Проект "Простые и сложные проценты"

Паспорт проектной работы

Аннотация.

Простые и сложные проценты окружают нас в современной жизни, в таких глобальных структурах, как банковская. В настоящее время банковская система играет значительную роль в экономике нашей страны. Процентные вычисления представляют интерес не только для финансистов, но и для всех людей. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, при покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налогов, страхования и т.п.

Тема проекта: «Простые и сложные проценты в реальной жизни»

Актуальность: Огромное количество людей вкладывают свои средства в банки под определённые проценты и берут кредиты, так же под некоторые проценты. В этом состоит актуальность моей работы, в которой я хочу показать применение процентов в жизни. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в различных областях науки, так и в реальной жизни. Понимание процентов и умение производит процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономическая расчётливость. В проекте я попытался показать широкое применение процентов в практической жизни любого человека, что реально показывает связь математики со всеми сферами жизнедеятельности человека.

Практическая значимость: Данная работа облегчит вкладчикам поиск более выгодных условий для вложения своих временно свободных средств, поможет разобраться в условиях выдачи и погашения кредитов, а также поможет мне и другим ученикам в подготовке к экзаменам при решении задач на проценты.

Объект исследования: Простые и сложные проценты

Предмет исследования: Применение процентов в жизни человека.

Цель исследования: Выяснить насколько важной является данная тема для окружающих меня людей. Разобраться в непростых финансовых механизмах; выбрать для себя оптимальную стратегию управления собственными денежными средствами.

Задачи:

1. Исследование

2. История вопроса

3. Рассмотрение понятия сложных и простых процентов на примере банковских вкладов и кредитов

4. Научиться решать задачи на простые сложные проценты

Гипотеза: Процент – не абстрактное понятие, а постоянный спутник нашей жизни.

Используемые методы и приёмы:

1. Поиск информации о процентах в различных источниках: литературных, ресурсы сети Интернет;

2. Сравнение и обобщение полученной информации;

3. Анализ собранной информации;

4. Выводы по исследованию.

План работы над проектом:

1. Введение;

2. История возникновения термина «процент»;

3. Исследование;

4. Понятие простых процентов. Решение задач;

5. Понятие сложных процентов. Решение задач;

6. Проценты в реальной жизни;

7. Заключение;

8. Список используемой литературы и Интернет-ресурсов;

9. Приложение 1;

10) Приложение 2.

Введение.

С понятием «процент» в современной жизни мы сталкиваемся повсюду: в магазинах, в банках, в науке и даже в политике. Исходя из этого, можно утверждать, что знания о процентах, не только нужны, но и необходимы современному человеку. В настоящее время эта тема становиться всё более актуальной, поэтому я, при выборе темы проекта, решил выбрать именно эту. Кроме того, при исследовании применения знаний о процентах в реальной жизни я напрямую сталкивался с потребностью решить какую-то задачу на проценты, тем самым, проводя подготовку к предстоящему экзамену по математике. Поэтому эта тема имеет вдвойне важное для меня значение.

Для того чтобы моя работа удалась и была полезна не только мне, но и другим людям, нужно провести исследование, при помощи анкетирования, собрать и сгруппировать полученную информацию, сделать выводы, и обобщить собранную во время работы над проектом информацию в единый документ. Этим я и занимался на протяжении всей работы.

Для тог, чтобы провести исследование, нужно поставить цели и задачи, которым я буду следовать на протяжении всего срока выполнения, а также нужно примерно представлять себе конечный продукт. Главной целью для меня является выяснить важность данной темы в современной жизни человека, а также научиться решать задачи на проценты, использую свои знания. Чтобы достигнуть поставленной цели нужно поставить перед собой задачи, следуя которым я должен прийти к конечному результату. Я поставил перед собой несколько задач, о которых речь шла выше. Конечным продуктом должен быть своеобразный справочник, в котором собрана самая необходимая информация о процентах, об их применение в реальной жизни. Справочник должен быть полезен, как ученикам, при сдаче экзамена, так и взрослым людям, когда перед ними стоит выбор банка, в который они вкладывают свободные средства, либо берут под определённый процент.

