Проект по теме "Приёмы быстрого счёта".

Тема проекта: «Приёмы быстрого счёта»

Актуальность:

В настоящее время школьникам приходится тратить много времени на выполнение домашнего задания. Чтобы сэкономить своё время, необходимо знать некоторые приёмы математического счёта. Они могут пригодиться в разных жизненных ситуациях.

Цель проекта: Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для производства которых, достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Задачи:

• Изучить справочную литературу.

• Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.

• Провести исследования среди школьников 5 – 10 классов.

• Сделать выводы по результатам исследования.

План работы:

• Собрать необходимую информацию о приёмах быстрого счёта.

• Подготовить материал к презентации.

• Создать печатную брошюру с приёмами быстрого счёта.

• Оформить проектную папку.

• Защитить проект.

Гипотеза: Если раскрыть роль быстрого счета в математике, то это позволит повысить интерес школьников к предмету.

Ожидаемый результат: пополнить кругозор учащихся 5-6 классов новой и интересной информацией о приемах быстрого математического счета.

Конечный продукт: Печатная брошюра с приёмами быстрого счёта в математике

Содержание

1. Введение.

2. Теоретическая часть. Несколько легких математических трюков.

3. Практическая часть. Исследования среди школьников и учителей школы.

4. Правила для тренировки быстрого устного счета.

5. Заключение.

6. Список использованной литературы.

7. Приложения.

Введение

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног.

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

Я остановлюсь на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых, достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.

Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.

А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Я хочу рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица,

Потому что считаем в уме. (Автор Валентин Берестов)

Теоретическая часть.

Несколько лёгких математических трюков 
1. Умножение на 9.
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае это 7). Ответ: 27.

2. Умножение чисел от 10 до 20.

Можно очень просто умножать такие числа!

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288

3. Умножение на 11.
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры: 72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример. 94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034. Это срабатывает всегда.

4. Умножение на 22, 33,…,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 ∙ 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример . 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

4. Умножение на 25.

Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4.

Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).

Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная (3/4)сотня – 75)=3375.

5. Умножение на 5, на 50, на 25, на 125.

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5 = a ∙ 10:2 a ∙ 50 = a ∙ 100:2

a ∙ 25 = a ∙ 100:4 а ∙ 125 = а ∙ 1000:8

Пример: 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

6. Увеличение и уменьшение суммы в выражении.

Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b

Пример. (3+2)-(3-2)=2∙2=4

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть

(a+b)+(a-b)=2a

Пример. (3+2)+(3-2)=3 ∙ 2=6

7.Умножение на число, оканчивающееся на 5.

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило (срабатывает всегда).

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Пример. 28 ∙ 15 = (28 : 4) ∙ (15 ∙ 4) = 7 ∙ 60 = 420.

8.Вычитание из 1000.
(Представьте, что вы пришли в магазин с крупной купюрой)

Чтобы выполнить вычитание из 1000 и быстро рассчитать сдачу, можете пользоваться этим простым правилом:

Отнимите от 9 все цифры, кроме последней.

А последнюю цифру отнимите от 10!

Пример:1000-648 
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3 
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5 
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2 
Ответ: 352

8.Способы быстрого сложения натуральных чисел.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

9. Способы быстрого вычитания натуральных чисел.

Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример: 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

10. Быстрое возведение в квадрат.

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!

Пример: 25²= (2 ∙ (2+1)) добавляем 25 
2 ∙ 3 = 6.   В ответе получаем 625

11. Прием перекрестного умножения (способом Ферроля).
при действии с двузначными числами

Этот прием невероятно прост. Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком».

Пример: 24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Практическая часть

Я попыталась провести исследование, в ходе которого я просила разных участников выполнить некоторые примеры, предлагала по 3 одинаковых задания каждому.

В ходе моего исследования участие принимали:

5-ые классы: Старов Иван, Романчук София, Борисов Кирилл, Киселёва Екатерина;

6-ые классы: Мокин Дмитрий, Ильинский Сергей;

7-ые классы: Копанцев Дмитрий, Кирейчев Сергей;

8-ой класс: Зудов Артём, Филатова Анастасия;

10-ый класс: Сеген Илья;

Учителя: Голятина Ирина Валентиновна, Машкова Раиса Евгеньевна, Суслова Марина Юрьевна, Игнатьева Надежда Борисовна.

