Проект по информатике Моделирование фракталов в Логомирах

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

Направление: научно-техническое

Секция: математика и информатика

Моделирование фракталов в Логомирах

Введение
§1. Понятие фрактала
§2. Создание фракталов в среде ЛогоМиры 2.0
§3. Использование фракталов для создания кистей в программе Photoshop
Заключение
Список литературы

Содержание

Введение

Можно привести много примеров фрактальных объектов, существующих в природе или во Вселенной. Поверхность Луны, оказывается, вблизи выглядит так же, как и издалека, только размеры кратеров другие; очертание гор или контуры береговых линий также самоподобные объекты. Эта область человеческих интересов удивительным образом соединяет Природу, Математику, Компьютер и Искусство. Дело в том, что фрактальные объекты, полученные на экране компьютера в ходе исследования ученых, могут быть необычайно, завораживающе красивы и представлять собой настоящее произведение искусства.

На уроках информатики мы познакомились с программой ЛогоМиры и исполнителем этой программы – Черепашкой. Среди различных действий Черепашки нас заинтересовали ее графические возможности, и мы попытались построить фракталы в среде ЛогоМиры.

Объектом нашего исследования стали математические и графические взаимосвязи исполняемых Черепашкой команд, а предмет исследования – получаемые фракталы.

Мы поставили перед собой цель - создать собственные программы рисования фракталов различной сложности с помощью языка Лого.

Для реализации этой цели нам необходимо было решить ряд задач:

1) понять математическую суть действий Черепашки в процессе выполнения программы;

2) составить программы в соответствии с правилами языка Лого;

3) экспериментальным путем подобрать числовые значения параметров команд для соответствия результатов нашей цели;

5) проанализировать результаты и выбрать самые интересные рисунки.

Понятие фрактала

Основоположником фракталов является Бенуа Мандельброт. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж (там уже жил дядя Бенуа – Франсуа Мандельброт, член группы математиков, известной под псевдонимом «Никола Бурбаки»). После войны Мандельброт стал студентом Сорбонны. В университете, по настоянию дяди, юный Бенуа внимательно проштудировал полузабытые разделы комплексного анализа, развитые в начале века Пьером Фату (1878 -1929) и Гастоном Жюли (1893 - 1978): они исследовали именно преобразования комплексной плоскости, и эти штудии весьма пригодились через 30 лет при поисках множества Мандельброта. Его вело провидение. Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Но, получив докторскую степень, он ушел от академической науки. В 1958 году Мандельброт приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне. Работая в IBM, Бенуа Мандельброт занимался самыми разнообразными задачами. Трудился в области лингвистики, где переформулировал и уточнил эмпирический закон частотного распределения слов в тексте: теперь он называется закон Ципфа-Мандельброта. Работал над задачами теории игр, экономики, географии, астрономии, физики. Ему нравилось бросаться от одной темы к другой: он искал. Он всегда искал одно и то же, даже не осознавая точно, что именно ищет.

Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могу следовать скрытому математическому порядку. Он занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течении дня казались случайными, но Мандельброт различил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Уже тогда, почти за двадцать лет до открытия множества Мандельброта, которое стало его своеобразным «автографом», Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели только деньги и ткани.

Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук США. Он удостоен многочисленных почётных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.

Определение фрактала.

Формально определения фрактала не существует. Сам термин фрактал принадлежит Мандельброту. Я нашла несколько определений фрактала, данных Мандельбротом. Приведу их в порядке появления.

Первое определение Мандельброта: «Термин фрактал образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т. е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно – и как кстати! – будет предположить, что помимо значения «фрагментированный»(как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение «неправильный по форме»; примером сочетания обоих значений может служить слово фрагмент. Словосочетание «фрактальное множество» мы впоследствии определим строго, сочетание же «естественный (или природный фрактал)» я предлагаю применять более свободно для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде фрактального множества. Например, броуновские кривые являются фрактальными множествами, а броуновское движение мы назовём природным фракталом.»

Второе определение Б. Мандельброта: «Все фигуры, которые я исследовал и назвал фракталами, в моём представлении обладали свойством быть «нерегулярными», но самоподобными.»

Третье определение Б. Мандельброта: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.»

Приведу определения фракталов других учёных.

Дж. Глейк: «Фракталы – это геометрические фигуры, полученные в результате дробления на части, подобные целому, или при одном и том же преобразовании, повторяющемся при уменьшающихся масштабах.»

Джеф Проузис: «Фрактал – это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий вблизи рассмотреть не меньше деталей, чем издалека. Классический пример – Земля. Из космоса она выглядит как шар. Приближаясь к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Позднее взору предстанут более мелкие детали: кусочек земли на поверхности гор, столь же сложный и неровный, как сама гора. Потом покажутся крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.

Итак, фракталы – это геометрические фигуры с набором очень интересных особенностей, а именно: дробление на части, подобные целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе.

Важнейшие признаки фрактала: самоподобие и изломанность.

В геометрии самоподобной называют ту фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными являются, например, правильный треугольник и квадрат.