Сам вопрос о применении сложных процентов в реальной жизни очень сложен. Все аспекты выделить невозможно, да и не нужно. Работа не должна быть громоздкой, да и сроки её выполнения должны быть не слишком большими. Ориентировочное время работы над проектом – 1 месяц.

По времени использования моей работы мой проект можно отнести к долгосрочному, так как время, в течение которого он будет использоваться, неограниченно. Ниже представлена таблица, которая показывает, сколько времени мне потребовалось на отдельные пункты работы.

Таблица 1

Как и любая другая тема, тема применения сложных процентов в реальной жизни требует досконального изучения большого количества материала. Для того чтобы разобраться в любом вопросе, нужно сначала изучить историю возникновения того или иного термина, звучащего в вопросе, а уже потом, следуя намеченному плану двигаться дальше. Это я и решил сделать первым делом.

История возникновения термина «процент».

История происхождения процентов началась ещё в древности. И первыми идею выражать, таким образом, части целого в одних и тех же долях, придумали древние вавилоняни. Дело в том, что этот строй пользовался шестидесятеричными дробями, поэтому им просто необходимо было такое нововведение. До наших дней дошли клинописные таблицы вавилонян, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег.

У народов индии своя история возникновения процентов. Проценты были известны в Индии ещё в 5 веке. Индийские математики по-своему считали процент. И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Они пользовались тройным правилом (использованием пропорции). Кроме этого, в Индии проводили более сложные операции с процентами, чем просто считать сдачу.

Официально история появления процентов начинается в Древнем Риме с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент, взимаемый с должников, чтобы заимодавцы "не переусердствовали", в "выбивании долгов". Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: "На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы". Кстати, именно из Рима проценты начали свое "шествие" по миру.

В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи, с чем много внимания было обращено на правильность и умение высчитывать проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.

Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т. д. Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати, считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной. Дело в том, что Симон Стевин, инженер из Нидерландов, опубликовал таблицу процентов.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.

Откуда же появился символ «%»? До начала 15 символ «%» не использовался. Употреблялся итальянский термин per cento (на сотню), в том числе, в сокращённом виде: «per 100», «p 100», «p cento».
Есть несколько версий возникновения знака «%». В Италии слово cento (сто), писалось сокращенно cto. Путем дальнейшего упрощения из буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента - /.
Есть другая версия возникновения знака «%». Предполагается, что знак произошёл в результате опечатки, которую совершил наборщик. В 1685 году в Париже была опубликована книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

К сожалению, мы с вами никогда не узнаем, какая из версий правильная, однако знаком «%» пользуются в современном мире и очень даже активно.

Исследование.

Разобравшись в истории возникновения процентов, я пришел к выводу, что знания этого термина и умение применять их, имели большое значение даже в Древнем мире, где стремительно набирало популярность ростовщичество. С течением времени ростовщичество теряло своё значения, стали появляться банки, пункты обмена, но при этом значение процентов только росло. В современном мире знание и умение пользоваться процентами имеют, чуть ли ни первостепенное значение. Поэтому я решил провести небольшое анкетирование, чтобы в очередной раз в этом убедиться.

Для того чтобы провести анкетирование, нужно четко спланировать последовательность действий, придумать вопросы, на которые должен давать ответы респондент, то есть составить анкету. Вопросы нужно чётко сформулировать, чтобы они были понятны респонденту. Далее я представлю список вопросов, которые содержала моя анкета и результаты проведённого мной опроса.

Вопросы, содержащиеся в анкете:

1) Где в реальной жизни Вы сталкивались с понятием «проценты»? (возможно несколько ответов)

1. В банках;

2. В магазинах и рынках;

3. В избирательной политике;

4. В биологии, химии, физике;

5. Я не знаю, что такое проценты.

2) Как часто Вы применяете школьные знания о процентах в реальной жизни?

1. Очень часто;

2. Иногда;

3. Очень редко;

4. Никогда.

3) Приходилось ли Вам когда-нибудь брать кредит в банке?

1. Один раз;

2. Больше одного;

3. Я никогда не брал(а) кредит в банке.

