Пропорции и их свойства.

Пропорции

Мы достаточно часто в жизни сталкиваемся с понятием «пропорция». Это и пропорция предмета, и пропорция в каком-нибудь кулинарном рецепте, и пропорции в искусстве. Только далеко не все понимают, что это такое. Разберёмся.

Пропорцией называется равенство двух отношений.

То есть, при делении а на b получается такое же число, как и при делении c на d.

Пример 1. Отношение числа 28 к числу 7 равно 4; отношение числа 64 к числу 16 тоже равно 4, значит, является верной пропорцией.

Два числа, которые мы пишем первым и последним, называются крайними членами пропорции; а два числа, которые мы пишем в середине, называются средними членами пропорции.

В нашей формуле a и d – крайние члены, а b и c - средние члены.

У пропорции есть замечательное свойство.

Основное свойство пропорции:

Пропорция верна тогда и только тогда, когда произведение её крайних членов равно произведению её средних членов.

Пример 2. Проверить, является ли пропорция верной.

Произведение крайних членов равно:

Произведение средних членов равно:

Эти два произведения равны, значит, данная пропорция верна.

Есть ещё одно свойство пропорции:

Если в верной пропорции поменять местами крайние (или средние) члены, то получившаяся пропорция тоже будет верна.

Пример 3. Пропорция верна. Значит, будут верны и такие пропорции:

Используя основное свойство пропорции, можно задать алгоритм нахождения неизвестного члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно перемножить средние члены и разделить на известный крайний член.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно перемножить крайние члены и разделить на известный средний член.

Пример 4. Найти неизвестный член пропорции:

Ответ: 35

1. Из чисел 16; 6; 8; 12 составить верную пропорцию.

2. Из чисел 2,4; 4,2; 7,2; 12,6 составить верную пропорцию.

3. Из чисел 1,5; 4,9; 2,1; 3,5 составить верную пропорцию.

4. Из чисел 2,3; 9,3; 3,1; 6,9 составить верную пропорцию.

5. Верна ли пропорция ?

6. Верна ли пропорция ?

7. Верна ли пропорция ?

8. Верна ли пропорция ?

9. Решить уравнение:

1. Масса 15 одинаковых деталей составила 37,5 кг. Какова масса 12 таких деталей?

2. До обеда скосили 2,8 га, что составляет 24% площади луга. После обеда скосили ещё 2,1 га. Сколько процентов луга скосили за день?

3. Когда цех выпустил 360 приборов, то он выполнил 120% месячной нормы. Какова месячная норма?

4. Самолёт пролетел расстояние между двумя аэродромами за 6 ч со скоростью 850 км/ч. За сколько времени пролетит это расстояние другой самолёт, скорость которого на 150 км/ч больше скорости первого?

5. На 20 км пути автомобиль расходует л горючего. Сколько горючего израсходует этот же автомобиль на 50 км пути?

6. Для отопления здания заготовлено угля на 180 дней при норме расхода 0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т?

7. Краеобмёточная машина 0,6 м ткани обработает за 2,16 мин. Сколько потребуется времени, чтобы обметать 1,25 м такой ткани? Сколько метров можно обметать за 1,44 мин?

8. Распилили 3,2 м³ дров, что составляет 22,4% привезённых дров. Сколько ещё надо распилить дров, чтобы они составляли 33,6% привезённых дров?

9. Когда изготовили 756 деталей, то выполнили план на 72%. Сколько деталей должны изготовить по плану?

10. Теплоход на подводных крыльях прошёл расстояние между двумя пристанями со средней скоростью 60 км/ч за 2,5 ч. За сколько времени пройдёт это расстояние теплоход, если будет идти со скоростью 50 км/ч?

11. На изготовление 8 деталей требуется г серебра. Сколько серебра потребуется на изготовление 12 таких деталей?

12. 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники. За сколько дней выполнят ту же работу 36 человек, если будут работать с той же производительностью?

13. 0,7 кг печенья автомат расфасовывает за 2,03 мин. За сколько минут этот автомат расфасует 1,5 кг печенья? Сколько печенья он может расфасовать за 1,16 минут?

14. Расфасовали 0,9 т крупы, что составляет 46,8% всей крупы, привезённой в магазин. Сколько крупы надо ещё расфасовать, чтобы она составляла 65% привезённой крупы?

15. Когда израсходовали 78,4 кг картофеля, то оказалось, что израсходовано 24,5% всего запаса. Сколько кг картофеля было запасено?

16. Теплоход «Ракета» прошёл расстояние между пристанями со скоростью 50 км/ч за 4,8 ч. С какой скоростью должен идти теплоход, чтобы пройти это расстояние за 3,2 ч?

17. На изготовление 14 деталей расходуется 16,8 кг металла. Сколько потребуется металла на изготовление 27 таких деталей?

18. На участке дороги бетонные плиты длиной 6 м заменили новыми длиной 8 м. Сколько нужно новых плит для замены 240 старых?

19. За 0,7 кг заплатили 280 рублей. Сколько надо заплатить за 1,9 кг такого мяса? Сколько мяса можно купить на 420 рублей?

20. Рассортировали 13,6 т зерна, что составило 54% имевшегося зерна. Сколько тонн зерна надо ещё рассортировать, чтобы осталось лишь 19% имевшего зерна?

21. Когда сдали на элеватор 2,1 тыс. т пшеницы, то оказалось, что план сдачи зерна выполнен на 105%. Сколько тонн зерна надо было сдать по плану?

22. Всадник, двигаясь со скоростью 18 км/ч, преодолел некоторое расстояние за 1,5 ч. За какое время проедет это расстояние экипаж, скорость которого на 3 км/ч меньше скорости всадника?

23. Для изготовления 10 деталей требуется кг металла. Сколько металла пойдёт на изготовление 12 таких деталей?

24. Для перевозки груза автомобилю, грузоподъёмностью 6 т надо сделать 10 рейсов. Сколько придётся сделать рейсов автомобилю, грузоподъёмность которого на 2 т меньше, чтобы перевезти этот груз?

2