Проектно-исследовательская работа по теме "Математика в музыке"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Тамбовки»

Харабалинского района Астраханской области

Проектно-исследовательская работа

по теме «Математика в музыке»

Выполнили: ученицы 6А класса

Рязанова Мария

Васильева Екатерина

Руководитель: учитель математики

Исахаева Рамиля Адыргалиевна

с.Тамбовка

2019 г.

Введение

Всем известен тот факт, что любое музыкальное произведение записывается по нотам. Если попробовать определенным образом переложить ноты на числа, будет ли наблюдаться в этом числовом ряду какая-либо закономерность? Если такая связь есть, то можно предположить обратное: ряд чисел имеет свое музыкальное звучание.

Актуальность темы. На сегодняшний день музыка и математика созданы помогать друг другу, приучают к дисциплине, развивают эрудицию, творческие способности, внимание.

В своей работе мы выдвинули следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить как некую математическую модель. Предполагаем, что математическая модель музыки будет иметь определенные числовые закономерности.

Можно предположить и обратную гипотезу: числовой ряд можно переложить на музыку, и эта музыка будет отражать своим звучанием закономерность числового ряда.

Целью нашей работы является доказательство того, что математика и музыка тесно связаны, в них есть очень много общего.

Для достижения поставленной цели нам необходимо выполнить следующие задачи:

1. Выяснить, были ли в истории попытки связать математику с музыкой.

2. Провести свои исследования по установлению связи между музыкой и математикой, рассмотрев несколько музыкальных произведений, взятых из разных направлений

Объект исследования: математика

Предмет исследования: связь математики и музыки

В ходе работы использовали следующие методы исследования: поисковый, сравнение, анализ, обобщение.

Теоретическая часть

1.История исследования математики и музыки.

На основе литературных произведений нами было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку как один из объектов изучения математики. Одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из семи видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  - "Compendium Musicae" в переводе "Трактат о музыке") , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо иметь в виду, что в то время музыка понималась не как искусство, a как наука. Известно, что музыка входила в состав семи "свободных искусств", делившихся на "trivium" (грамматика, риторика, логика) и "quadrivium" (арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем к примеру одну из цитат из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году. "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков".

Одним из достижений Пифагора и его последователей математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно было перенастраивать.

2. Музыка и дроби

На уроках математики мы изучали обыкновенные дроби и действия над дробями. В музыкальной школе тоже изучают дроби, но применительно к музыке .

В музыке, как и в математике,

все надо считать: 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. Ноты все разные: одни короткие, другие длинные. Музыка звучит во времени. Высчитать длительность того или иного звука люди придумали с помощью счета:- целые ноты(1,2,3,4);- половинки(1,2);- четверти(1); восьмые (на один-два звука).

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.

Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.

В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются. Кроме того, с понятием последовательность в математике мы встречаемся очень часто. Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности. В музыке есть длительности. Они похожи на математические дроби:

= ♪ = =

3. Музыка и интервалы

В жизни расстояние измеряется в сантиметрах, километрах, метрах….. В музыке тоже есть понятие интервал, как расстояние от звука к звуку. Интервалы, образующиеся в пределах октавы, называются простыми. Всего - восемь простых интервалов. Их названия зависят от количества ступеней, которое они охватывают. Названия интервалов применяются на латинском языке в виде порядковых числительных. Эти числительные обозначают, какая по счету ступень - верхний звук интервала по отношению к нижнему звуку. Кроме того, для сокращения применяется цифровое обозначение интервалов[1]. Повтор 1 звука (числительное первый) называется прима; второй от первого называется секунда; от одного до третьего называется терцией; от первого до четвертого кварта; от первого до пятого квинта; от первого до шестого секста; от первого до седьмого септима; от первого до восьмого октава.

С одной стороны, интервал может быть представлен как абстрактная математическая величина, выраженная отношением двух чисел, с другой стороны, как определенное выражение нагрузки в музыке[4]. Так кварта(4)-твердый, решительный интервал и его использование в музыке создает интонацию приказа, торжественности (Можно это наблюдать в Гимне России и Священная война) Математическое значение интервала, как правило, не может быть напрямую выведено из музыкального, и наоборот. Поэтому интервал имеет ступеневую (музыкальную) и тоновую (математическую) характеристику. Ступеневая величина интервала - количество ступеней (разных нот), помещающихся между двумя звуками интервала, независимо от того как он фактически звучит) [4]. Например: ми-ля b - это уменьшенная кварта, хотя звучит она как большая терция (ми-соль #), но если посчитать количество ступеней (ми-фа-соль-ля b), то получится кварта.

Определение тоновой (математической) величины интервала необходимо потому, что ступеневая (музыкальная) величина определяет его лишь приблизительно. Уже однородные интервалы между основными ступенями звукоряда не все одинаковы по числу заключенных в них тонов. Например, секунды до—ре, ре—ми, фа—соль, соль—ля, ля—си заключают в себе 1 целый тон; секунды же ми—фа и си—до—полутон. Таким образом, ступеневая величина интервала не может определить его вполне точно.

1. Практическая часть

Исследование музыкальных произведений

Мы рассмотрели различные музыкальные произведения и исследовали их. Музыкальное произведение можно представить в виде математического примера. Возьмем детское произведение «Белочка»:

Это произведение можно разложить так:

Это только 1-ый такт. В нём 4 дроби, потому что размер произведения четыре четверти. Также раскладываются и остальные такты.

Рассмотрим следующее, более сложное произведение « Со вьюном хожу»:

Размер произведения четыре четверти. Возьмём первые три такта.

1 – первый такт

1 – второй такт

= 1 – третий такт

Также можно сделать математическую модель классического произведения Ф. Шопена (1810 – 1829) «Мазурка ля минор». 

Каждой ноте присвоить номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II, 3 –III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – I, 9 – II, 0 – III.

Переложить ноты на цифры, получив при этом такой ряд чисел.

5 | 5654 | 5234 | 3432 | 3712 | 1237 | 14576 | 5423 | 1 ||

Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то можно заметить следующую закономерность.

В первом такте сумма равна 10 (5+5), во II – 8(5+3), в III – 6(3+3), в IV – 4(3+1), в V – 4(1+3), в VI – 6(1+5), в VII – 8(5+3) .

Получится ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, наблюдается закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.

По тому же принципу можно создать математическую модель всех музыкальных произведений.

Заключение

В своей исследовательской работе мы выдвинули гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Рассмотренные нами музыкальные произведения это подтверждают.

По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что наша первая часть гипотезы верна. Можно перевести любое музыкальное произведение в числовой ряд. Что касается обратной гипотезы: что числовой ряд можно переложить на музыку. Предложенный способ также позволяет любой числовой ряд переложить на музыку.

Список литературных источников

1. Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005

2. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

3. В.П. Ковалев “Математика в музыке”. Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции математических основ жизнеустройства, 2007

4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

5. Шарапкина Е. П. Гармония математики и музыки/П.Е.Шарапкина.//Университетские чтения 2006г.

6. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М..6 Аванта +, 2006 – 688 с.: ил.

7. Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский, О.О. Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.

1. Онлайн энциклопедия «Кругосвет»: http://www.krugosvet.ru/

1. Свободная энциклопедия «Википедия» http://ru.wikipedia.org/