4) Если приходилось брать кредит в банке, то на что Вы ориентировались прежде всего?(Ответ нужно написать самостоятельно)

5) Как вы считаете, возможно ли правильно распланировать семейный бюджет без знаний о процентах?

1. Невозможно;

2. Возможно;

3. Я никогда с этим не сталкивался(ась).

6) Как часто Вы применяете знания о процентах при покупке товара со скидкой?

1. Обхожусь без знаний о процентах;

2. Всегда высчитываю стоимость товара со скидкой, используя знания о процентах;

3. Не обращаю на скидки внимание.

7) Как вы считаете, какая процентная ставка наиболее выгодная и риск быть обманутым ниже?

1. Годовая;

2. Месячная;

3. Зависит от ситуации;

4. Не вижу никакой разницы.

Анкетирование было проведено на сайте Google Формы. Ссылка: https://docs.google.com/forms/u/0/

В нём поучаствовало 18 человек. Выражаю благодарность всем тем, кто поучаствовал в опросе.

После начала анкетирования прошла неделя, и я принялся собирать результаты. Итоги анкетирования меня не удивили. Я примерно предполагал, что результаты будут такими, однако некоторую информацию, новую для себя, я всё-таки узнал. Сейчас я подведу краткие итоги моего исследования (полные результаты исследования см. в приложении к проекту).

Как и ожидалось, на вопрос о том, где люди сталкивались с понятием «процент», большинство ответили, что сталкивались с этим понятием повседневно: в банках, магазинах, в избирательной политике, в науке (здесь присутствовала возможность выбирать несколько вариантов ответа из предложенных). Лишь один человек дал ответ, что не знает, что такое процент (5,6 % от общего числа голосов). Как видите, лишь единицы не знакомы с этим понятием.

На вопрос о применении школьных знаний о процентах в реальной жизни, мнения одинаково разделились: кто-то очень часто, а кто-то очень редко, но всё же, никто не ответил, что никогда не применяет. Это говорит о том, что школьные знания в области процентов необходимы современному человеку.

По результатам ответов на следующий вопрос о том, как часто респондент брал кредит в банке, большая часть опрошенных ответили, что, либо вообще не брали кредит, либо один раз. Только 11% из общего числа опрошенных брали кредит больше одного раза. Как видите, цифра довольно не большая.

Далее следовал вопрос, на что респондент, прежде всего, обращал внимание, при выборе банка, в котором собирался брать кредит. Почти все опрошенные указывали причины, почему они берут кредит, вероятно, не так поняв вопрос. Всё же несколько респондентов ответили, что обращали внимание на процентную ставку, либо на сумму выплат, что однозначно. Из этого можно сделать вывод, что при выборе банка, в котором человек хочет взять средства, далеко не последнее значение имеет размер процента. Стоит обратить внимание на то, что один человек указал, что обращает внимание на статус банка, в котором собирается брать кредит. Действительно, в наше время, общественное мнение, набирает большую популярность, и статус банка, как и размер процента, самые важные составляющие при выборе банка.

На вопрос о том, что возможно ли распланировать семейный бюджет без знаний о процентах, значительная часть опрошенных ответили, что возможно. Около 30% людей никогда с этим не сталкивались, и лишь один человек указал, что невозможно. Из этого можно сделать вывод, что при планировании семейного бюджета люди, либо вообще не опираются на знания о процентах, либо вообще об этом не задумываются. Я же считаю, что, совсем не зная понятия «процент» и не умея им пользоваться невозможно, распланировать семейный бюджет, но достаточно элементарных умений вычислять простые проценты для того, чтобы успешно выполнять планирование семейного бюджета.

Скидки окружают нас во всех крупных магазинах, на рынках. Поэтому правильно было включить в анкетирование вопрос о скидках и о умении их вычислять и о надобности этого умения в современных условиях. Большая часть (около 45%) ответили, что всегда вычитывают стоимость товара со скидкой. Мнения остальных опрошенных одинаково разделились: одни не обращают внимание на скидку, другие обходятся без знаний о процентах, при покупке товара со скидкой, хотя это очень сложно понять. Конечно, без знаний о процентах и умений вычислять процент от числа и число по его проценту, невозможно высчитать скидку, предоставляемую магазином покупателю.

