Проект "Умножение с удовольствием"

Введение
1. Первые ступени вычисления.
1.1 Китайский счёт.
1.2 Японский счёт.
1.3 Русский счёт.

2. История появления таблицы умножения.

2.1 Пифагор и таблица умножения.

2.2 Таблица умножения на пальцах.

3. Умножение.
3.1 Умножение на 11.
3.2 Умножение на 12.
3.3 Умножение двузначного числа на 101,111.
3.4 Умножение числа на 5,25,125.
3.5 Простое умножение чисел близких к 100.
4. Нестандартные способы умножения.
4.1 Русский способ умножения.
4.2 Китайский способ умножения.
4.4 Индийский способ умножения.
4.5 Японский способ умножения.

4.6 Немецкий способ умножения
Заключение
Литература

Введение

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Математика развивает способность к логическому мышлению, что позволяет человеку жить интересно и никогда не скучать. Эта прекрасная наука развивает умение мыслить нестандартно, находить выход из любых ситуаций.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Проанализировав много информации, я открыла для себя очень интересные исторические данные о необычных способах быстрого счёта, способов умножения.

Тема моего проекта "Умножение с удовольствием".

Актуальность работы: не смотря на то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилию доступных электронных счетных устройств, навык быстрых и удобных вычислений не потерял своей актуальности для человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Гипотеза: Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком, но они не известны ученикам.

Цель: выявить самые простые для нас способы умножения.

Задачи исследования:

- изучить особенности систем умножения в разных странах;

- освоить различные методики умножения;

- выявить самые приемлемые методы умножения для учащихся;

- провести мастер – класс по знакомству с некоторыми способами умножения.

Объектом нашего исследования являются приемы быстрого счета, математическое действие – умножение.

Практическая значимость работы: «Гибкость ума может заменить красоту». (Стендаль)

Первые ступени вычисления

Пальцевый счёт, счёт на пальцах — математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека с эпохи верхнего палеолита.

Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье. Наши предки умели производить при помощи пальцев некоторые действия.

Индейцы Таманаки пользуются при счете пальцами рук и ног. Вместо «один» они говорятъ «палец» и при этом обязательно протягивают палец; вместо «два» – «два пальца», «три» – «три пальца».

Пять у них зовется «рука», 6 – «палец на другой руке», 7 – «два пальца на другой руке», 10 – «две руки». Покончивший с руками, они перебираются к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 – «палец на ноге», 12 – «два пальца на ноге», 15 – «нога и две руки», 16 – «палец на другой ноге».

Но вот подходит дело к 20 ти, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человек». 20 называется «человек», так как у него 20 пальцев; как же выразить, напр., 27? Это будет «2 пальца на другой руке другого человека».

Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни бедные индейцы едва ли и порываются считать, потому что у них нет для этого ни потребностей, ни развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо «20» говорят «человек» и вместо «100» пять человек.

Китайский счёт

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец;

2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;

3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;

4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;

5 — открытая ладонь и т.д.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных.   

Японский счёт

В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.

Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.

Русский счёт

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

С учащимися 7 "Д" класса я провела опрос по вопросам, представленным на слайде:

1. Как вы используете умножение? (считаю в уме/использую калькулятор/произвожу расчёты на бумаге);

2. Как часто Вы сталкиваетесь с умножением?

3. Отметьте с какими способами умножения вы знакомы, не знакомы и какие используете:

немецкий способ

русский способ умножения;

китайский способ умножения;

индийский способ умножения

В опросе приняло участие 23 одноклассника

По результатам опроса было выявлено, что для произведения операции умножения в практически равной степени часто используются как расчёты на бумаге и при помощи калькулятора, а вот умножают в уме только 13%.

39% опрошенных считают, что применение умножения ограничивается рамками исключительно школьных уроков математики, 61% же осознают, что постоянно используют умножение в повседневной жизни.

Абсолютное большинство указало в опросе на незнание этих способов, но в заинтересованности показа и их использования.

