Проектная работа по математике "Золотое сечение"

Цель проекта:

• Познание математических закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «Золотом Сечении» как гармонии окружающего мира.
• Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности.
• Формирование навыков решения ключевой проблемы в процессе сотрудничества и создания продукта, полезного обществу.
• Обучение работе с информацией и медиасредствами для расширения кругозора и развития творческих способностей.

Задачи:

• Подобрать литературу по теме.
• Провести исследования по следующим направлениям:
• Ознакомиться с историей золотого сечения
• Дать формулировку понятия золотого сечения, рассмотреть алгебраический и геометрический смысл
• Сформулировать понятие гармонии и математической гармонии
• Выводы по исследуемой теме

Понятие «Золотое сечение»

Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

a : b = b : c или с : b = b : а

История «Золотого сечения» Теория гармонии Древних

• В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении.
• В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания.
• В толковании древних греков понятие золотого сечения, и понятие гармонии идентичны.
• Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она связана с концепцией числа.
• Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения.

Основатели учения о золотом сечении

Леонардо да Винчи

ввел термин «золотое сечение»

Пифагор

ввел понятие о золотом делении

Золотое сечение ( золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении)

Это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей .

Точка Е производит золотое сечение отрезка АВ.

Евклид

описал способ построения золотого сечения с помощью циркуля и линейки .

Монах Лука Пачоли

описал свойства золотого сечения и золотых фигур

Золотые фигуры

Золотой треугольник

Золотой прямоугольник

«Золотая Пропорция» - главный эстетический принцип эпохи Средневековья

• Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли.
• Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи(1452-1519) был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение».
• Доказано, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения, в частности, в своей всемирно известной фреске «Тайная вечеря» и непревзойденной «Джоконде.

«Витрувийский человек» Леонардо да Винчи

• Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних».
• Он выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг.
• При исследовании рисунка можно заметить, что комбинация рук и ног в действительности составляет четыре различных позы.
• Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями.

Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения

Гениальный астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания.

Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи:

1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции

Ряд Фибоначчи

• С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи.
• Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.
• Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.
• Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно приходили к ряду Фибоначчи как арифметическому выражению закона золотого деления.

Математическое понимание гармонии

• «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия» -Большая Советская Энциклопедия
• Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым.
• Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии.

Предметы , отношения сторон которых выбраны в золотом соотношении , вызывают ощущение гармонии и покоя

Золотая спираль-это «кривая жизни»

Филлотаксисом называется своеобразное решетчатое расположение листьев, семян, чешуек многих видов растений.

Ряды ближайших соседей в таких решетках разворачиваются по спиралям или закручиваются винтовыми линиями вокруг цилиндра.

Семечки в подсолнухе расположены по логарифмическим спиралям. При этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи . Можно встретить подсолнухи с отношением количества спиралей 34 /55 и 55/89.

Пропорции золотого сечения в природе

• Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими.

Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Золотое сечение в анатомии

Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.

Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение.

Идеальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской.

Интересно, что статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения (об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга (1855 г.), который провел измерения почти 2000 человек.

Золотое сечение в искусстве Архитектура

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства: пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении.

На фотографии показаны здания, при делении основных масс конструкций которых использовалось золотое сечение.

Обычно считается, что такое членение используется в зданиях, построенных в классическом стиле. Однако, посмотрите на Смольный собор, построенный в стиле барокко, и вы без труда обнаружите золотое сечение.

Пропорции в поэзии

САПОЖНИК  Картину раз высматривал сапожник  И в обуви ошибку указал;  Взяв тотчас кисть, исправился художник.  Вот, подбочась, сапожник продолжал:  «Мне кажется, лицо немного криво…  А эта грудь не слишком ли нага?»…  Тут Апеллес прервал нетерпеливо:  «Суди, дружок, не свыше сапога!»  Есть у меня приятель на примете:  Не ведаю, в каком бы он предмете  Был знатоком, хоть строг он на словах,  Но черт его несет судить о свете:  Попробуй он судить о сапогах!

Резюме

Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.

Вывод:

Золотое сечение – это один из основополагающих принципов природы

Человеческое представление о красивом сформировалось под влиянием знаний о золотой пропорции

Проведя исследование по данной теме мы смогли дать ответы на все вопросы которые были поставлены в начале проекта