На вопрос о том, какая процентная ставка наиболее выгодная: месячная или годовая, и риск быть обманутым ниже большинство респондентов ответили, что это зависит от ситуации, либо не видят никакой разницы. Из этого можно сделать вывод, что опрошенные либо никогда об этом не задумывались либо не видят никакой разницы.

Подводя итоги всего анкетирования, можно подтвердить то, что знание процентов и умение решать задачи на них, имеют большое значение в жизни каждого человека в современных условиях. Проценты используются почти везде, и неумение их вычислять, полноценно пользоваться современными услугами невозможно. Поэтому так важно ещё со школы уяснить важность этого понятия и научиться правильно решать задачи.

Понятие простых процентов. Решение задач.

Начинать нужно всегда с самого простого, постепенно переходя к сложному. Разберёмся, что такое «простые проценты» и научимся решать задачи на них.

Задачи на простые проценты встречаются в школьном курсе алгебры, экономике, банковской сфере и т.д. Без понимания их содержания и знания формул решить задачи часто бывает сложно. Ниже на распространенных примерах будут даны основные задачи и формулы для их решения.

Простые проценты — это метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга).

Простыми процентами можно считать вклад (долг) только в том случае, если происходит однократная выплата процентов и всей суммы вклада(долга) одновременно, при этом полностью отсутствует возможность досрочной частичной или полной выплаты вклада (долга) и/или полностью отсутствует возможность пролонгации вклада(долга).

При досрочной выплате процентов происходит капитализация процентов, то есть увеличение суммы вклада (долга), значит первоначальная сумма вклада (долга) изменилась, следовательно, применение простых процентов в этом случае бессмысленно, поскольку это уже не простые проценты, а сложные.

Напомню, что Процентом ( процентом ) от числа А называется одна сотая часть этого числа. Слово «процент» произошло от латинского pro centо, что значит «с сотни ». Обозначение процентов «%» происходит от искажения письменного cto.
Например: 10% = 0,1; 10 часть числа А.

В случае кредитов и депозитов используют формулы для вычисления простых процентов на период в годах, месяцах и днях. Задачи не требуют сложных вычислений и понравятся как школьникам, так и тем, кто первый раз знакомится с процентами. На практике проценты используют в банковской сфере, химии, медицине, хозяйстве.

Другая часть задач касается нахождения содержания чего-то по известному проценту, или, наоборот - за содержанием найти процентное соотношение.

Оба типа задач будут рассмотрены ниже.

Формула простого процента на период в годах:

P[i]=P*(1+n/100*r),

где P[i] – увеличение величины P через r лет, если ставка составляет n процентов. Величиной P могут выступать депозиты, кредиты, материалы.

Разобравшись в понятии «простой процент» и выведя формулу для нахождения процента на период в годах, можно переходить к непосредственному их решению. Ниже будут разобраны несколько задач на простые проценты. Сборник задач без решения см. в приложении: «Сборник задач на проценты».

Задача 1. Вкладчик разместил сумму размером 2400 рублей в банк. Определите, какую сумму получит вкладчик через 3 года, если процентная ставка составляет 19 % в год.

Решение: Данные задачи подставляем в формулу простых процентов

P[3]=2400*(1+19/100*3)=3768 (рублей.)

Таким образом, за 3 года вкладчик получит 3768 рублей.

Обратной задачей на проценты называют такую, в которой за неизвестные выступают количество лет или процентная ставка.

Задача 2. Вкладчик взял в кредит 3000 рублей и должен вернуть через пять лет. Найти процентную ставку кредита, если известно, что нужно отдать банку 8100 рублей.

Решение: Выведем формулу для этой задачи:

P[i]=P*(1+n/100*r);

P[i]/P=1+n/100*r;

n= (P[i]/P-1)/r*100.

Выполняем вычисления по выведенной формуле:

n= (8100/3000-1)/5*100=1,7/5*100=34 (%).

Следовательно, процентная ставка кредита составляет 34 %.

Если в обратной задачи на проценты нужно найти количество лет, то нужная формула на основе предыдущих выкладок будет выглядеть так:

r= (P[i]/P-1)/n*100.

