Программа краткосрочного курса по выбору «Математическое моделирование экономических процессов».

Образовательная программа Инновационной образовательной практики (ИнОП) по направлению «Освоение интеллектуальной метадеятельности – исследование, конструирование, моделирование, учебное проектирование»

Краткосрочный курс по выбору «Математическое моделирование экономических процессов».

Автор: Покровская Светлана Владимировна, учитель математики МАОУ «Лицей № 4» г. Пермь.

Форма: Краткосрочный курс по выбору «Математическое моделирование экономических процессов».

Категория учащихся: учащиеся 8 класса физико – математического образовательного потока.

Объем часов: 8 часов. Из них аудиторная работа – 2 часа, самостоятельная работа учащихся – 4 часа, итоговое занятие – 2 часа.

Время проведения: 2013 – 2014 учебный год.

Место реализации: МАОУ «Лицей № 4» г. Пермь.

Ожидаемый результат:

Объекты оценивания и критерии их оценки:

Объект оценивания – математическая модель, составленная для решения задачи из повседневной жизни;

Критерии оценки:

1. актуальность;

2. соответствие модели реальности;

3. реалистичность практического применения;

4. наглядность представления, в том числе на основе использования ИКТ.

Описание замысла программы

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Вместе с этим моделирование в обучении является главным средством развития личности. Моделирование как учебное действие выполняет следующие функции:

1. Познавательная – как средство приобретения новых знаний и умений;

2. Эвристическая – как способ решения проблемных ситуаций;

3. Иллюстративная – как наглядное средство выделения и фиксации объектов, понятий, фактов, явлений;

4. Систематизирующая – как средство упорядочивания системы знаний и умений;

5. Развивающая – как средство формирования интеллекта и творческих способностей;

6. Эстетическая – как средство воспитания культуры личности.

Ценность математической модели как в обучении, так и в познании заключается в ее универсальности – одна и та же модель может описывать совершенно различные объекты и явления.

Содержание программы

Материалы для реализации программы

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств:

 Линейные или нелинейные модели;

 Сосредоточенные или распределённые системы;

 Детерминированные или стохастические;

 Статические или динамические;

 Дискретные или непрерывные.

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы:

1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения. Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.

2. Следующий этап - завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.

3. После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона, которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически.

4. Завершает формулировку модели ее "оснащение". Например, необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта или иные его характеристики, без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т. д.).

5. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов.

6. В результате исследования модели не только достигается поставленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность - соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.

Реестр возможных задач повседневной жизни и примеры их решения с помощью математического моделирования:

Транспортная задача:

задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления.

Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem) (коммивояжёр — бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз.

Задача о производстве красок:

Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних (1) и наружных (2) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта-А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок и максимально возможный запас приведены в таблице. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 1 никогда не превышает спроса на краску 2 более чем на 1 т. Кроме этого установлено, что спрос на краску 1 никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. долл. для краски 2 и 2 тыс. долл. для краски 1.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Задача о диете:

Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге. Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q. Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q - 25 руб. Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

Другие задачи:

1. Надо обжарить три ломтика хлеба, каждый с двух сторон, что требуется по 1 минуте на обжарку одной стороны. Сковородка вмещает два ломтика. Найдите минимальное время обжаривания всех трех кусочков.

2. Как полоску профильного проката длиной 5 м раскроить на детали двух сортов (по 6 и 7 см) так, чтобы максимально использовать полоску и получить при этом почти одинаковое количество деталей обоих видов?

3. Нужна спортплощадка площадью 6000 кв. м. прямоугольной формы, которую надо огородить с двух противоположных сторон деревянным забором, с двух других противоположных сторон - проволочным. Постройка одного метра деревянного забора стоит 5 руб., проволочного - 3 руб. При каких размерах спортплощадки затраты на забор будут минимальными?

4. Юноша, находится в точке А, девушка - в точке В на одном и том же берегу прямолинейного канала, усеянного цветами водной линии. Какой минимальный маршрут должен выбрать юноша, чтобы прийти на свидание с букетом? Точки А и В удалены от воды, скорость юноша постоянна.

Ресурсное обеспечение программы:

домашний ПК учащихся, компьютерный класс с высокоскоростным доступом в Интернет, компьютерные системы моделирования (для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели).

Литература

1. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика: Общий курс. - СПб.: Издательство "Лань", 2002. - 960 с.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. - М.: Издательство "Дело и Сервис", 2001. - 368 с.

3. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. - М.:Русская деловая литература, 1999. - 240 с.

4. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Т. Математические методы и модели в управлении: Учебное пособие. - М.: Дело, 2000. - 440 с.