Проект "Теорема Пифагора"

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

,,ТЕОРЕМА ПИФАГОРА”

Выполнили:

Учащиеся 8а класса

МОУ «Ряжская СШ№2»

Руководитель:

Назина Людмила Юрьевна

Учитель математики

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Актуальность теоремы

2. Цель и задачи

3. Введение

4. Основная часть

5. Заключение

6. Вывод

Актуальность теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора в геометрии важна не меньше, чем таблица умножения в арифметике. Решение многих геометрических задач (как в планиметрии, так и в стереометрии), сводится к рассмотрению прямоугольных треугольников и применению этой замечательной теоремы. Так же большинство задач по нахождению сторон прямоугольных треугольников сводится к использованию этой теоремы. Этот материал будет интересен учащимся 8-9 классов, при изучении темы. Помимо исторических сведений в проект вошли доказательства теоремы Пифагора, факты о Пифагоре и его школе, шутки о теореме Пифагора ,старинные задачи, решаемые с помощью теоремы.

Цель работы

• Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.

• Изучение исторических сведений о Пифагоре и его школе.

• Изучение исторических сведений по использованию теоремы Пифагора.

• Рассмотрение различных видов доказательств теоремы Пифагора.

Задачи:

1)Собрать материал о Пифагоре Самосском.

2)Узнать интересные факты о теореме Пифагора.

3) Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.

4) Проанализировать и обработать собранную информацию.

5) Сделать презентации.

6) Оформить материал.

Введение

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический

период. Всё вокруг – геометрия» Ле Корбюзье

«В математике есть своя красота как в живописи и поэзии».

                                                                                             Н.Е.Жуковский

Теорема Пифагора!

Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть.

В чем же причина такой популярности «пифагоровых штанов»?

Знатоки утверждают, что причин здесь три:

б) красота,

а) простота,

в) значимость.

Основная часть

1. ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА

История Пифагора

Пифагор Самосский – древнегреческий математик, философ, мистик. Был назван «величайшим эллинским мудрецом» Геродотом.

Пифагор появился на свет в 570 году до н. э. на острове Самос. Отец, Мнесарх, был по разным версиям или камнерезом, или богатым купцом. Имя Пифагор означает «тот, кого предсказала Пифия»: рождение ребенка, согласно легенде, было предсказано Пифией в Дельфах.

Важные даты биографии Пифагора

• 570 год до нашей эры – рождение на Самосе.

• 546 год до нашей эры – создание собственной философской идеи.

• 510 год до нашей эры – основание школы Пифагора.

• 490 год до нашей эры – смерть.

Интересные факты из жизни Пифагора

• Придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах. Сегодня она продается на Родосе, Самосе и Крите как сувенир.

• Согласно одной из легенд, знаменитую теорему Пифагор добыл как выигрыш: он поспорил с неизвестным математиком о том, кто кого перепьет, и выиграл. Математик отдал свиток с теоремой Пифагору и сказал, что человек, который владеет этим свитком, будет известным не одно тысячелетие

• Одевался довольно необычно для своего времени и страны: носил штаны, широкие белые одежды и золотую диадему на голове. Пифагор утверждал, что в прошлой жизни он был одним из воинов, которые сражались за Трою

• Увлекался спортом, побеждал в кулачном бою на Олимпийских играх.

Современные исследователи считают Пифагора выдающимся античным космологом и математиком, хотя авторы древности этого не подтверждают. Пожалуй, самое известное достижение Пифагора – теорема, согласно которой квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов.

Школа Пифагора

Пифагорейский союз, был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание.

Первый этап приема в школу

• Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года.

• Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла — ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.

Второй этап приема в школу

• В этот период человек еще не считался учеником Школы и назывался акусматиком («слушателем»). Он слушал, впитывал, осознавал — и все что происходило в молчании.

• Акусматикам Пифагор «предписывал пятилетнее молчание, испытывая их способности воздерживаться, так как молчание — наиболее трудный вид воздержания. Для интереса — попробуйте помолчать хотя бы день. А потом поделитесь впечатлениями.».

Третий этап

• Лишь после долгих трех лет напряженной работы акусматик становился настоящим пифагорейцем.

• Теперь он носил звание математика — «познающего».

• На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и Человека.

• Обучение математиков проходило в течение долгого времени, но и оно было только подготовкой.

Четвертый этап

• Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите — естественный шаг для зрелого философа.

И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться

Пятый этап

• Высшей же ступенью в Пифагорийской школе считалось обучение политиков — людей, способных управлять обществом.

• Задача — руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни других интересов.

• Многие ученики Пифагора прославились как справедливые законодатели и справедливые хранители законов.

• Афоризмы Пифагора.

• Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.

• Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.

КРУШЕНИ Е СОЮЗА

Шло время, пифагорейский союз пришел к политической власти. Но политическая власть предполагает и политических противников. Появилась зависть, обман, недовольство. Однажды во время собрания союза противники подожгли дом ,в котором оно проходило. Многие погибли в огне. Пифагору удалось спастись от преследователей. Оставшись один, он лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора была лишена смысла.

1. История создания теоремы

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета и в древнеиндийском трактате. В древнейшем китайском трактате, утверждается, что китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы.

