Россия, с.Бишкаин Аургазинского района Республики Башкортостан
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 26.04.2026 19:52
Умова Надежда Леонидовна
Учитель математики и физики
40 лет
16 069
2 524 
Местоположение
Специализация
Рабочая программа элективного курса "Уравнения" по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов.
Категория:
Математика
21.01.2020 16:48
Просмотр содержимого документа
«Рабочая программа элективного курса "Уравнения" по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов.»
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов посвящен одной из важных тем «Уравнения». При решении многих заданий используется эта тема. В последнее время в материалах выпускных экзаменов в форме ГИА и ЕГЭ и вступительных экзаменах в техникумы и ВУЗЫ, предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для дополнения и углубления знаний по математике. При изучении курса угроза перегрузок учащихся отсутствует, соотношение между объемом предлагаемого материала и временем, необходимым для его усвоения оптимально. Курс соответствует возрастным особенностям школьников и предусматривает возможности индивидуализации и дифференциации процесса обучения. Данная программа предполагает использование активных методов и форм обучения, содержит развивающий потенциал. Курс был предложен родителям на родительском собрании и нашел их одобрение. Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить т. Виета для уравнений любой степени. Умение выполнять деление многочлена на многочлен обеспечит в дальнейшем решение таких задач математического анализа, как нахождения асимптот, вычисления производных, интегралов. Умение решать уравнения с модулем, параметром позволяет расширить круг показательных, тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Задачи по теме вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части: лекции, беседы, консультации, практикумы, самостоятельные, тестовые работы. Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: самостоятельная работа, тест, итоговый контроль. Итоговый контроль предусматривает выполнение зачета. Курс рассчитан на 7 часов. Занятия проводятся один раз в неделю.
Цель курса: изучение некоторых классов уравнений, методов их решения, подкрепленное необходимым теоретическим материалом. Формировать у учащихся умения и навыки по решению уравнений.
Задачи курса:
1. Познакомить учащихся с теорией многочленов.
2. Обобщить и систематизировать знания учащихся о квадратичной функции в предлагаемых задачах с параметрами
3. Сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и уравнений на уровне, превышающий уровень обязательного минимума содержания образования.
4.Сформировать способность к осознанному выбору дальнейшего профиля обучения в старшей школе.
Данный курс рассчитан на 7 часов, предполагает четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекции, объяснение, практическая работа, семинар, творческие задания. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решении новых и интересных задач.
Программа может быть использована в классе с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.
Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Хотя при изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно появится прогресс в подготовке учащихся.
По окончании изучения курса учащиеся должны уметь:
1.Выполнять действия над многочленами.
2.Использовать обобщенную теорему Виета для решения задач повышенного уровня.
3.Решать уравнения с модулем и параметрами.
4.Применять алгоритмы решения симметрических и возвратных уравнений.
По окончании изучения курса учащиеся должны знать:
1.Основные определения и понятия по программе курса.
2.Обобщенную теорему Виета для уравнений высших степеней.
3.Формулировку теоремы Безу.
4.Общие методы решения уравнений: метод замены переменной, разложение на множители, графический метод, группировка.
5.Общий вид уравнений.
6.Определение модуля. Геометрическое определение модуля. Подходы к решению уравнений, содержащих один и более модулей.
7.Методы решения возвратных, симметрических, рациональных, целых уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1.Антипов С.А. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов.- М.,2006.
2.Богатырев Г.И. Повторим математику.- М.: Высшая школа, 1968.
3.Дорофеев Г.В. Алгебра, функции, анализ данных 9 класс.- М.,Просвещение,2001.
4.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классов.- М.: Просвещение, 1991.
5.Солуковцева Л. Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами библиотека // Первое сентября.-2007.-№1(13) .
6.Червякова Н.Г. Материалы тренинга по подготовке ЕГЭ по математике Уравнения и неравенства, содержащих модуль.- Владимир, 2007.
7.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10 класс.- М: Просвещение, 1989.
элективного курса по алгебре в 9 классе по теме
«Уравнения»
| № | | Количество часов | Тип урока или форма проведения занятия, виды деятельности | Формы контроля |
| 1 | Определение многочлена, сложение, вычитание, умножение и деление многочлена на одночлен и многочлена на многочлен | 1 | Лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений | Проверка самостоятельно решенных задач |
| 2 | Знаки корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра. Определение квадратного уравнения с параметрами. Способы решения уравнения. | 1 | Объяснение, выполнение тренировочных упражнений. | Проверка самостоятельно решенных задач |
| 3 | Теорема Виета, примеры применения теоремы и обратной. Применение теоремы для уравнения высших степеней. | 1 | Объяснение, выполнение тренировочных упражнений. | Проверка контрольных заданий для домашней работы. |
| 4 | Целые уравнения. Теорема о числе корней многочлена и разложение его на линейные множители. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами. | 1 | Беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений. | Математический диктант |
| 5 | Модуль числа. Геометрическое определение модуля. Уравнения, содержащие один и несколько модулей. | 1 | Беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений. | Проверка самостоятельно решенных задач |
| 6 | Линейные, дробно- линейные, квадратные уравнения с параметрами. Решение уравнений, содержащих параметры. | 1 | Лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений. | Проверка самостоятельно решенных задач. |
| 7 | Разложение на множители. Формулы сокращенного умножения. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. | 1 | Лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений | Итоговый контроль |
ПРИЛОЖЕНИЕ
Расположение корней квадратного уравнения.
