Решение:

тыс. чел.

тыс. чел.

Ответ: 66 тысяч человек.

2.2. Прогрессия в медицине

Математические прогрессии используются и в медицине.

 Всем понятно, что основную роль в спасении жизни играет время.  Специалистам удалось выяснить, что рост потери времени в арифметической прогрессии приводит к росту человеческих жертв в геометрической прогрессии. Так, при потере времени в час, летальность не превышает 30 %. А вот если помощь оказывается уже спустя 2-3 часа после происшествия, вероятность смерти пострадавшего равна 60%.

При выписывании лекарства иногда тоже используется прогрессии. Например, при лечении гриппа и острых респираторных заболеваний препарат циклоферон принимают на  2, 4, 6, 8-е сутки. Здесь мы можем пронаблюдать арифметическую прогрессию с d= 2.

При лечении гриппа типа А, используя ремантадин, в первый день нужно принять 3 таблетки, во второй – 2, в третий – 1. То есть, снова возникает арифметическая прогрессия 3,2,1.

Задача 1. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение. Составим математическую модель задачи:

  5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

  а_п=а₁+d(n-1),    

  40=5+5(п-1),     

   п=8,            

  S_п=((a₁+a_п)n)/2,  S₈ =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. 

Ответ: 2 пузырька

2.3. Прогрессии в литературе и музыке

Даже в литературе мы встречаемся с прогрессиями! Вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...   

 Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Дактиль – это трехсложный стихотворный размер с ударением на первый слог, а два других – безударные.

Примеры:

Ямб:«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» А.С. Пушкин

Арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; 8;..., где а₁ = 2, d = 2

Хорей:«Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак

Арифметическая прогрессия: 1; 3;5; 7;... , где а₁ = 1, d = 2

Дактиль:«ТУчки небЕсные, вЕчные стрАнники…»М.Ю. Лермонтов

Арифметическая прогрессия:1; 4; 7;…, где а₁ = 1, d = 3

Прогрессия существует также в музыке.

Прогрессии присутствуют в громкости звучания нот, их длительности, длительности пауз, в построении ладов. В музыке существует множество различных длительностей: целая половинная, четверть, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят четвертая. Эти длительности можно представить в виде последовательности чисел:1, , , , , , . Это есть геометрическая прогрессия, где b₁=1,q =

q=b₂÷b₁ =b₃÷b₂ = 1,12

Данная последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Симметричные лады – лады, звукоряды которых основаны на равнодольном делении октавы.

В музыке термин «прогрессия» («секвенция») означает постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. Секвенция является последовательным повторением данной мелодической фразы или гармонического оборота на другой высоте.

ГЛАВА 3. ПРОГРЕССИИ И ФИНАНСЫ

3.1. Математические основы вкладов и кредитов

Считается, что наряду с изобретением колеса, создание банковской системы явилось одним из важнейших изобретений человечества.
Слово «банк» ведет свое происхождение от латинского слова banko (банко)-скамья, лавка. Первые менялы появились очень давно, еще до нашей эры, когда у многих народов широко распространился обычай одалживания денег под рост, с обязательством возврата не только долга, но и вознаграждение за труды.
Банки не просто хранят деньги, как хранит чемодан камера хранения на вокзале. Банки дают деньги взаймы тем, кто в них нуждается. Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом на условиях возвратности и с обязательной выплатой заемщиком процентов за пользованием кредитом. За счет этих процентов банк оплачивает доходы вкладчикам и существует сам. Граждане хранят в банках свои сбережения, ведут расчеты по безналичным платежам, берут ссуду на приобретение жилья.

Рассмотрим схемы расчетов банка с вкладчиками.
Итак, за хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные. Обсудим их подробнее.
Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях? В первом случае при t = 1 вы получите (а + p100a )р., при

t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + 2p100a)р., при t= 3
(а + 3p100a )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечная
арифметическая прогрессия а, а + p100a , а + 2p100a ,а + 3p100a …, а + tp100a .
Итак, при первой стратегии поведения за  t лет вы получите

а(1 + tp100a )— это так называемая формула простых процентов.
Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + p100a )р.; сумма вклада увеличится в (1 + p100a )раз.
Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д.

Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия а, а(1 + p100a ), а(1 + p100a )²,а(1 + p100a )³,…, а(1 + p100a )^t.
Итак, при второй стратегии поведения за  t лет вы получите

а(1 + p100a )^tруб..— это так называемая формула сложных процентов.

3.2. Формула простых процентов по вкладам и кредитам

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга).

Простыми процентами можно считать вклад (долг) только в том случае, если происходит однократная выплата процентов и всей суммы вклада (долга) одновременно, при этом полностью отсутствует возможность досрочной частичной или полной выплаты вклада (долга) и/или полностью отсутствует возможность продления вклада (долга).

Рассмотрим теперь формулы простого процента для каждого случая, т.е. для вклада и для долга.

Простой процент по вкладу

Итак, формула для расчета простых процентов по вкладу:

,

где T - количество периодов; I - процентная ставка; P - вкладываемая сумма;

A - получаемая сумма.

Простой процент по кредиту

Рассчитывается уже по другой формуле:

,

где   - сумма долга,   - сумма долга с процентами,

r - ставка процента за период (обычно за 1 год, но могут использоваться и другие периоды), n - число периодов начисления.

Если ставка выражена в годовых процентах, а проценты надо рассчитать за период меньше, чем год, то при использовании формулы простых процентов необходимо разделить годовую ставку на количество дней в году (обычно 365 или 366, иногда используется и условная величина 360 дней) и умножить на фак­тическое количество дней пользования заемными средствами, на­чиная со дня, следующего за днем получения средств:

,

где     - сумма долга,

  - сумма долга с процентами,

r - годовая ставка процента,

m - фактическое количество дней пользования заёмными средствами.