История появления таблицы умножений

Нельзя точно ответить кто именно положил начало арифметике. Но можно точно сказать, что умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения - «предками» современных.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Таблица в Индии включает в себя числа до 20-ти. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI века, а «множимое» - в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком, а иные употребляли для этого точку. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения и знак равенства стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 -1716).

Известно, что впервые таблица умножения была введена в школах в средневековой Англии. Выглядела она как система перемножения чисел до 12. В Англии до сих пор сохранился именно такой средневековый вариант по той причине, что в жизни англичан часто приходится умножать именно на 12: в измерительной системе 1 фунт равен 12 дюймам, а ранее в денежном обращении 1 шиллинг был равен 12 пенсам. Таким образом, мы видим, что таблица не во всех странах одинакова.

Интересно, что на Руси существовал крестьянский способ умножения, который заключался в том, что первый множитель увеличивается в два раза, а второй уменьшается тоже в два раза. И эта операция продолжалась до тех пор, пока второй множитель не становился равен одному. Строки, в которых правое число четно, удалялись, а сумма левых чисел и оставшихся строк давали нужный результат.

Пифагор и таблица умножения

Привычная для нас таблица умножения — это 8 столбцов с последовательными примерами на задней обложке тетради.Таблицу умножения также называют «Таблицей Пифагора», особенно когда она представлена в виде квадрата, стороны которого — множители, а в ячейках стоит их произведение. Именно так принято считать в европейской культуре. При этом существует очень интересный факт: не обнаружено ни одного письменного свидетельства тому, что именно Пифагору принадлежит авторство таблицы. Существуют только косвенные доказательства.

Последователь его учения — НикомахГерасский, который жил на рубеже I и II веков нашей эры, записал таблицу в привычном нам виде в своем сочинении «Введение в арифметику». Именно он утверждал, что авторство принадлежит древнегреческому ученому Пифагору.  Мнения ученых по поводу авторства таблицы умножения разделились. И многие считают, что Пифагор не может быть ее создателем, ведь существуют факты, подтверждающие другое ее происхождение.

Самая старая десятиричная таблица умножения найдена на раскопках древних китайских городов. Ученые датируют ее 305 г. до н.э., т.е. она существенно старше, подсчеты с помощью таблицы. Интересно то, что иероглифы похожи на древнекитайское письмо.

Это не единичный случай обнаружения подобных табличек археологами. Подобную дощечку нашли на раскопках еще одной японской столицы Хэйнан. Таким образом, ученые предполагают, что таблица умножения могла попасть из Китая в Японию, так как между двумя империями были очень прочные торговые отношения. По мнению ученых, таблица умножения, которую придумали в Китае, могла попасть в Индию вместе с торговыми караванами, а затем уже распространиться по Азии и Европе.

Но есть и еще одна версия, исходя из которой таблица была изобретена в Месопотамии. Эта теория тоже подтверждается находками археологов. Самая старейшая табличка была найдена на раскопках древнего Вавилона и имеет возраст около 4000 лет.

В 493 году появился новый вариант, предложенный ученым ВикториемАквитанским: он записал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50.

В 1820-м году шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения до 99. Он же стал тем, кто начал давать своим ученикам рекомендации заучить ее.

В Россию современная таблица умножения попала благодаря математику Леонтию Филипповичу Магницкому, который в 1707 году издал первый учебник по математике под названием «Арифметика». В этом учебнике были таблицы сложения и умножения. Такое нововведение, как заучивание таблицы умножения было поистине революционным. Оно значительно облегчало повседневные расчеты, так как другие хитрые способы вычисления (запятая не нужна) приводили к тому, что увеличивалось количество ошибок и замедлялся процесс подсчета.

Таблица умножения на пальцах

При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.

2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56.   

Интересные старинные способы умножения

Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех учат в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.

Способов умножения и деления много, Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения, причем это ещё не все. А я просто предлагаю вашему вниманию некоторые из них.

Умножение на 11

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

32х11= 3(3+2)2 = 352;

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 = 858.

(см.приложение 3)

Умножение на 12

Чтобы умножить на 12 число, надо:

последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата;

каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);

первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата.

