Проектная работа «В мире чисел»

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………………. 3

2. История возникновения чисел ………………………………….……...…… 5

1. Определение понятия числа………………………………………. 5

2. Счет у первобытных людей……………………………………...………… 5

3. Цифры у разных народов…………………………………………….…….. 6

3.1. Появление цифр………………………………………………..…….. 6

3.2. Римская нумерация………………………………………..……...… 11

3.3. Цифры русского народа……………………………………….…. ...11

4) Мир больших чисел……………………………………………...………… 12

3. Заключение…………………………………………………………………...… .14

4. Список использованной литературы……..…….………………....………...…. 17

ВВЕДЕНИЕ

Кто хочет ограничиться настоящим,

без знания прошлого,

тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Тема данной работы актуальна в современном мире, и очень важна для нашего развития, так как в настоящее время наше общество постоянно пользуется числами.

Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками. Было решено исследовать историю возникновения чисел на примере натуральных чисел.

Первым этапом данной работы было изучение приемов счета у первобытных людей. Отмечено, что при счете использовались узелки, камешки, палочки. Все эти способы были не удобны, что привело к появлению условных знаков.

На втором этапе исследования рассмотрены условные знаки – цифры разных народов. Отмечено, что у разных народов были свои изображения, но постепенно шло превращение первоначальных цифр в наши современные цифры. Отдельное место занимает римская нумерация, основанная на принципах сложения и вычитания.

На третьем этапе рассмотрено появление цифр у русского народа. Отмечено, что наши предки сначала использовали славянскую нумерацию (цифры обозначали буквами) и только с XVIII века стали использовать арабские числа.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. Исследовательский;

2. Интервьюирование;

3. Компьютерная обработка данных;

4. Математический.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

1. Определение понятия числа.

Число – это понятие, при помощи которого выражается количество и ведется счет. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук и ног, но это было не очень удобно при обозначении большого количества. Возникла необходимость более удобного способа выражения количества. Таким способом является запись чисел при помощи специальных знаков – цифр.

1. Счет у первобытных людей

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до после­днего времени были только два числительных: один и два, а все числа больше двух получали название в виде сочетания этих двух числи­тельных. Например, три - «один, два»; четыре - «два, два»; пять - «два, два, один». Позже появились особые названия для чисел. Снача­ла для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Пальцы всегда при нас, то и считать стали по паль­цам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног (3, стр. 13).

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме паль­цев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Напри­мер, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завя­занными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки пос­ле окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции». В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.

На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, приве­ли к образованию разных систем счисления и к созданию современ­ных быстродействующих электронных вычислительных машин.

1. Цифры у разных народов

Мысль выражать все числа знаками

настолько проста, что именно из-за

этой простоты сложно осознать,

сколь она удивительна.

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), франц. астроном, математик, физик.

Цифры - условные знаки для обозначения чисел. Первыми запи­сями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или кос­тях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать, таким образом, неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры).

1. Появление цифр

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» на латинском языке означает «камень» (3, стр. 17).

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги, то это означало двадцать.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

Рис. 1.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2).

Рис.2.

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры (4, стр. 12).

Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).

Рис. 3.

Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).

Рис. 4.

Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.

Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин  (1) и лежащий клин  (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    Число 60 снова обозначалось знаком , например число 92 записывали так:  (4, стр. 17).

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой. В системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения    Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5) (4, стр. 18).

Рис. 5.

Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6).

Рис. 6.

Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

1. Римская нумерация

Свою систему обозначения чисел придумали и римляне. Полагают, что знак, используемый для обозначения единицы, это иероглиф, изображающий один палец, знак для цифры 5- это раскрытая ладонь, а для 10- две раскрытые ладони.

В основе римской нумерации использованы принципы сложения (например, VI = V + I) и вычитания (например, IX = X -1). Римская система нумерации десятичная, но непозиционная. Римские цифры произошли не от букв. Первоначально они обозначались, как и у многих народов, «палочками» (I - один, X - 10 - перечеркнутая палочка, V - 5 - половина от десяти, сто - кружочек с черточкой внутри, пять­десят — половина этого знака и т. д.).

Со временем некоторые знаки изменились: С - сто, L - пятьде­сят, М - тысяча, D - пятьсот. Например: XL - 40, LXXX - 80, ХС - 90, CDLIX - 459, CCCLXXXII - 382, CMXCI - 991, MCMXCVIII - 1998, MMI – 2001 (4, стр. 13).

3.3. Цифры русского народа

Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над бук­вами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа (4, стр. 15).

В одной из русских рукописей XVIII века написано: «... Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр...; ... сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть де­сять легионов...» (4, стр. 15).

Первые девять чисел записывались так:

С отни миллионов назывались «колодами».

« Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под бук­вой ставили квадратные скобки. Например, число 108 записывалось в виде

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, напри­мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше ты­сяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходив­ший до числа 10⁵⁰. Далее говорилось: «И более сего несть челове­ческому уму разумети» (4, стр. 15).

1. Мир больших чисел

Сколько километров проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Сколь­ко времени заняло бы выполнение самым быстрым расчетчиком миллиона вычислительных операций, которые современная вычис­лительная машина выполняет за... секунду? Во сколько раз скорость пассажирского реактивного самолета превосходит скорость трени­рованного спортсмена-пешехода? Ответы на эти и тысячи подобных вопросов выражаются числами, занимающими зачастую по числу своих десятичных разрядов целую строку и даже больше.

Над вопросом, как называть очень большие числа, задумался один из величайших греческих математиков - Архимед.

В своем сочинении «Исчисление песчинок» («Псаммит») он поставил себе целью показать, что существуют «числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить… в пространстве, равном объему…целого мира».