Формула для расчёта простых процентов за период в несколько месяцев выглядит немного иначе:

P[i]=P*(1+n/100*m/12), здесь обозначено m – количество месяцев.

Задача 3. Вкладчик поместил сумму размером 1600 рублей в банк на один год, однако ему пришлось забрать деньги через семь месяцев. Процентная ставка при досрочном снятии депозита составляет 9 % в год. Найти сумму, которую получит вкладчик.

Решение: Применяем формулу для вычислений:

P[3]=1600*(1+9/100*7/12)=1684 (рублей.)

За 7 месяцев вкладчик получит 1684 рублей.

Из приведенной формулы достаточно просто получить все необходимые величины для обратной задачи.

Количество месяцев определяют по формуле:

m= (P[i]/P-1)/n*100*12,

а процентную ставку находят из зависимости:

n= (P[i]/P-1)/m*100*12.

Расчёт простых процентов за период в днях применяют при имитации кратковременных кредитов или депозитов. Формула начислений имеет вид:

P[i]=P*(1+n/100*d/365), здесь d – количество дней.

Задача 4. Заемщик получил кредит на сумму 20000 рублей под 32% годовых. Через 240 дней кредит был полностью погашен. Рассчитайте, какую сумму заемщик отдал банку? Насколько отличается эта сумма от одолженной?

Решение: Применяем формулу простых процентов для вычислений

P[i]=20000*(1+32/100*240/365)=24208,22 (рублей)

24208,22-20000=4208,22 (рублей)

Получили, что за этот период насчитана сумма 4208,22 рублей.

Кроме банковского дела, простые проценты встречаются в математике. Решение таких задач простое. Часто формулировка задачи сложна, а решение оказывается очень лёгким. Разберём несколько простых задач.

Задача 5. В бочке объемом 200 литров перевозили масло. На станции отлили 60 литров. Сколько процентов от объёма осталось?

Решение: Задача состоит в нахождении количества в процентах масла от общего объема бочки.

200-60=140 (л);

140/200*100%=70 %

Осталось 70% объема бочки.

Задача 6. При несвоевременной уплате долгов насчитывают 2% пени за каждый просроченный день. Какую сумму нужно заплатить через 12 дней после срока погашения 500 рублей долга?

Решение: По формуле простых процентов находим:

P[i]=500*(1+2/100*12)=620 (рублей)

Нужно заплатить 620 рублей.

Подобных задач Вы встретите в литературе немало. Задачи на проценты требуют от Вас только хорошо разобраться, что известно? и что нужно найти? Все остальное сводится к простым математическим действиям.

Разобравшись, что собой представляют задачи на простые проценты, можно уверенно переходить к более сложным задачам на сложные проценты.

Понятие сложных процентов. Решение задач.

Прежде чем приступать к решению задач на сложные проценты, нужно разобраться, а что же такое «сложный процент», и где он используется. Хорошо разобравшись в понятии простых процентов, будет легче понять сложные.

Для начала разберёмся, что такое капитализация процентов. Это понятие поможет, понять, в чём состоит суть ложных процентов.

Итак, капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции - выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

По сути, сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.

Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.

Представим, что вы положили 10 000 руб. в банк под 10 процентов годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.

Ваша прибыль — 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10 процентов.

Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент. Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Существует формула для начисления сложного процента:

S=A*(1+R)^T, где

A- сумма вклада;

R- ставка процента;

T- количество периодов;

S- полученная сумма.

Рассмотрим несколько задач, решаемых по этой формуле.

Задача 1. Расчитать сумму вклада через 3 года при сложной процентной ставке 10% годовых, если было вложено 1000 рублей.

Решение: В этой задаче исходными данными являются: A=1000, T=3 года, R=10%=0,1. Подставим эти данные в формулу, получим:

S=1000*(1+0,1)^3=1000*1,13=1000*1,331=1331 рублей.

Ответ. На счету через три года будет 1331 рублей.

Задача 2. Для обучения в ВУЗе необходимо 100000 рублей. Родители Оксаны положили в банк 65000 рублей под 6% годовых (сложная процентная ставка). Будет ли у них необходимая сумма, если пока Оксана в первом классе (считать обучение в школе 10 лет)?