Задача. Вкладчик вложил 300 000 рублей при простой ставке 4% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на его лицевом счёте через 3 года; 5 лет; 10 лет.

Решение. В данной задаче необходимо вычислить А, если P = 300000 рублей, I = 4% = 0,04, T = 3; 5; 10 лет. Подставив данные в формулу, получим:

(руб.)

Аналогично вычислим для Т = 5 и 10 лет.

(руб.)

(руб.)

Ответ. Через 3 года на лицевом счёте вкладчика будет 336 000 рублей, через 5 лет – 360 000 рублей, через 10 лет – 420 000 рублей.

1. Формула сложных процентов по вкладам и кредитам

Сложный процент – явление куда более интересное в финансовом мире. Это процент, при котором прибыль суммируется с основной суммой и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль. Если говорить еще проще, это начисление процентов на начисленные проценты. Получается, что с каждым расчетным периодом эти начисленные проценты все увеличиваются и увеличиваются. Накопления нарастают как снежный ком.

Рассмотрим теперь формулы сложного процента для каждого случая, т.е. для вклада и для долга.

Сложный процент по вкладу

Существует формула для начисления сложного процента по вкладу:

,

где A – сумма вклада; R – ставка процента; T – количество периодов;

S – получаемая сумма. Рассмотрим задачу, решаемую по этой формуле.(Приложение 4)

Сложный процент по кредиту

Формула:

,

где     - сумма долга,   - сумма долга с процентами, r - ставка процента за один период (обычно за 1 год, но могут ис­пользоваться и другие периоды), n - число периодов начисления.

Если ставка выражена в годовых процентах, а проценты надо рассчитать за период меньше чем год, то при использовании фор­мулы сложных процентов необходимо найти условную одноднев­ную ставку, для чего из величины (1+ r/100) извлекается корень 365 или 366 степени. А потом эта величина возводится в степень, соответствующую фактическому количеству дней пользования заемными средствами (понятно, что это можно сделать только с использованием вычислительной техники). Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

,

где     - сумма долга,   - сумма долга с процентами, r - годовая ставка процента, m - фактическое количество дней пользования заёмными средствами.

Задача. Елена взяла заём у соседки Светланы на сумму 50 000 рублей сроком на 3 года, ставка 10% годовых, проценты сложные, погашение займа вместе с процентами в конце сро­ка. Какую сумму выплатит Елена при погашении займа?

Решение. В данной задаче необходимо вычислить , если = 50000 рублей, r = 10%, n = 3 года. Подставив данные в формулу, получим: (руб.)

Ответ. Елена выплатит 66550 рублей при погашении займа.

ГЛАВА 4 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрев различные виды процентных ставок, мне захотелось узнать, формулу каких процентов использует Сбербанк в нашем городе при начислении процентов по самым популярным вкладам.

В настоящее время в Сбербанке популярностью пользуются два вида вкладов: вклад «Лучший %» и вклад «СберПрайм».

Итак, возьмем вклад «Лучший %»

Минимальная сумма вклада 100000 рублей на срок до 3 лет под 9.5 % годовых.

Рассчитаем сумму прибыли за 3 года по формуле простых и сложных процентов и сравним с суммой, рассчитанной банковским калькулятором вклада.

Формула простых процентов:

Формула сложных процентов:

Теперь воспользуемся банковским калькулятором на сайте Сбербанка и рассчитаем предполагаемую прибыль. Калькулятор Сбербанка дает сумму 128 500 рублей. Следовательно, при начислении процентов по этому вкладу банк пользуется формулой простых процентов. Формула простых процентов более выгодна банку, сложных процентов более выгодна клиенту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данного исследования, мною был проведен анализ учебников, а также другой дополнительной литературы; сделана подборка задач с практическим содержанием по теме «Прогрессии». Помимо усвоения учебного материала я в полной мере осознал практическую значимость этого материала, зная формулы арифметической и геометрической прогрессий можно решать различные старинные задачи и современные задачи по данной теме.

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, я понял, что прогрессии встречаются в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе и в других жизненных ситуациях.

Выдвинутая мною гипотеза подтвердилась, сфер жизни человека, где встречаются прогрессии бесчисленное множество. Я рассмотрел лишь несколько сфер деятельности человека и убедился в том, что применение математики в жизни может избежать многих проблем. Действительно, прогрессии имеют огромное практическое значение во многих сферах жизни человека. Отсюда можно сделать вывод, что и арифметическая и геометрическая прогрессии – это мощное орудие для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни.

В практической части своей работы я выяснил, какой формулой пользуются банки при начислении процентов по вкладам и составил подборку задач практического содержания для подготовки к ГИА по математике. Мне было интересно этим заниматься. Мой проектный продукт может быть полезен учащимся и учителям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра. 9 класс. Ю.Н.Макарычев – М.:Прсовещение, 2022

2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.

4. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика,1989.

5. Образовательный портал для подготовки к экзаменам https://oge.sdamgia.ru/.

6. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm 

7. http://festival.1september.ru/articles/568100/

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задачи с практическим содержанием для

подготовки к ГИА

1. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

2. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

3. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.), а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е.. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 и 4/9 у. е.. Сколько колец было установлено?

4. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

5. Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей.  Цены марок  составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой?

6. В первом ряду кинотеатра 21 кресло, В каждом последующем ряду на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду?

7. Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4см. Периметр многоугольника равен 75см, а наибольшая сторона равна 23см. Сколько сторон имеет данный многоугольник.

8. В   соревновании   по   стрельбе   за   каждый   промах   в   серии   из   25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах  — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? 

9. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

10. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

11. Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

12. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

13. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

14. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

15. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

16. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

17. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

24