Метод координат. Углы в пространстве.

Алгебра и начала анализа (11 класс)

Тема: Метод координат. Углы в пространстве.

Общая характеристика выбора раздела факультативного занятия.

Одним из видов задач по стереометрии являются задачи на нахождение углов:

• между 2 прямыми;

• между прямой и плоскостью;

• между 2 плоскостями.

Как показывает практика, решение этих задач нередко сопряжено с рядом трудностей.

В частности, основными проблемами для учащихся являются построение на чертеже искомого угла и доказательство того, что именно этот угол искомый.

Избежать подобных трудностей помогает координатно-векторный метод. Его главным преимуществом является то, что построение искомого угла не требуется.

Метод заключается во введении системы координат, определении координат вершин многогранников, а затем – определении углов между нужными векторами. Недостаток метода состоит в том, что при его использовании учащимся не всегда хватает знаний. Но этот недостаток легко устраним в старших классах.

В методе координат главная нагрузка приходится на алгебраические выкладки, однако, их целесообразность базируется на наглядном осмыслении задачи. Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.

Надо отметить, что координатным методом разумно пользоваться в задачах, решение которых вызывает затруднение при применении обычного метода, сводящего стереометрическую задачу к ряду планиметрических.

Метод координат – большая и важная тема школьного курса геометрии.

Изучение темы в 11 классе накладывается на уже известный материал, изученный в 9 классе.

Учащиеся имеют определенный опыт, владеют достаточным запасом математических понятий и умений.

При изучении темы мы формируем умение решать простейшие задачи в координатах, используя формулы для вычисления координат вектора, длины вектора, координат середины отрезка.

Изучение скалярного произведения векторов позволяет решать более сложные и интересные задачи:

• вычислять углы;

• находить расстояние.

Мы развиваем графическую культуру учащихся, пространственное воображение.

Выбор этого раздела не случаен, он позволяет реализовывать:

• основные принципы педагогических технологий;

• различные типы уроков;

• разные формы контроля знаний.

Занятие факультатива «Углы в пространстве».

Рассчитано на 2 часа, но при необходимости его легко разбить на 2 части.

1. Актуализация опорных знаний – повторить понятие угла:

• между 2 прямыми;

• между прямой и плоскостью;

• между 2 плоскостями.

2. Теоретический ликбез:

• уравнение плоскости ;

• угол между прямыми (угол между направляющими векторами) ;

• угол между прямой и плоскостью ;

• угол между плоскостями (угол между векторами нормали этих плоскостей).

3. Решение задач 1–6, 1-3

4. Анализ типовых тестовых заданий.

ВЫВОД: В рамках одного проекта нельзя объять необъятное, но для решения задач на вычисление расстояний достаточно знать одну формулу – расстояние от точки до плоскости.

Надо отметить, что методом координат разумно пользоваться в задачах, которые сложно решить обычным способом.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В правильной четырехугольной призме АВСДА₁В₁С₁Д₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АД₁ и СЕ₁, где Д₁ и Е₁ – середины ребер А₁С₁ и В₁С₁ соответственно.

2. В правильной шестиугольной призме А…F₁, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой АF b и плоскостью ВСС₁.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SАD, где Е – середина SC/

4. В правильной шестиугольной призме А…F₁, все ребра которой равны 1, найти угол между плоскостями AFF₁ и DEE₁.

5. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями АСВ₁ и ВА₁С₁.