Решение: Рассмотрим известные данные к задаче. A=65000, T=10,

R=6%=0,06. Подставим данные в формулу, вычислим S(должна быть равной 100000 или больше).

S=65000*(1+0,06)^10

S=65000*1,06 10

S=65000*1,79

S=116405

Ответ. Родители Оксаны получат требуемую сумму.

Задача 3. С какой процентной ставкой необходимо вложить деньги в банк, если через 2 года вкладчик хочет получить 120000 рублей при первоначальном взносе 100000 рублей?

Решение: В данной задаче необходимо найти R, если A=100000, S=120000, T=2 года, по этим данным составим уравнение:

120000=100000*(1+R)^2

(1+R)^2=120000/100000=1,2

1+R=1,04

R=0,04=4%

Ответ. Процентная ставка должна быть 4% годовых.

Задача 4. Какую сумму нужно вложить в банк, чтобы через 3 года на счету было 59550 рублей, если сложная процентная ставка банка равна 0,5% в месяц?

Решение. В данной задаче нужно найти А, составим уравнение по условию задачи:

59550=А*(1+0,06)^3

59550=А*1,063

595500=А*1,191

А=59550/1,191

А=50000 рублей.

Задача 5. Найти прибыль от 30 000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Решение: Воспользуемся формулой сложных процентов, чтобы вычислить, сколько человек получит денег через 3 года:

S = 30 000 (1 + 0.1)³ = 30 000 * 1.1³ = 39 930

Найдем прибыль, отняв из полученной клиентом суммы сумму вклада:

39 930 – 30 000 = 9 930.

Ответ: 9930 рублей

Задача 6. Определенный товар стоил 200 руб. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили настолько же процентов, после чего стоимость его стала 192 руб. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменение цены товара через X. На основе условия задачи, используя формулу сложных процентов, получим уравнение:

S = A*(1+R)^T

192 = 200 (1 + Х) (1 - Х)

Его упрощение приведет к решению уравнения:

8 – 200 Х² = 0

откуда корни приобретут значения

Х = -0.2, Х = 0.2

Первое значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

Ответ: 20 %

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе.

Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени. Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.

На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые, так и сложные задачи.

Проценты в реальной жизни.

В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в банке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительно рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль-все это проценты. Давайте разберёмся, где ещё кроме экономики встречается понятие «процент».

География. На уроках географии учитель нередко использует проценты, например:

Всем известно, что воздух это смесь газов. Воздух состоит из: 78,1% азота, 20,9% кислорода и 0,9% аргона (данное соотношение их содержания сохраняется до высоты порядка 100 км). На долю данных газов приходится 99,96% массы атмосферы.

Пресная вода - вода Земли, в которой соли содержатся в минимальных количествах, солёность которой не превышает 0,1 %, даже в форме пара или льда. Ледяные массивы (к примеру айсберги) в полярных регионах и ледники содержат в себе наибольшую часть пресной воды Земли. Помимо этого, пресная вода существует в реках, ручьях, подземных водах, пресных озёрах, а также в облаках. По разным подсчётам доля пресной воды в общем количестве воды на Земле составляет 2,5—3 %. Около 85—90 % запасов пресной воды содержится в виде льда.

Биология. Многие темы изучаемые на уроках биологии содержат процентные величины.

Каждый человек имеет индивидуальные параметры, определяющие его физическое развитие: рост, вес, жизненная емкость легких и т. п., причем значения этих параметров могут сильно варьировать для некоторой группы людей, оставаясь при этом в пределах нормы. Указать среднее значение параметра физического развития (значение в норме) позволяет процент.

В организме человека насчитывается 400-600 мышц. У новорожденного масса мышц составляет 20-22% от общего веса тела, масса мышц у мужчин составляет 40-45%, у женщин (в возрасте 22-25 лет) – 30% от массы тела; в пожилом возрасте отмечается постепенное уменьшение массы мускулатуры до 25-30%.

Сердце – небольшой полый мышечный орган. У человека оно с кулак и весит всего 300 г., это примерно 0,4-0,5% веса всего тела. 85% энергии сердца расходуется на продвижение крови по артериолам и капиллярам и только 15% – на продвижение по крупным и средним артериям и венам.

