Проектная работа по математике : "Необычные способы умножения чисел"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 70 с углубленным изучением отдельных предметов г. Казани

Необычные способы

умножения чисел

Выполнила: Светчикова Полина

ученица МБОУ СОШ № 70 г. Казани

4 «Д» класса

Руководитель: Ишкеева А. Д.

учитель начальных классов

Казань 2020

Цель работы:

Ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Показать различные способы умножения.

Задачи:

• Открыть для себя новые знания, показать простоту других способов умножения.

• Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.

• Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.

• Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

• Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения?

Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы привлечь внимание учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?», поэтому то я и выбрала тему своего проекта «Необычные способы умножения чисел».

I . Введение.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Однажды на уроке, мой учитель по математике показала таблицу умножения на пальцах. Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что мы, учащиеся затрудняемся производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или калькулятора. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы математического цикла.

Это мой первый опыт описывать способы умножения. Я теперь знаю, что можно умножать числа не только «столбиком», но и другими способами.

II. Основная часть. Необычные способы умножения.

Что такое умножение?

Это действие сложения.

Но не слишком-то приятное,

Потому что мно-го-крат-ное…

Тим Собакин

Немного истории.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

2.1.Умножение на 9, на пальцах.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 2 до 9.

Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки.

Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа - 3 пальца. Таким образом: 9 · 7 = 63

2.2. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах.

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

2.3 Крестьянский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат не трудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Пусть надо умножить 37 на 32. Составим два столбца чисел, - один удвоением, начиная с числа 37, другой раздвоением, начиная с числа 32:

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……...1

 Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое,

поэтому  37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

2.4 Метод «решетки» (Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми)

Рисуется таблица с квадратными клетками, число столбцов и строк в которой соответствуют количеству цифр в множителях. В нашем случае рисуется таблица с двумя строками и двумя столбцами. Затем клетки делятся пополам по диагонали. Над таблицей записывается первый множитель - 25, а с правой стороны вертикально второй множитель - 63. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения сложением цифр в косых полосах получим.

На пересечениях находим произведения чисел. Складываем числа по диагоналям.

Получили результат: 1575

2.5 Китайский (рисовательный) способ умножения

С этим способом умножения меня познакомила мой учитель математики, предоставив в моё распоряжение несколько листочков с готовыми решениями в виде замысловатых рисунков. Закипел процесс расшифровки алгоритма рисовательного способа умножения. Для наглядности решила прибегнуть к помощи цветных карандашей.

Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик).

Пример № 1: 32 × 21 = 672

Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: три сиреневые палочки(3); две синие палочки (2) 32 нарисовали.

Рисуем второе число с низу в верх, слева на право: две зеленых палочки (2); одна сиреневая (1) 21 нарисовали.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2, 7, 6. Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и получили 672.

Пример № 2 : 24 × 34 = 816

В этом примере есть особенность. При подсчёте точечек в первой части получилось 16. Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части

(20 + 1)…

Пример № 3: 215 × 741 = 159315

(Без комментария).

На первых порах рисовательный способ умножения показался мне несколько запутанным, но при этом интересным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение понятнее и работает в режиме автопилота: рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем.

Но при работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

2. 6 Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

2.7 Умножение на 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673 

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа.

Например:  45 * 11 = 4(4+5)5 = 495

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел

2.8 Умножение на 4 и на 8

На 4 можно умножать таким образом: данное число два раза умножаем на 2.

Например, 43х4= 86х2= 176

Когда умножаем на 8, то данное число 3 раза умножаем на 2.

123х8 = 246х4 = 492х2 = 984

2.9 Умножение трехзначного числа на 101

Например, 125 * 101.

(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя) 125 * 101 =   12625

2.10 Легко запомнить: 11·11 =121

111·111=12321

1111·1111=1234321

11111·11111=123454321

------------------------

111111111·111111111=12345678987654321

Заключение:

Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор

Рассмотренные мною способы умножения не такие сложные и могут повседневно использоваться учениками. Они познавательны и интересны.

Я знаю, что существуют еще, много интересных способов вычислений. И я соберу целую коллекцию таких примеров рационального вычисления.

Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Литература

1. Перельман.Я.И. Живая математика. -М.:Астрель:АСТ, 2005

2. С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапов«Старинные занимательные задачи».

3. В. Беллюстин: «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики»

4. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин “За страницами учебника математики”.

5. Л.Ф. Магницкий: «Арифметика».

1. Журнал «Математика» №15 2011г.

7. Интернет-ресурсы.

8