Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов

«Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов»

Решение задач

Урок геометрии в 11 классе

Повторение:

• Найти координаты вектора АВ,

если А (3; -1; 2) и

В (2; -1; 4).

Вопрос:

• Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

Ответ:

A ( x ; y ; z )

B ( x ; y ; z )

AB { x - x ; y - y ; z - z }

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

Ответ:

• (-1; 0; 2)

Повторение :

• М – середина отрезка АВ. Найти координаты М, если А (0; 3; 4) и

В (-2; 2; 0)

Вопрос:

• Как найти координаты середины отрезка?

Ответ:

A ( x ; y ; z )

B ( x ; y ; z )

C ( ½ (x + x ); ½ (y + y );

½ ( z + z ) )

1

1

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

Ответ:

• { -1; 2,5; 2}

Повторение:

• Найти длину вектора а , если он имеет координаты:

{ -5; -1; 7 } .

Вопрос:

• Как вычислить длину вектора по его координатам?

Ответ:

Координаты вектора

a { x ; y ; z }

Длина вектора

/ a / = ( x + y + z )

2

2

2

1/2

Ответ:

• 5 корней

квадратных из 3

Повторение:

• Найти расстояние между точками А и В, если А (9; 3; -5)

и В (2; 10; -5).

Вопрос:

• Как вычислить расстояние между точками?

Ответ:

A ( x ; y ; z )

B ( x ; y ; z )

Вектор AB = [( x - x ) +

+ ( y - y ) + ( z - z ) ]

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1/2

2

2

2

1

1

2

Ответ:

• 7 корней

квадратных из 2

Повторение:

• Найти скалярное произведение векторов:

а {1 ; -1; 2 } и в { 5; 6; 2 } .

Вопрос:

• Что называется скалярным произведением векторов?

Ответ:

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Вопрос:

• Как вычислить скалярное произведение векторов по их координатам?

Ответ:

Вектор a { x ; y ; z },

вектор в { x ; y ; z }

Скалярное произведение

векторов

а в = x x + y y + z z

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

Ответ:

• 3.

Решение задач :

• Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, если

A (6; 7; 8), B (8; 2; 6),

C (4; 3; 2), D (2; 8; 4).

Решение задач:

• № 453.

Решение задач:

• Даны точки: А(1;2;3); В(2;3;1) и С(3;1;2). Найти периметр треугольника АВС.

• Найти расстояние между точками

В(-2;0;3) и К(3;4;-2).

• А(1;2;3) и В(3;-6;7). Найти координаты середины отрезка АВ.
• Найти скалярное произведение векторов а {1;2;4} и в {-8;2;1} .
• Найти угол между векторами a{1;2;-2} и

в {1;0;-1}.

Тест:

I. Если М (-2; -4; 5),

Р (-3; -5; 2), то МР имеет координаты:

1. (1; 1; 3);

2. (-5; -9; 7);

3. (-1; -1; -3).

Тест:

II. Если А (5; 4; 0), В (3; -6; 2) и С – середина отрезка, то С имеет координаты:

1. (4; -1; 1);

2. (1; 5; -1);

3. (-1; -5; 1).

Тест:

III. Если вектор а имеет координаты {-3; 3; 1} , то его длина равна:

1. 1;

2. кв. корень из 19;

3. 0.

Тест:

IY. Если А(2; 7; 9), В(-2; 7; 1), то расстояние между точками А и В равно:

1. 8;

2. кв. корень из 149;

3. 4 корней из 5.

Тест:

Y. Скалярное произведение векторов а {-4; 3; 0},

в {5; 7; -1} равно:

1. 0;

2. 1;

3. 41.

Тест:

YI. Угол между векторами

a {2; -2; 0}, в {3; 0; -3} равен:

1. 90 ;

2. 60 ;

3. 45 .

о

о

о

Проверка:

• 3

• 3

• 1
• 2

• 2
• 2