Изломанность фрактала понятна и визуальна.

В самом простом случае часть фрактала содержит информацию о всём фрактале.

Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Хельгой фон Кох (1870-1924) и называется звезда Кох.

Интересный пример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано.

  

  Рассмотрим еще один пример самоподобной фигуры, придуманный польским математиком В.Серпинским (1882-1969) и называемую ковром Серпинского.

   

Интересным примером автоподобной кривой является “кривая дракона”, придуманная Э.Хейуэем.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

МЕДИЦИНА

Биосенсорные взаимодействия

Биения сердца

Широкое применение в кардиологии.

БИОЛОГИЯ

Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и др.Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Одно из главных применений фракталов – современная компьютерная графика.

Создание фракталов в среде ЛогоМиры 2.0

Для создания фракталов в среде ЛогоМиры используется процедура с параметром. Во многих процедурах используется РЕКУРСИЯ - такая конструкция, при которой функция вызывает саму себя.

Ранее людьми были созданы фракталы, которые остаются известными и в наши дни. Один из примеров самоподобных кривых – снежинка Коха.

Снежинка_Коха 250 5

ЭТО ШАГ :Л :Р

ЕСЛИ :Л

ШАГ :Л / 3 :Р ЛВ 60

ШАГ :Л / 3 :Р ПР 120

ШАГ :Л / 3 :Р ЛВ 60

ШАГ :Л / 3 :Р

КОНЕЦ

ЭТО СНЕЖИНКА_КОХА :Л :Р

ПО ПОВТОРИ 3 [ШАГ :Л :Р ПР 120]

КОНЕЦ

Еще одну снежинку придумал Бенуа Мандельброт (снежинка Мандельброта), первым разработавший понятие фрактала.

Программу можно написать по аналогии с процедурой для снежинки Коха, только рекурсивных вызовов теперь будет восемь:

Снежинка_Мандельброта

ЭТО ШАГ1 :Л :Р

ПО

ЕСЛИ :Л

ШАГ1 :Л / 4 :Р ЛВ 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р ПР 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р ПР 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р

ШАГ1 :Л / 4 :Р ЛВ 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р ЛВ 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р ПР 90

ШАГ1 :Л / 4 :Р

КОНЕЦ

ЭТО СНЕЖИНКА_МАНДЕЛЬБРОТА :Л :Р

ПОВТОРИ 4[ШАГ1 :Л :Р ПР 90]

КОНЕЦ

ЭТО ДЕРЕВО :Л :Р

ПО

ЕСЛИ :Л

ПР 15 ВП :Л

ДЕРЕВО :Л / 1.5 :Р

НД :Л ЛВ 15

ЛВ 45 ВП :Л

ДЕРЕВО :Л / 1.5 :Р

НД :Л ПР 45

КОНЕЦ

Дерево 100 2

ЭТО ДЕРЕВО2:Л :Р

ПО ЕСЛИ :Л

ПР 15 ВП :Л

ДЕРЕВО2 :Л / 1.4 :Р

НД :Л ЛВ 15

ПР 45 ВП :Л

ДЕРЕВО2 :Л / 1.4 :Р

НД :Л ЛВ 45

ЛВ 15 ВП :Л

ДЕРЕВО2 :Л / 1.4 :Р Дерево 70 15

НД :Л ПР 15

Л

Дерево 70 15

В 45 ВП :Л

ДЕРЕВО2 :Л / 1.4 :Р

НД :Л ПР 45

КОНЕЦ

Посмотрим внимательно на эти разнообразные деревья. Все они обладают общим свойством – самоподобием. Каждая часть дерева, каждая ветвь устроена также, как дерево в целом.

Салфетка Серпинского

Салфетка_Сер 400

это салфетка_Сер :а

по повтори 3[если :а / 2 10 [салфетка_Сер :а / 2] вп :а пр 120]

конец

Построив фракталы по программам, разработанным другими людьми, я решила написать собственные программы, для создания фракталов, в среде программирования ЛогоМиры.

Снежинки – фракталы

Сначала мы составили программу рисования основного элемента снежинки – выходящих из одной точки отрезков:

по повтори :н [вп 100 нд 100 пр 360 / :н]

Этот фрагмент программы рисует н отрезков длиной 100 шагов, выходящих из одной точки, 360 / :н – величина угла между отрезками.

Например, н =10.