Результаты исследования я привела в таблице

Сравнив полученные результаты своего исследования, я пришла к таким выводам:

1. Знания математики нужны всем – и ученикам, и учителям.

2. Способ выполнения математических действий влияет на качество (наличие или отсутствие ошибок при вычислении).

3. Также способ выполнения влияет на время проведения расчетов: знание определенных трюков для быстрого вычисления, конечно же, сокращает время выполнения задания.

И в заключении, чтобы результаты подобных исследований были лучше, я хочу посоветовать вам, придерживаться следующих несложных правил:

Правила для тренировки быстрого устного счета

1. Возьмите себе за правило для начала 5-7 или даже менее вычислений в день, но старайтесь выполнять их с улыбкой и неукоснительно! Не увеличивайте нагрузку чаще раза в неделю. Попробуйте сделать эти вычисления фоном для других занятий. При спокойном и положительном эмоциональном фоне скорость и объем вычислений возрастут достаточно быстро сами собой.

2. Для лучшего и плавного привыкания к особенностям нагрузки при устном счете советуем сначала проделать это упражнение так: записываем на бумаге условия конкретного вычисления (скажем, 12×12), глядя на него, производим устный расчет, и записываем итог на бумагу (для возможности проверки). При таком подходе на начальном этапе легче набирать объем вычислений в расчете на день (неделю и т.п.).

3. Важный признак и критерий - завершайте ваши занятия, когда еще сохраняется "аппетит" на их продолжение. Это весьма способствует созданию здорового психологического настроя в работе. Если вы будете ему следовать, каждый миг занятий сможет стать для вас творчеством, познанием, увлекательной игрой, в которую хочется играть все больше и больше...

Эти приемы весьма активно использовал и пропагандировал в своей писательской деятельности Э. Хемингуэй.

Заключение

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень … Я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные мной методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Только изучив историю возникновения счета можно понять всю суть математики. Благодаря математике в мире зародились новые науки и профессии. А математические знания и приемы быстрого счета помогают человеку в разных сферах его деятельности.

Список использованной литературы:

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Москва. 1959

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика и ее история. – Москва. Просвещение, 1971.

3. Волина В.В. Мир математики. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.

4. Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. – Москва. Учпедгиз, 1956. – 136 с.

5. Катлер Э.Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу

6. Перельман Я. И. Быстрый счёт. 30 приёмов устного счета

7. http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

8. http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2 города Макарьева

Макарьевского муниципального района Костромской области

Проект по математике на тему

«Приемы быстрого счета».

Выполнила: ученица 5 класса «Б»

Гладышева Елизавета

Руководитель: учитель математики

Громова Татьяна Владимировна

Город Макарьев

2016

«Устный счет - гимнастика для ума»

Приемы быстрого счета

Выполнила: ученица 5 класса «Б»

Гладышева Елизавета.

Руководитель: учитель математики

Громова Татьяна Владимировна

Актуальность темы

• Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.
• Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
• Я остановлюсь на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
• Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
• Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, дают выигрыш в вычислительной работе.

Актуальность темы

• Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.
• А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Я хочу рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Содержание

• Актуальность.
• Счёт на пальцах.
• Умножение чисел от 10 до 20.
• Умножение на 11.
• Умножение на 22, 33, …, 99.
• Умножение на 25.
• Умножение на 5, 50, 25, 125.
• Уменьшение и увеличение суммы в выражении.
• Умножение на число, оканчивающееся на 5.
• Вычитание из 1000.
• Способы быстрого сложения натуральных чисел.
• Способы быстрого вычитания натуральных чисел.
• Быстрое возведение в квадрат.
• Приём перекрёстного умножения (способом Ферроля) при действии с двузначными числами.
• Умножение однозначного или двузначного числа на 37.
• Легко запомнить!

Цель проекта

Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

1.

• Изучить литературу по данной теме.
• Изучить литературу по данной теме.

2.

• Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.
• Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.

3.

• Провести исследования среди школьников 5 – 10 классов.
• Провести исследования среди школьников 5 – 10 классов.

