Прототипы задач теории вероятности в профильном ЕГЭ по математике 2020 года

Задачи теории вероятности в ЕГЭ

Ежелая Е.Г.

Классическое определение вероятности

В школьном курсе теории вероятностей и в задачах ЕГЭ имеются общепринятые соглашения. Этих соглашений мы придерживаемся и здесь. А именно: монета, игральный кубик (кость), жребий считаются правильными (честными). Это означает, что при бросании жребия, монеты или кубика все элементарные события (исходы) опыта равновозможны. Это же касается других экспериментов, в которых сказано, что производится случайный выбор,— все элементарные исходы такого выбора равновозможны.

Классическое определение вероятности

1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы) . Убедиться, что они равновозможны.

2. Найти общее число элементарных событий N .

3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию A , и найти их число N ( A ). (Событие можно обозначить любой буквой.)

4. Найти вероятность события A по формуле P( A )= N ( A )/ N

Опыты с равновозможными элементарными исходами

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий—кому начинать игру. Найдите

вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение . Случайный эксперимент—бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте—участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

Общее число элементарных событий N равно 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны.

Событию A =жребий выиграл Петя благоприятствует только одно элементарное событие (Петя).

Поэтому N ( A )=1.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =1/4=0,25.

Ответ : 0,25 .

Опыты с равновозможными элементарными исходами

Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4?

Решение . Здесь случайный эксперимент—бросание кубика.

Элементарное событие—число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события:1, 2, 3, 4, 5 и 6.Значит, N =6.

Событию A = выпало больше чем 4 благоприятствуют два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N ( A )=2.

Элементарные события равновозможны, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому P( A ) = N ( A )/ N =2/6=1/3.

Ответ :1/3.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение . Орла обозначим буквой О. Решку—буквой Р.

В описанном эксперименте могут быть следующие элементарные исходы:

ОО, ОР, РО и РР. Значит, N =4.

Событию A =выпал ровно один орел благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N ( A )=2.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =2/4=0,5.

Ответ: 0,5.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение . Элементарный исход в этом опыте—упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе—на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы—результату второго броска. Всего элементарных событий N =36.

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 8.Таких клеток пять. Значит, событию A =сумма равна 8 благоприятствуют пять элементарных исходов. Следовательно, N ( A ) = 5. Поэтому P( A )= N ( A )/ N =5/36.

Ответ:5/36

.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

Решение . Орла обозначим буквой О. Решку—буквой Р. В описанном эксперименте элементарные исходы—тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем их все в таблицу:

Всего исходов получилось 8. Значит, N =8.

Событию A =орел выпал ровно два раза благоприятствуют элементарные события ООР, ОРО и РОО (они выделены в таблице). Поэтому N ( A )=3.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =3/8=0,375.

Ответ: 0,375.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5—из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение . Элементарный исход—спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой. Всего спортсменов N =4+7+9+5=25.

Событию A = последний из Швеции благоприятствуют только девять исходов

(столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N ( A )=9.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =9/25=0,36.

Ответ: 0,36.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным .

Решение. Элементарный исход—случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N =1000.

Событию A = аккумулятор исправен благоприятствуют 1000 − 6 = 994 исхода. Поэтому N ( A )=994.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =994/1000=0,994.

Ответ: 0,994.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В большой партии насосов в среднем на каждые 1992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Решение.

Элементарный исход—случайно выбранный насос. Поэтому N =1992+8=2000.

Событию A = насос неисправен благоприятствуют 8 исходов. Поэтому N ( A )=8.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =8/2000=0,004.

Ответ: 0,004.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение .

Элементарный исход—карточка, выбранная капитаном российской команды; N =16. Событию A = команда России во второй группе

благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то есть N ( A )=4.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =4/16=0,25.

Ответ: 0,25.

Опыты с равновозможными элементарными исходами

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение .

Элементарный исход—попадание часовой стрелки в один из 12 секторов циферблата; N =12.

Событию A –нахождение часовой стрелки между отметками 10 и 1

благоприятствуют 3 сектора циферблата, то есть N ( A )=3.

Тогда P( A )= N ( A )/ N =3/12=0,25.

Ответ: 0,25.

Разбиение на группы

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин?

Решение .

Элементарный исход – пара туристов, выбранная жребием. N=(8·7)/2=28 различных пар.

Событию А – турист Д. пойдет в магазин благоприятствует 7 исходов (с эти туристом можно составить 7 различных пар).

Тогда P( A )= N ( A )/ N =7/28=0,25.

Ответ: 0,25

Разбиение на группы

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение .

Посадим одну из девочек на любое место за круглым столом. Тогда останется свободными 8 мест. Элементарный исход – место за круглым столом. N=8.

Событию А – две девочки сидят рядом благоприятствует 2 исхода (одна девочка садится на любое место и благоприятными становятся два места: справа и слева от нее).

Тогда P( A )= N ( A )/ N =2/8=0,25

Ответ: 0, 25

Разбиение на группы

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 участников из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России?

Решение : По условию Владимир Егоров будет играть в первом туре.

Тогда останется 25 спортсменов. Элементарный исход – участник соревнования, кроме Егорова. N=25.