по повтори 10 [вп 100 нд 100 пр 360 / 10]

После команды вп 100 мы вставили такой же цикл с отрезком меньшей длины для рисования на внешнем конце отрезка такого же элемента и создали следующую процедуру:

это снежинка :н

по повтори :н [вп 100 повтори :н [вп 30 нд 30 пр 360 / :н] нд 100 пр 360 / :н]

конец

снежинка 10 снежинка 16

Программа для рисования снежинки с третьим уровнем лучей:

это снежинка :н

по повтори :н [вп 100 повтори :н [вп 30 повтори :н [вп 8 нд 8 пр 360 / :н] нд 30 пр 360 / :н] нд 100 пр 360 / :н] Конец

снежинка 8 снежинка 10

Используя рекурсивные процедуры были созданы также следующие фракталы:

это узор :а

по

если :а

вп :а пр 90

жди 4

узор :а - 5

если :а

конец

это узор :а

по

если :а

вп :а пр 120

жди 4

узор :а - 5

если :а

конец

это узор :а

по

если :а

вп :а пр 215

жди 4

узор :а - 5

если :а

конец

Узор 80

это узор :а

по повтори 30 [ лв 120 повтори 30 [вп :а лв 3]]

пп пр 170 вп 50 жди 5 по

узор :а - 0,2

конец

Узор 3

это узор :т

по повтори 20 [вп :т лв 140 повтори 5 [вп 30 пр 144]]

лв 100 вп :т / 3 жди 10

узор :т - 10

конец

Узор 100

это ель :длина :угол :кол

нц 66 нрп 2

по если :кол

вп :длина пр :угол ель :длина / 2 :угол :кол - 1

лв :угол ель :длина :угол :кол - 1

лв :угол ель :длина / 2 :угол :кол - 1

пр :угол пп нд :длина по

жди 2

конец

Ель 60 30 5

это спираль1 :шаг

если :шаг

повтори 20[вп :шаг пр 10]

спираль1 :шаг / 2

конец

это спираль2 :шаг

если :шаг

повтори 40[вп :шаг пр 10]

спираль2 :шаг / 2

конец

это спираль3 :шаг

если :шаг

повтори 40[вп :шаг пр 20]

спираль3 :шаг / 2

конец

это фрагм :с :к

по

если :к

фрагм :с / 3 :к - 1 пр 60

фрагм :с / 3 :к - 1 лв 120

фрагм :с / 3 :к - 1 пр 60

фрагм :с / 3 :к - 1

конец

это рис :с :к

нк 30

повтори 3 [фрагм :с :к пр 120]

рис 30 7

конец

это деревце :л :а

по повтори 3 [повтори 60 [вп :л

пр 1]

лв :а

если :л 1 [деревце :л - 1 :а]

пр :а

повтори 60 [лв 1 нд :л]

пр :а]

лв :а * 3

конец

деревце 3 20

это ракушка :н :м :д

повтори :д [повтори 720 [вп :н / 400 пр 0,25 ]

если :м 1 [ ракушка :н / 2 :м - 1 :д]

повтори 720 [лв 0,25 нд :н / 400] пр 360 / :д]

к

ракушка 100 5 2

онец

Использование фракталов для создания кистей в программе Photoshop

Для создания кистей-фракталов необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Копируем фрактал.

2. Вставляем рисунок в Photoshop.

3. Меню Редактирование / Определить кисть.

4. Даем название нашей будущей кисти.

5. Сохраняем ее.

6. Используем по назначению.

На данный момент фотография – то, чем интересуются многие подростки и взрослые в наши дни. Поэтому кисти-фракталы могут послужить отличным предметом для декорирования фотографий. Вот несколько примеров использования кистей, которыми я украсила свои фото.

Заключение

В процессе выполнения исследования мы познакомились с литературными источниками по интересующему нас вопросу. Затем создали ряд своих программ, исследовали их возможности при различных числовых данных. При этом в рамках проведенного исследования в полной мере возможности этих программ мы не показали, так как многие из программ дают поразительно разнообразные результаты при изменении входящих чисел.

Так же мы решили ряд технологических проблем, используя программы компьютера, сохранили и систематизировали результаты.

В процессе работы мы убедились, что Черепашка замечательный дизайнер, по составленным программам она мгновенно рисует очень сложные рисунки- фракталы. Вручную нарисовать подобное очень сложно. Полученные рисунки-фракталы можно использовать в дизайнерских целях для оформления помещений, для оформления печатной продукции, для нанесения узоров на кафель и на линолеум, а также для создания кистей в программе Photoshop.

В дальнейшем мы бы хотели продолжить это исследование, создать свои программы с использованием рекурсии, научиться рисовать фракталы.

Список литературы

1. Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. Соросовский образовательный журнал. № 1, 1998.

2. Жиков В.И. Фракталы. Соросовский образовательный журнал. № 12, 1996.

3. Математика в школе. – 2005. - №4

4. Смирнова И.М. Компьютер помогает геометрии. – М., 2003.

5. Табаршин Н. В. Практикум по языку программирования Лого. Газета «Информатика» № 38, 2004.

6. Тихоплав В. Ю., Тихоплав Т. С. Гармония Хаоса, или Фрактальная реальность. – СПб., 2003.

7. УМК «Живая геометрия» (на диске)

8. Фракталы // Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М., 1998

9. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1991.

10. Шабаршин А. А. Введение во фракталы // Интернет.

11. Школьная компьютера. – 2003. - №14

12. Юдина А. Г. Практикум по информатике в среде ЛогоМиры. Газета «Информатика» № 11, 2006.

13. www.fractals.narod.ru

14. www.dstu.edu.ru/informatics/fractals/

15. www.math.yale.edu/mandelbrot/home.htm

25