Химия. В химии умение рассчитать проценты необходимо довести до совершенства, ведь это требуется и при выполнении химических опытов, и при решении задач.

Растворы состоят из растворителя и растворенного вещества (веществ). Если одним из составляющих раствор веществ является жидкость, а другими – газы или твердые вещества, то растворителем обычно считают жидкость. В других случаях растворителем считают тот компонент, которого больше.

Каким бы не было агрегатное состояние растворителя, в его названии обязательно указывается “сколько процентов вещества растворено в определенном объеме растворителя”. Чем больше вещества растворено, тем раствор концентрированней. Часто для того, чтобы растворить большее количество вещества, его подогревают до определенной температуры.

Всем известно, что желудочный сок человека имеет кислую среду, это возможно благодаря наличию в желудочном соке 0.3 – 0,5% соляной кислоты.

В своей трудовой деятельности многие люди используют умение рассчитывать проценты от числа, и находить число по его части ежедневно. Они используют умение решать задачи на проценты, приобретенное в 5 классе, в течение десятилетий. На некоторых профессиях мне бы хотелось остановиться в своей работе.

Медицина. Медицинские работники ежедневно сталкиваются с умением рассчитать проценты, например, при внутримышечных инъекциях, для разбавления препарата, используется 1 % раствор ледокаина. Отечественная промышленность выпускает только 2% раствор ледокаина, соответственно перед тем, как сделать пациенту укол, медсестра разбавляет ледокаин водой для инъекций в нужной пропорции. Если этого не сделать, то пациент получит ожог.

Покупая любое лекарство, больной перед его использованием внимательно изучает инструкцию к нему, в которой подробно перечислен состав препарата с указанием процентного содержания всех входящих в него веществ.

Кулинария. Уксус — одна из самых древних приправ, которая используется в приготовлении множества кулинарных рецептов, а также для консервации продуктов на зиму. Вот только разнообразие блюд требует различного процентного содержания уксуса. В некоторые блюда рецептура требует наличия уксуса 70%, в то время как в другие достаточно добавить 6 или 9-процентный уксус.

А так как под рукой не всегда можно найти уксус нужного процентного содержания, то приходится самостоятельно производить расчет количества воды, который необходимо добавить в уксусную кислоту, чтобы получить уксус с необходимым процентом кислоты.

Бухгалтерия. Бухгалтер любого предприятия ежемесячно рассчитывает прибыль, полученную предприятием, начисляет заработную плату всем сотрудникам предприятия, производит отчисления в налоговую инспекцию, пенсионный фонд, в фонд социального страхования и прочие. Все отчисления рассчитываются индивидуально для каждого сотрудника, но при этом бухгалтер пользуется единой для всех процентной ставкой, например, налог на заработную плату (НДФЛ) в России составляет 13 %, отчисления на пенсию составляют 22 %, отчисления на медицинское обслуживание составляет 5,1 %, в фонд социального страхования – 2,9 %

Металлургия. Умение вычислять проценты очень важно при приготовлении сплавов, например, для получения сплава стали берется не менее 45 % железа и не более 2,14 % углерода, а также легирующие элементы, от процентного содержания которых зависит назначение полученного сплава стали.

Банковское дело. О применении процентов в банковском деле см. выше главах «Простые и сложные проценты»

Дальше перечислять, в каких областях человеческой деятельности встречаются проценты, смысла нет. Уже из перечисленного можно сделать вывод, что проценты используются повсеместно, во всех сферах. Без процентов в современной жизни человека никуда.

Заключение.

Делая свою научную работу, подбирая и изучая материалы на различных сайтах и в книгах, я узнал для себя много новой и полезной информации. Я понял, что проценты это необъятна тема, которая интересна для каждого по-своему. Проценты встречаются на каждом шагу: в школе мы решаем задачи на проценты, если мы зайдём в магазин, то увидим, что некоторые товары продаются со скидкой, а это тоже проценты, если зайти в банк и взять кредит, то нам предъявят проценты, которые будут начисляться.