Песчинку Архимед считает очень малой: в маковом зернышке, по его предположению, содержится мириада песчинок.

Архимед называл обычную единицу «единицей чисел первых»,а мириаду мириад таких единиц, то есть число 100 000 000- «единицей чисел вторых». Мириаду мириад «чисел вторых он называл «единицей чисел третьих», и так вел счет до мириады мириад «чисел мириадо - мириадных». Это число мы бы записали в виде единицы с 800 000 000 нулями.

Хотя названия громадных чисел у Архимеда уже были, обозначать их он еще не умел. Не хватало ему самой малости- нуля!

У индийцев тоже были названия для очень больших чисел. В своих учениях о происхождении и развитии мира они свободно оперировали такими числами, как

4 320 000 000 и еще большими, давая им особые названия. Миллион они называли «коти», то миллионов - «врнда», а в легендах о Будде рассказывалось, как он давал имена еще большим числам- вплоть до числа, записываемого единицей с пятьюдесятью нулями.

Но в Европе после падения античной науки не знали названий разрядов чисел, следующих за тысячей. Число 999 999 европейские математики еще могли прочесть, а дальше они считать не умели. В 1271- 1275 годах венецианский купец Марко Поло совершил неслыханное для той поры путешествие. Пройдя северным побережьем Черного моря, он пересек Волгу, бескрайние азиатские степи и Великим шелковым путем добрался до Китая.

Когда он снова оказался в Венеции, рассказам не было конца. И чаще всего в рассказах Марко Поло повторялось слово «миллионе»- большая тысяча. Так он назвал тысячу тысяч.

В 15 веке французский математик Никола Шюке по созвучию с миллионом ввел слово «биллион», которое обозначает миллион миллионов. Миллион биллионов назвали триллионом, а миллион триллионов получил название квадриллион.

В США, Англии, Германии, России принята иная система названий чисел.

В школе этих названий не изучают, да они и не слишком нужны. Только в науке нужны такие большие числа. В 16 граммах воздуха содержится примерно септиллион частичек вещества, которые ученые называют молекулами. Есть лишь одна область науки, где встречаются еще большие числа. Это наука о числе различных комбинаций- комбинаторика. Подсчитано, например, что число различных возможных шахматных партий выражается единицей с 120 нулями.

Для сокращения записи больших чисел давно используется сис­тема величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз боль­ше предыдущей:

1000 единиц - просто тысяча (1000 или 1 тыс.)

1000 тысяч - 1 миллион (1 млн.)

1000 миллионов - 1 биллион (или миллиард, 1 млрд.)

1000 биллионов - 1 триллион

1000 триллионов - 1 квадриллион

1000 квадриллионов - 1 квинтиллион

1000 квинтиллионов - 1 секстиллион

1000 секстиллионов- 1 септиллион

1000 септиллионов - 1 октиллион

1000 октиллионов - 1 нониллион

1000 нониллионов- 1 дециллион

и т. д. (4, стр. 127).

Таким образом, 1 дециллион запишется в десятичной системе единицей с 3 х 11=33 нулями:

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Как писал Самуил Яковлевич Маршак: «Напрасно думают, что ноль играет маленькую роль».

При записи больших чисел часто используют степень числа 10.

Заметьте, что число нулей степени 10 всегда равно ее показателю:

10¹= 10, 10²= 100, 10³= 1000 и т.д.

И еще одно: математики во всем мире давно приняли, что любое число в нулевой степени равно единице (а⁰= 1) (4, стр. 127).

Таким образом,

единица - 10° =1

тысяча -10³ =1 000

миллион -10⁶ =1 000 000

биллион - 10⁹ = 1 000 000 000

триллион - 10¹² = 1 000 000 000 000

квадриллион - 10¹⁵ = 1 000 000 000 000 000

квинтиллион - 10¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000

секстиллион - 10²¹ = 1 000 000 000 000 000 000 000

септиллион - 10²⁴ =1 000 000 000 000 000 000 000 000

октиллион - 10²⁷ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000

дециллион - 10³³ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Заключение

Если по аналогии с буквенным Алфавитом ввести понятие «Цифровой Алфавит», то его базовую основу составят десять исходных (одиночных) знаков-символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их можно называть «простыми» цифровыми изображениями чисел. В системе письма они обозначают всего 9 чисел - от 1 до 9. Цифровой символ «0» используется в системе письма для отображения отсутствия числа. Для обозначения всех остальных чисел, превышающих число 9, необходимо использовать сочетание исходных символов, которые по отношению к «простым» изображениям чисел, являются «составными».

Мной было проведено интервьюирование. Был задан вопрос «Какое самое большое число Вы знаете?». С этим вопросом я обратилась к одноклассникам, ученикам других классов, учителям и знакомым. Результаты интервью были обработаны и представлены в виде диаграммы. Из которой видно, что 40 % опрошенных знают самое большое число триллион, 25 %– миллиард, 20% - миллион, 10% знакомы с квадриллионом и 5% с секстиллионом. Эти данные представлены в виде диаграммы (см. приложение 1). А о таких числах как септиллион, октиллион и дециллион многие даже никогда и не слышали.

По окончанию работы можно сделать следующие выводы:

1. Считать люди научились в незапамятные времена.

2. Сначала для счета использовали пальцы рук и ног.

3. На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: камешки, зерна, веревку с бирками.

4. Необходимость обозначения чисел привело к образованию специальных знаков-цифр.

5. Запись больших чисел также осуществляется с помощью цифр.

6. Существуют различные теории о происхождении чисел.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005. – 639 с.: ил.

2. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил.

3. Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика/О. С. Шейнина, Г. М. Соловьева – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208с.

4. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.

5. Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004. –

Автор-составитель В. Балязин. – 848 с.