Производная функции. Применение производной к исследованию функций. Нахождение производных 1-го и высшего порядка. Исследование функций на монотонность и экстремум

ОГБПОУ «НОВГОРОДСКИЙ АГРОТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Инструкционная карта на выполнение

Практического занятия № 4 по дисциплине

«Математика»

Тема: Производная функции. Применение производной к исследованию функций.

Наименование работы:. Нахождение производных 1-го и высшего порядка. Исследование функций на монотонность и экстремум

Норма времени: 4 часа;

Условия выполнения: учебный кабинет;

Оснащение рабочего места: инструкционная карта, калькулятор

Правила по технике безопасности: С правилами техники безопасности на рабочем месте ознакомлены;

Литература: Хрипунова М.Б. Высшая математика. Учебник и практикум для спо М.:Юрайт.2018г.-474с

Уровни усвоения: 1 – 4 задания – 2 уровень

Домашнее, самостоятельное задание – 3 уровень

Теоретическая часть.

1. Производная функции.

Определение: Производной функции у=f(x) в данной точке х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что , т.е.

Операцию отыскания производной называют дифференцированием функции.

Правила дифференцирования:

Формулы дифференцирования:

Примеры. Найти производные функций:

а)

б)

в)

г)

1. Производные высших порядков.

Определение: Производной второго порядка называют производную от производной первого порядка и обозначают: ,

Производной третьего порядка называют производную от производной второго порядка и обозначают: ,

Производной n-го порядка называют производную от производной n-1-го порядка и обозначают: ,

Пример. Найти производную второго и третьего порядков от функции:

1. Производная сложной функции

Теорема. Если функция f(u) дифференцируема по u, а функция u(x) дифференцируема по х, то производная сложной функции y=f(u(x)) по независимой переменной х определяется равенством:

Примеры. Найти производные сложных функций:

4. Исследование функции на монотонность и экстремум.

Теорема. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Теорема. Если производная при переходе х через точку а меняет знак, то точка а является точкой экстремума функции f(x).

Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

Решение:

1. Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю. Находим производную функции:

Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

1. Отметим точку на числовой прямой и определим знаки производной на каждом интервале.

Итак, мы видим что на промежутке функция убывает, на промежутке функция возрастает.

1. Найдем точки экстремума функции.

Так как производная меняет знак при х=2 с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Итак, точка (2;-3) – точка минимума функции.

Практическая часть.

1. Найти производные функций:

а) б)

в) г)

д) е) ж)

з) и) к)

1. Найти производные второго и третьего порядков:

а) б) в)

1. Найти производные сложных функций:

а) б) в) г)

д) е)

ж) з)

1. Исследовать функции на монотонность и экстремум:

а) б)

в) г) д)

домашнее задание:

1. Найти первую и вторую производные функций

а) б) в)

1. Найти производную сложных функций:

а)

б)

1. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

а) б)

Самостоятельная работа:

1 вариант.

1. Найти производную сложной функции:

1. Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

2 вариант.

1. Найти производную сложной функции:

1. Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

Критерии оценки:

«5» - Правильно решены 2 задания.

«4» - Правильно решено 1-е задание, второе выполнено не до конца (например, не найдена точка экстремума); либо допущена одна вычислительная ошибка.

«3» - Правильно решено 1 задание,

«2» - Одно задание выполнено, но с ошибками; либо не выполнено ничего