Не смотря на все это, сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Формулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так

:

« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

• « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

Способы доказательства теоремы Пифагора

• Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и др.).

• Все доказательства делятся на несколько групп: через площадь, через аксиомы, через подобные треугольники, «экзотические» (например, с помощью дифференциальных уравнений), с помощью дополнения или разложения чертежа…

1. Самое простое доказательство

(a+b)² = c²+2ab

a²+2ab+b² = c²+2ab

c² = a²+b²

1. Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:

b + c = a
откуда имеем
c = a - b
возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярен b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²

1. Доказательство Басхары

Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!".

Ученые считают, что он выражал площадь квадрата,

построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:

c²=4ab/2+(a-b)²
c=2ab+a²-2ab+b²
c²=a²+b²

Что и требовалось доказать.

1. Алгебраическое доказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольник

Доказать: AB²=AC²+BC²

                                        Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует

AB*AD=AC².

3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит

AB*BD=BC².

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC²+BC²=АВ*(AD + DB)

AB²=AC²+BC².

1. Доказательство Хоукинса

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

S_CAA'=b²/2, S_CBB'=a²/2, S_A'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

S_A'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c², что и требовалось доказать.

1. Доказательство через подобные треугольники

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

a/c=HB/a, b/c=AH/b

т.е. a²=c*HB , b²=c*AH

Следовательно a²+b²=c*(HB+AH)=c²

Что и требовалось доказать.

1. Геометрическое доказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольник

Доказать: BC²=AB²+AC²

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S_ABED=2*AB*AC/2+BC²/2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

S_ABED= (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC²/2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC²/2= (AC+AB)²/2

AB*AC+BC²/2= AC²/2+AB²/2+AB*AC

BC²=AB²+AC².

 Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

1. Доказательство через равнодополняемость

1. Доказательство Евклида

Все доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE).

Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD, FBC = D + ABC = ABD.

S_ABD = 1/2 S _BJLD ,

S_FBC=1/2 S _ABFH

Тогда S_ABD=S_FBC, S_BJLD=S_ABFH.

Также доказывается и S_JCEL=S_ACKG

А затем

S_ABFH+S_ACKG= S_BJLD+S_JCEL= S_BCED

т.е. a²+b²=c² , что и требовалось доказать.

10. Доказательства методом разложения

Доказательство Доказательство Доказательство Перигаля

Энштейна Нильсена

1. «Стул невесты»

«Стул невесты» (Индия, 9 в н. э.)

1. Доказательство Бертхера

Практическое применение

Теорема Пифагора используется практически везде: в строительстве: для проектирования чертежа крыши дома, создания некоторых видов окон; в астрономии, в работе мобильной связи и в других вещах, которыми мы пользуемся ежедневно.

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора была известна около 4000 лет назад, люди ещё находят новые способы её доказательства. Так что может быть и вы откроете ещё одно. Надо только захотеть.

3. СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА

№1. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

№2. У египтян была известна задача о лотосе:

"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну". Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора.

№3. Исторические задачи очень часто представляли в стихах

Задача Бхаскари

«На берегу реки рос тополь одинокий. 
Вдруг ветра порыв его ствол надломал. 
Бедный тополь упал. И угол прямой 
С теченьем реки его ствол составлял. 
Запомни теперь, что в этом месте река 
В четыре лишь фута была широка 
Верхушка склонилась у края реки. 
Осталось три фута всего от ствола, 
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: 
У тополя как велика высота?»

Задача древних древних индусов :

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.

CD – глубина озера, обозначим ее x. Тогда по теореме Пифагора имеем: BD² – x²= BC², то есть (x + 0,5)² – x²= 2², x² + x + 0,25 – x²= 4, x= 3,75. Ответ: глубина озера равна 3,75 фута.

№4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания?

№5. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний

конец от стены отстояти имать».

Заключение:

Мы узнали новое о теореме Пифагора и о самом Пифагоре в частности. Мы узнали или напомнили себе о доказательствах теоремы Пифагора.

Сначала мы узнали о его биографии. Потом о его знаменитой теореме и её важности. Далее мы узнали факты о Пифагоре и о его теореме. Далее повторили или узнали 12 основных доказательств. Мы успешно выполнили все задачи и основную цель. Теорема Пифагора одна из самых популярных и делать проектную работу по ней очень интересно. Лично для себя мы узнали много нового и интересного.

Вывод:

Мы узнали много нового об этой замечательной теореме и узнали 12 основных способов её доказательства. Главная цель работы выполнена.

Изучить теорему Пифагора и научиться её применять в задачах.

1)Узнать биографию Пифагора .

Узнали много нового о Пифагоре, как о человеке.

2)Узнать о важности теоремы Пифагора.

Узнали о важности теоремы и о её доказательствах.

3)Узнать факты из жизни Пифагора.

Узнали факты из насыщенной жизни Пифагора.

4)Узнать интересный факт о теореме Пифагора.

Узнали очень интересный факт о теореме Пифагора.

5)Научиться применять теорему Пифагора в разных способах.

Научились применять теорему Пифагора в решении задач и узнали 12 способов её доказательствах.

Данная работа может быть использована учителем, преподающим геометрию в 8-11 классах, с целью расширения исторических знаний (работа выполнена в виде презентаций для подачи учебного материала учащимся по данной теме.)