Задачи на проценты играют большую роль в жизни человека. Проценты - это международный язык в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

Практика показывает,  что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся всех классов и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в вычисления процентов получение кредитов в банке, вклады сбережений, покупка товара в кредит, расчёты налогообложений, рекламные акции, расчёты скидок в процентном соотношении и так далее. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты, в настоящее время необходимы каждому человеку: значение этой темы очень велико и затрагивает все стороны нашей жизни.

Проделав эту работу, я научился решать более трудные задачи на проценты. Я понял, что такие задачи не только полезны, но и интересны, как для школьника, так и для взрослого. И я думаю, что теперь смогу решить любую задачу моего уровня на проценты. Я систематизировал задачи на проценты, понял, и оформил задачи, которые встречались в КИМах (контрольно-измерительных материалах) предыдущих лет. А также изучил виды кредитования, предложения банков, выяснил, где чаще всего используются проценты и умения решать задачи на них. Я считаю, что цели и задачи, поставленные передо мной, выполнены и думаю, что мой проект будет полезен аудитории любого возраста, которые либо только начинают знакомиться с этим необъятным понятием, либо хотят узнать что-то новое для себя.

В заключении хочу сказать, что с помощью процентов более ярко можно донести нужную информацию до любого человека. Проценты помогают многое нам узнать, надо только уметь понимать, о чем они «говорят».

Список используемой литературы и Интернет-ресурсов.

1. Научно-методический журнал «Математика в школе» под редакцией А.И. Верченко;

2. Справочник школьника. Ильяшенко М. П. Москва: ЗАО «БАО-ПРЕСС», 2005.

3. Интернет-сайт: http://www.banki.ru

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Профильный уровень. Задача 17 / Под редакцией И. В. Ященко. – М.; МЦНМО, 2018.

5. Интернет-сайт: https://ru.wikipedia.org

6. Интернет-сайт: http://yukhym.com/ru/matematika/slozhnye-protsenty-na-primerakh.html

7. Интернет-сайт: http://finansovaya-matematika.5311pro2.edusite.ru/p54aa1.html

8. Интернет-сайт: https://damoney.ru/finance/slozniy-procent.php

9. Интернет-сайт: http://irynaprocent.blogspot.com/p/blog-page_29.html

Приложение 1

Сборник задач на простые и сложные проценты.

Задача 1. Вкладчик открыл в банке счёт и положил в него 150 000 руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% в год. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько процентов вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания.

Задача 2. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины 94 500 руб.? На сколько процентов вырос вклад за 5 лет?

Задача 3. Сколько лет лежал в банке вклад 70 000 руб., если по ставке 19,2 % годовых простых процентов он достиг величины 150 640 руб.? Чему равен коэффициент наращивания?

Задача 4. Пусть вклад S руб. помещён в банк под простые проценты по ставке p% годовых. На сколько рублей он увеличится через n лет, k месяцев и l дней и какой станет величина вклада?

Задача 5. Вкладчик открыл счёт на сумму 15 000 руб. по ставке простых процентов 30% в год. Через некоторое время ставка была повышена в два раза, и по прошествии времени, в три раза большего, чем до её повышения, вкладчик закрыл счёт получив 57 000 руб. Сколько времени вклад находился в банке?

Задача 6. В банк на депозит на 3 года положили 30000 рублей под 10% годовых. а) Найдите насколько прибыльнее был бы вариант, когда годовой доход добавлять к счету, на который в будут начисляться проценты, чем вариант, когда проценты каждый год забираются клиентом? б) Какая будет разница через 10 лет?

Задача 7. В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:

а) простые; б) сложные.

Задача 8. На сберегательном счете в банке лежат 200 руб. Какая сумма бу­дет находиться на данном счете через три года, если в расчетах используется сложная ставка 12% годовых?

Задача 9. На бирже ценных бумаг акции одной фирмы продавались по цене

400000 рублей. После непредвиденных осложнений фирма вынуждена была дважды понизить цену на свои акции на один и тот же процент. В результате акции начали продавать по цене 282240

рублей. Найдите процент уценки.

Задача 10. Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму денег,

то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе

суммы. Вкладчик собирается положить на этот вклад деньги на

два года подряд и не пополнять и не снимать со счета. Сколько

рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 1272 рубля?

Приложение 2.