Проектная работа Исследование корней трёхчлена"

Тема : Квадратный трёхчлен

Исследование корней квадратного трёхчлена

Автор проекта:

Бикитеев Дмитрий

Ученик 10 класса “A”

МОУ СОШ № 3

г. Соль-Илецка

2008г.

П Л А Н

• 1. Введение.
• 2. Особенности расположения корней квадратного трёхчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.
• 3. Примеры на расположение корней квадратного трёхчлена.
• 4. Заключение.

Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Квадратным трёхчленом называется выражение:

Приведённым квадратным трёхчленом называют выражение

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трёхчлена является теорема Виета.

Теорема Виета.

Между корнями х 1 и х 2 квадратного трёхчлена

и коэффициентами этого трёхчлена существует

соотношение:

Обратная теорема Виета .

Если числа х 1 и х 2 таковы, что х 1 + х 2 = -р; х 1 . х 2 = q ,

то х 1 и х 2 - корни приведённого квадратного трёхчлена

х 2 + рх + q

Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведённого квадратного

уравнения.

Следствие из теоремы Виета.

Пусть х 1 и х 2 – корни квадратного трёхчлена х 2 + рх + q ,

Тогда

Т еорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трёхчлена.

Теорема 1 . Для того чтобы корни квадратного

трёхчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений:

при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

и оба корня отрицательны, если

Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношения

Решение задач, для которых характерны

следующие формулировки: при каких значениях параметра корни(только один корень) больше(меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q ; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т.п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

0 а . . . . . . А . х 2 х 1 х х 2 х 1 . х 2 х 1 А х А Данные системы можно свести к одной " width="640"

Оба корня меньше числа А , то есть

Условия для

корней

х 1

х 2

а 0

а

.

.

.

.

.

.

А

.

х 2

х 1

х

х 2

х 1

.

х 2

х 1

А

х

А

Данные системы можно свести к одной

0 х 1 f (A) а f (A) 0 . . . х 2 х 1 . . х А х 1 А х 2 х А х 2 х 1 Данное условие можно записать одним неравенством а f (A) " width="640"

Корни лежат по разные стороны от числа А ,

а 0

х 1

f (A)

а

f (A) 0

.

.

.

х 2

х 1

.

.

х

А

х 1

А

х 2

х

А

х 2

х 1

Данное условие можно записать одним неравенством

а f (A)

A и х 2 A а 0 х 1 А х 2 А а . . . . . . . А х 2 х 1 х 2 х 1 А х 1 х 2 х х А Вывод: " width="640"

Оба корня больше числа А , то есть х 1 A и х 2 A

а 0

х 1 А

х 2 А

а

.

.

.

.

.

.

.

А

х 2

х 1

х 2

х 1

А

х 1

х 2

х

х

А

Вывод:

0 A 1 A 2 a0 . . А В . . . . х 1 х 2 . . х х 2 х 1 х 2 х 1 А В х Как и в предыдущих случаях, можно вместо двух систем записать одну: А а f (A) 0 , а f (B) 0 . " width="640"

Оба корня лежат между точками А и В , т. е. А х 1 B и A х 2

a0

A 1

A 2

a0

.

.

А

В

.

.

.

.

х 1

х 2

.

.

х

х 2

х 1

х 2

х 1

А

В

х

Как и в предыдущих случаях, можно вместо двух систем записать одну:

А

а f (A) 0 ,

а f (B) 0 .

При каких а корни уравнения х 2 -2ах + а 2 - а - 6=0 имеют разные

знаки

Решение.

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Ответ:

При каких а уравнение х 2 - 2ах + а 2 - а - 6 = 0

имеет два разных корня одного знака?

Решение :

откуда

или

Ответ:

Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Факультативный курс по математике.

(И.Ф.Шарытин)

Дополнительный материал по

математике.

WWW.mail.ru

WWW . rambler.ru

Руководитель по проекту :

Семёновых И.Н.