4.

• Сделать выводы по результатам исследования.
• Сделать выводы по результатам исследования.

Задачи проекта

Счёт на пальцах

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.   Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Умножение чисел от 10 до 20

Можно очень просто умножать такие числа!

• К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
• Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или
• Пример 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Умножение на 11

• Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

• Примеры:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

• Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
• Пример .

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 22, 33, ..., 99

• Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 ∙ 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
• Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
• Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Умножение на 25

• Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4.
• Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).
• Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная (3/4)сотня – 75)=3375.

Умножение на 5, на 50, на 25, на 125

• При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Пример: 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Пример: 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Увеличение и уменьшение суммы в выражении

• Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b
• Пример. (3+2)-(3-2)=2∙2=4
• Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть

(a+b)+(a-b)=2a

• Пример. (3+2)+(3-2)=3 ∙ 2=6

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило (срабатывает всегда).

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Пример:

28 ∙ 15 = (28 : 4) ∙ (15 ∙ 4) = 7 ∙ 60 = 420.

Вычитание из 1000 (вы пришли в магазин с крупной купюрой)

Чтобы выполнить вычитание из 1000 и быстро рассчитать сдачу, можете пользоваться этим простым правилом:

Отнимите от 9 все цифры, кроме последней.

А последнюю цифру отнимите от 10!!!

Пример: 1000-648  Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3  Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5  Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2  Ответ: 352

Способы быстрого сложения натуральных чисел

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример.

762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

Способы быстрого вычитания натуральных чисел

• Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример:

529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Быстрое возведение в квадрат

• Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все! 

Пример:

25 2 = (2 ∙ (2+1)) добавляем 25  2 ∙ 3 = 6  625

Прием перекрестного умножения (способом Ферроля) при действии с двузначными числами

• Этот прием невероятно прост.
• Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»

• Пример: 24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37

37 ∙ 3=111

37 ∙ 6=222

37 ∙ 9=333

37 ∙ 12=444

37 ∙ 15=555 и т.д

Легко запомнить!!!

7 ∙ 11 ∙ 13=1001

77 ∙ 13=1001

77 ∙ 26=2002

77 ∙ 39=3003 и т.д

Легко запомнить!!!

  11 ∙ 11 =121

111 ∙ 111 = 12321

1111 ∙ 1111 = 1234321

11111 ∙ 11111 =123454321

..........................

111111111 ∙ 111111111 = 12345678987654321

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица,

Потому что считаем в уме.

Валентин Берестов (1928-1998)

Результаты исследования

Фамилия, имя

Время выполнения расчётов

Старов Иван

Романчук София

Качество выполнения

82 секунды

97 секунд

Борисов Кирилл

Способ выполнения

Без ошибок, правильно всё.

Обычные расчеты

Допущена 1 ошибка

Киселёва Екатерина

Обычные расчеты

Мокин Дмитрий

71 секунда

Ильинский Сергей

Допустил 1 ошибку

Копанцев Дмитрий

74 секунды

Расчеты столбиком

72 секунды

Без ошибок

Кирейчев Сергей

Зудов Артём

85 секунд

Допустил 2 ошибки

Частично использовал быстрый счет

Расчеты столбиком и в уме

Филатова Анастасия

Допустил 2 ошибки

62 секунды

79 секунд

Сеген Илья

Допустил 1 ошибку

Расчеты столбиком

Расчеты столбиком

Без ошибок

57 секунд

Голятина Ирина Валентиновна

Частично использовала быстрый счет

Допустил 1 ошибку

50 секунд

Машкова Раиса Евгеньевна

Расчеты столбиком

Без ошибок, правильно всё.

Суслова Марина Юрьевна

С помощью быстрого вычисления

Игнатьева Надежда Борисовна

Выводы:

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень … Я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные мной методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Использованные ресурсы:

• Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999.
• Балк М.Б., Балк, Г.Д. Математика и ее история. – Москва. Просвещение, 1971.
• Волина В.В. Мир математики. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.
• Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
• Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. – Москва. Учпедгиз, 1956. – 136 с.
• Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу.
• Перельман Я.И. Быстрый счёт. 30 простых приёмов устного счёта.
• Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68
• http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта
• http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!