124 х 12 =1 4 8 8;

4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4

Умножение на 101 и 111

Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.

36 х 101 = 3636.

Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

42 х 111 = 4662

Умножение на 5, 25, 125

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Например:

1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;

6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;

8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004

Простое умножение чисел близких к 100.

Например, нам надо перемножить числа 96 и 97.

Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа. Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случая получается, что вспомогательные числа это 4 и 3.

Дальше можем забыть о данных на числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого на числа: мы складываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93.

Затем найдем последние цифры необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.

Умножение сегодня. Нестандартные способы умножения

Русский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Напрмер: 24х4=96

Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

Китайский способ умножения

А теперь представим метод умножения, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Например: 22 × 42 = 924

В первом множителе 2 десяток и 2 единицы, значит, строим две прямые и ей параллельно ещё две прямые ниже с наклоном влево

Во втором множителе 4 десятка и 2 единица. Строим параллельно четыре прямые и две поодаль с наклоном вправо. Прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Теперь по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим, как показано овалами, и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево 4, 12, 8. В искомом числе 4 единиц, 12 десятков (значит переносим один в сотни), 8 сотен плюс одна образованная из десятков – итого 9. Таким образом можем записать результат 924.

Итальянский способ умножения («Сеткой»)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например: умножим 1234 на 576.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Т.е. 4х5 = 20. Записываем 2 и 0.

1х5*3 = 6. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Индийский способ умножения

Для умножения, например, 385 на 64 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого. Полученные произведения пишем в сетку.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.

Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Например: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Немецкий способ умножения

Самый известный и применяемый способ в Российском образовании придумал немецкий педагог-математик Адам Ризе. Чтобы перемножить два числа, записываем большее над меньшем. Затем начиная с единиц и двигаясь к высшим разрядам умножаем поочерёдно каждую цифру нижнего числа на верхнее. Если при умножении цифр получаем число большее десяти, добавляем единицу к следующему разряду.

Выводы

Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть.

Мы рассмотрели нестандартные способы умножения и выявили, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный.

После рассмотрения и показа своим одноклассникам некоторых способов умножения, их заинтересовали некоторые из них. Пусть овладение этими способами в совершенстве не у всех получилось, зато представления у них теперь есть .

Опираясь на данные опроса и изученные материала, можно сделать вывод, что данная тема действительно актуальна для изучения, поскольку большинство не знакомо с представленными методами и способами умножения.  Методы упрощённого умножения действительно позволяют ускорить и упростить счётные операции.

Заключение

Выдвинутая нами гипотеза подтверждена. Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком, но они не известны ученикам.

Таким образом, пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения.

Библиография

1. Интернет ресурсы

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981.

4. Депман И. «Рассказы о математике».– Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – 6. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

7. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.

8. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.:

9. Детская литература, 1998, 175 с.

10. Интернет – источники

11. Беллюстин В «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметик», 1940

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

им. Л.Н. Толстого

п. Лев Толстой

Тема : "Умножение с удовольствием".

Автор:

Коновалова Анна Романовна

Руководитель:

Пахомова Ольга Алексеевна

2022год

Паспорт проектной работы

Тема: "Умножение с удовольствием".

Учебный год: 2021-2022

Школа, класс: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

им. Л.Н. Толстого, 7 "Д"

Автор проекта: Коновалова Анна Романовна

Руководитель проекта: Пахомова Ольга Алексеевна

Аннотация: В данном проекте по математике на тему "Умножение с удовольствием"доказывается, что помимо стандартного метода умножения существует ещё ряд интересных , работающих методов, некоторые из которых удобнее нам привычных. Материалы данного проекта можно использовать в качестве дополнительного материала к урокам математики и при проведении внеурочной деятельности.

План (график) выполнения проекта:

1 этап - поисковый ( октябрь)

2 этап - аналитический (ноябрь, декабрь)

3 этап - практический ( январь, февраь)

4 этап - презентационный ( март)

5 этап - оценка (март, апрель)

Материально-техническое обеспечение проекта: презентация, интернет-ресурсы.

20