Проектно-исследовательская работа по теме: Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

МБОУ «СШ №1»

Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Выполнила учащиеся 8 класса :

Лисина Олеся

Проверила учитель математики:

Шаранцова Л.А.

Касимов,2019-2020 уч.год

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Теорема:

Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда,когда равны суммы квадратов его противолежащих сторон.

Доказательство:

Пусть точка Р — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Введем обозначения длин сторон(рис 1а)

1)Применяя теорему Пифагора в каждом из четырех прямоугольных треугольников (рис 1а),получим,что АР² + BP²=a²;СР²+ДР²=с²;ВР²+СР²=b²;АР²+ДР²=d².

Следовательно,a²+c²=b²+d².

2)Признак.Пусть диагонали четырехугольника

не перпендикулярны(см.рис.1б)

Проведем перпендикулярны BK и DM

к диагонали АС.Тогда a²-b²=

AK²-CK²=

(AK+СК)(АК-CК)=АС(AК-CК) и

d²-c²=АМ²-СМ² =(АМ+СМ)(АМ-СМ)=

АС(АМ-СМ).Так как a²+c²=b²+d ²

a²-b²=d²-c²,то AK-CK=AM-CM

AK+CM=AM+CK.

Это равенство выполняется только

в случае,если точки К и М совпадают,то

есть диагонали АС и ВД этого четырехугольника

также перпендикулярны.

Доказательство аналогично для невыпуклого

четырехугольника.

Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Вписанный в окружность четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями обладает рядом замечательных свойств.

Приведем несколько задач.

1. Суммы градусных мер дуг,стягиваваемых противоположными сторонами четырехугольника,равны и составляют 180⁰.

Доказательство.

По условию АС ВД,значит, треугольник РДС

прямоугольный(рис 2) и  РСД+ РДС=90º.

По свойству вписанных углов получим,что

дуги АmД + BnC =180º. Аналогично доказываем,

что дуги ApB+DkC=180º.

2)Сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной около четырехугольника окружность.

Доказательство.

Проведем диаметр описанной окружности через одну из вершин четырехугольника,например диаметр DM(рис 3), и соединим точку М с вершинами А и С.Поскольку дуги ͜ DmA+

͜ BnC=180º(см задачу 1) и ͜ DmA + ͜ AlM=180º,то дуги AlM=BnC,а отсюда АМ=ВС.

Из прямоугольного треугольника МАD(MAD =90º) имеем AD²+AM²=DM²,то есть AD²+BC²=4R².

1. Площадь четырехугольника равна полусумме произведений противоположных сторон.

   Доказательство(рис 3).

   S_АВСД =S_АМСД=S∆_АМД+S∆_ДМС=1/2(AD∙AM+DC∙MC)=1/2(AD∙BC+DC∙AB).

   К тому же выводу придем,применив теорему Птолемея:

   AC∙BD=AD∙BC+AB∙DC.

   Поскольку АС ┴ ВD,то S =1/2AC∙BD,а тогда S=1/2(AD∙BC+AB∙DC).

   Теорема Птолемея

Если четырехугольникABCD вписан в окружность, то произведение его

диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

AC∙ BD = AB ∙CD + AD ∙BC

Проведем из точки B отрезок BE до пересечения с диагональю AC таким образом, чтобы CBE = ABD. Углы BCЕ и BDA равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Тогда треугольники ABD и СBЕ подобны (по двум углам). Отсюда следует, что и, следовательно, далее имеем:

AD ^. BC = BD ^. CE.   (2)

Подобны также треугольники ABE и DBC, так как ABE = DBC и BAE = BDC.

Отсюда следует, что и затем имеем:

AB ^. CD = BD ^.AE.   (3)

Сложим соответственно левые и правые части равенств (2) и (3). Получим

AD ^. BC + AB ^. CD = BD ^. CE + BD ^. AE или

AD ^. BC + AB ^. CD = BD ^. (CE + AE) , то есть

AD ^. BC + AB ^. CD = BD ^. AC, что и требовалось.

Замечание. К этому же можно прийти, введя другие обозначения.

Если АВ = ВС = СD = DА = АС = ВD = , то выберем на диагонали АС точку Е так, чтобы угол СВЕ был равен .

Тогда треугольники СВЕ и DВА подобны.

Поэтому ЕС :

Из подобия треугольников АВЕ и DВС (углы АВЕ и DВС равны как равносоставленные) получаем АЕ :

Значит, ЕС = АЕ = АЕ + ЕС =АС,

отсюда

Теорема Птолемея доказана. ◄

(Справедлива и теорема, обратная теореме Птолемея).

4)Если вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали,пересекающиеся в точке М,то прямая,проходящая через точку М и перпендикулярная одной из его сторон,делит противовоположную ей сторону пополам.

Формула Брахмагупты

р=(a+b+c+d)/2

S= (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

Упражнения и задачи для самостоятельного решения

1 Докажите, что если четырехугольник АВСD с перпендикулярным диагоналям вписан в

окружность с центром О, то АОВ + СОD = 180.

2 Докажите, что во вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями

расстояние от центра описанной окружности до стороны равно половине противолежащей

стороны.

3)Диагонали четырехугольника АВСD,вписанного в окружность радиуса R,

перпендикулярны и пересекаются в точке Р. а) Докажите, что AP² + BP²+ CP² + DP² = 4R².

б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника АВСD.