Событию А – с Егоровым будет играть спортсмен из России благоприятствует 12 исходов (оставшиеся 12 спортсменов из России).

Тогда P( A )= N ( A )/ N =12/25=0,48

Ответ: 0, 48

Разбиение на группы

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение : По условию все дети находятся в одной из групп. Пусть Андрей находится в первой группе. Элементарный исход – ученик класса, кроме Андрея. N=25.

Событию А – с Андреем в группу попадет Сергей благоприятствует 12 исходов (оставшиеся 12 мест в его группе).

Тогда P( A )= N ( A )/ N =12/25=0,48

Ответ: 0, 48

Теоремы вероятности теорема сложения

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение .

Определим событие A =выбранная ручка пишет хорошо. Известна вероятность противоположного события: Р(А)=0,1.

Используем формулу вероятности противоположного события:

P( A ) = 1−P( A ) = 1−0,1 = 0,9.

Ответ: 0,9.

Теоремы вероятности теорема сложения

При изготовлении подшипников диаметром d=67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Теоремы вероятности теорема сложения

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Ответ: 0,9975

Теоремы вероятности теорема сложения

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение .

ВОПРОС

Вписанная окружность 0,2 Параллелограмм 0,15

Р=0,2+0,15=0,35

Ответ: 0,35

Теоремы вероятности теорема сложения

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Теоремы вероятности теорема сложения

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Ответ: 0,52

Теоремы вероятности. теорема сложения

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Теоремы вероятности. теорема умножения

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,02

Теоремы вероятности. теорема умножения

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с

вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный

момент времени все три продавца заняты одновременно

(считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

События независимые, поэтому искомая вероятность равна

Р(А)=0,3·0,3·0,3=0,027

Ответ: 0,027

Теоремы вероятности. теорема умножения

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу A.

Всего развилок 3. На каждой из них паук с вероятностью 0,5 может выбрать путь, ведущий к выходу А, либо другой путь. Это независимые события. Вероятность того, что независимые события произойдут одновременно равна произведению вероятностей. Таким образом искомая вероятность равна:

0,5·0,5·0,5=0,125

Ответ: 0,125

?

?

?

Теоремы вероятности. теорема умножения

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет поражена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле 0,6, при каждом последующем 0,4.

Искомая вероятность 0,6·.

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

0,6·

Последовательно проверяя натуральные значения n, получим n=5.

Ответ: 5

Теоремы вероятности. теорема умножения

Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G .

Решение .

События здесь не равновозможные. Нам нужно найти вероятность элементарного события G = Павел Иванович пришел в точку G .

Это событие состоит в том, что Павел Иванович прошел маршрутом ABG . Вероятность находится умножением вероятностей вдоль ребер AB и BG :

P( G ) = P( ABG ) =1/2 ・ 1/4=1/8.

Ответ: 0,125

Теоремы вероятности. Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти одновременно с каждым из n несовместных событий H 1 , H 2 ,…..H n :

А=Н 1 А+Н 2 А+….Н n А, тогда

Р(А)=Р(Н 1 )·Р(А/Н 1 )+………..+Р(Н n )·Р(А/Н n )

Формула полной вероятности

Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая—остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а из выпускаемых второй фабрикой—1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Решение . A 1 = телефон выпущен на первой фабрике

A 2 = телефон выпущен на второй фабрике, D = телефон имеет скрытый дефект.

Ответ: 0,0135

Формула полной вероятности

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц

из первого хозяйства—яйца высшей категории, а из второго хозяйства—20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение . Эта задача обратна предыдущей. Событие «яйцо имеет высшую категорию» назовем H . События «яйцо поступило из первого хозяйства» и «яйцо поступило из второго хозяйства» назовем A 1 и A 2 соответственно. Обозначим через р искомую вероятность события A 1 и составим дерево.

0,4р+0,2(1-р)=0,35

р=0,75

Ответ: 0,75

Формула полной вероятности

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнѐтся.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 4) и промахнется из него, или если схватит не пристрелянный револьвер

(1 из 6) и промахнется из него.

Р=0,4·0,1+0,6·0,8=0,52

Ответ: 0,52

Формула полной вероятности

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Ответ: 0,392

Формула полной вероятности

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Ответ:0,6

Формула полной вероятности

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Вероятность того, что игра закончится ничьей – 0,2

Команда наберет не менее 4 очков в двух играх при следующих результатах: выигрыш выигрыш выигрыш ничья ничья выигрыш

Искомая вероятность равна: 0,4·0,4+0,4·0,2+0,2·0,4=0,32

Ответ: 0,32

Схема испытаний Бернулли

Монету бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет ровно 4 раза

Решение .

Ответ: 0,234375

Использованная литература. источники

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы статистики и теории вероятностей. М: Просвещение, 2015

2. http://mathege.ru/or/ege/Main.html -Открытый банк заданий по математике

3. И.И. Аксанова «Практикум по теме «Теория вероятностей»

4. А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

5. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко 4ЕГЭ 2019. Математика. Теория вероятностей. Задача 4(профильный уровень). Задача 10 (базовый уровень). Рабочая тетрадь. М. 2019

6. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин Математика профильный уровень теория вероятностей и элементы статистики. Тематический тренажер. М. 2019

[email protected]