Производная и ее применение

Отгадайте ключевое слово урока

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй,… ;

4) Обозначается штрихом.

• Производная и ее применение

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность

изображать математически не только

состояния, но и процессы: движение».

Ф.Энгельс

Цель урока

• Образовательная цель: обобщение и систематизация знаний и навыков по теме «Производная и ее применение».
• Развивающая цель: развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
• Воспитательная цель: воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

План урока.

• Обсуждение темы занятия.
• Мотивация (историческая справка)
• Актуализация опорных знаний
• Самостоятельная работа в группах
• Психологическая пауза. (Физкультминутка)
• Защита выполненных работ.
• Итог урока.
• Рефлексия.

Исторические сведения

Производная – одно из фундаментальных понятий

математики. Оно возникло в XVII веке. Независимо друг

от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные

элементы дифференциального исчисления.

«Метод флюкций». Так Ньютон назвал свою работу,

посвященную основным понятиям математического

анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой,

а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона

для производных - х* (с точкой) и у* - сохранились

в физике до сих пор.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

Вопросы для повторения

• Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

• Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

3) Алгоритм отыскания экстремумов функции.

4) Схема исследования функции (с помощью

производной).

Вопросы для повторения

5) Применение производной к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

6) Применении производной в физике и технике.

7) Применении производной в геометрии(касательная к графику функции).

y

y

4

2

0

-1

1

-1

0

1

x

x

Возрастает : (-9;-3) и (3;6)

Убывает : (-3;3)

Максимум : - 3; 6

Минимум ; 3

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

y

y = f (x)

5

4

3

2

1

x

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-2

-3

-4

Ответ: 8

Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7).

На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.

y

y = 6

.

y = f(x)

x

-7

-6

В этой точке производная НЕ существует!

Ответ: 3

На рисунке изображен график функции f(x) , определенной на интервале (-3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

3

2

-1

0

1

6

7

8

9

-1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35

Ответ: 35

На рисунке изображен график y=f'(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-8:5) . В какой точке отрезка [-3;2] принимает наибольшее значение?

у

х

Ответ:-3

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-8;6) . Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 3

• групповая работа приложение2

Задание первой группе

Задача №1.

Тело массой m кг движется по закону х(t) ( х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t 0 , если m=3, t 0 = 2, х(t)=0.25 t 4 +1\3 t 3 - 7 t + 2.

Задача №2.

Материальная точка движется по закону х(t)=- t 3 +6 t 2 +5 t ( х – в метрах, t – в секундах).

Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.

Задание второй группе

Составить уравнение общих касательных к кривым

f(x)=х 2 +4х +8 и g(x) = х 2 + 8х + 4.

• Творческое задание (для всех)

Отыщите функцию в таблице, исходя из ее “автобиографии”.

Я – функция сложная, это известно, Еще расскажу, если вам интересно, Что точку разрыва и корень имею, И есть интервал, где расти не посмею. Во всем остальном положительна, право, И это, конечно, не ради забавы. Для чисел больших я стремлюсь к единице. Найдите меня среди прочих в таблице.

приложение3

13

Решение типовой задачи ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке для первой группы:

Найти наименьшее значение функции на отрезке [ 1; е ]

Решение типовой задачи ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке по алгоритму для второй группы:

Найти наибольшее значение функции на отрезке [ 1/ е ; 1 ]

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ:

• Производная в химии;
• Производная в биологии;
• Производная в географии;
• Производная в физике.

• Задача по химии:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль)

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

• Задача по биологии:

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост

в момент времени t.

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

Рост численности населения

Задача :

• Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Заряд

Задача. Вычислить силу тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью q=q m cos ω 0 t (Кл) через поперечное сечение проводника.

Теплота

Задача. Вычислить количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 градусов до t градусов (по Цельсию).

Домашнее задание

2 группа

1 группа

1.Исследовать и построить график функции

1. Исследовать и построить график функции

а) у = (х+1) 3 (х-2)

б) у = (х+2) 2 (х-2)

2. Нестандартное задание :

составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы прямая с выколотой точкой.

а)

б)

2. Нестандартное задание :

составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы одна точка.

• Итоги урока

Продолжите фразу:

• «Сегодня на уроке я узнал…»
• «Сегодня на уроке я научился…»
• «Сегодня на уроке я познакомился…»
• «Сегодня на уроке я повторил…»
• «Сегодня на уроке я закрепил…»

Успешной сдачи ЕГЭ!