Найти все значения параметра, при которых корни уравнения ах2+bх+с=0 (а
0) удовлетворяют заданным условиям
х1, х2 – корни уравнения; А, В – заданные числа; D – дискриминант; х0 – абсцисса вершины параболы f (x)=ax2+bx+c
Т.1 А 1х2 D 0 Т.2 х1
х2D 0 Т.3 х12
аf (A)0 аf (В)0 аf (A)
х0 А
х0
Т.4 А 1 х212 Т.6 А 12
аf (A)0 аf (A)аf (A)0
аf (В)0 аf (В)аf (В)
D 0
А0
Т.7 х12
аf (A)
аf (В)0
Цели:
Образовательные: знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования.
Развивающие:
развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий;
формирование интереса к предмету, получение знаний и навыков, позволяющих сделать сознательный выбор на профильной ступени обучения.
Типы учебных занятий – объяснительно-иллюстрированный с применением исследовательской работы.
Применяемый метод – программированный.
Формы работы – коллективная, индивидуальная.
Задачи с параметромПараметр – величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы. «Словарь русского языка» С.И. Ожегова.
Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. «Словарь иностранных слов».
Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова.
Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские.
Задачи с параметрами традиционно и заслуженно считаются наиболее трудными:
а) нехватка времени на них школьной программе;
б) исследовательский характер;
в) умение решать классические задачи без параметра, умение всесторонне исследовать квадратный трехчлен.
Основные типы задач для уравнений с параметром.
I. Решить уравнение f (x, a) = 0 при всех а:
а) найти все значения переменной а, при которых уравнение имеет решение;
б) найти эти решения при каждом таком а;
в) в ответе указать, что при остальных значениях а, задача не имеет решений.
II. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет решение.
Задача требует исследования, а не формального применения формул
III. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет одно (единственное) решение, ровно два или сколько-нибудь еще.
Задача:
В 7, 8, 9 кл. учится 105 учащихся. В 8 кл. на n больше, чем в 7 кл., а в 9 кл. на 3 меньше, чем в 7 кл. Сколько учащихся в каждом классе, если в каждом их не менее 30 человек,
7 кл. х x + x + n + x – 3 = 105
8 кл. х + n 3x = 108 – n
9 кл. x – 3
x – неизвестное число;
n – известное, натуральное число, параметр.
3x = 108 – n
x = 
, т.е.
7 кл. 36 – 
8 кл. 36 – + n = 36 + 
9 кл. 36 – – 3 = 33 – .
Исходя из условия задачи меньшее количество учащихся в 9 кл., и т.к. не менее 30, то решим неравенство:
| 33 – | | n 9 |
т.к. количество учащихся в каждом классе это натуральное число, значит n – кратно 3. Учитывая оба условия n 9 и n кратно 3 можно сделать вывод n = 3; 6; 9.
| n = 3 | n = 6 | n = 9 |
7 кл. 36 – , т.е. 36 – 
= 35; 36 – 
= 34; 36 – 
= 33
8 кл. 36 + , т.е. 36 + = 38; 36 + 
= 40; 36 + 
= 42
9 кл. 33 – , т.е. 33 – = 32; 33 – = 31; 33 – = 30
Итак, возможны 3 варианта ответа: в 7, 8, 9 классах могло быть соответственно 35; 38; 32 или 34; 40; 31 или 33; 42; 30 учащихся.
Рассмотрим самые простые уравнения с параметром, которые сводятся к решению линейного или квадратного уравнения:
f (x, a) = 0, т.е. линейное уравнение ax = 0
f (x; a; b; c) = 0, т.е. квадратное уравнение ax2 + bx + c.
Пример №1.
b(b – 1)x = b2 + b – 2x – неизвестное число,
b – параметр, известное фиксированное число.
Придавая b различные значения, будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. В зависимости от значений параметра мы можем получить 3 разных случая:
а) уравнение имеет единственный корень k • x = b
б) уравнение имеет множество корней 0 • x = 0
в) уравнение не имеет корней 0 • x = b
Рассмотрим каждый случай отдельно:
а) b(b – 1) =/= 0 b =/= 0; b =/= 1
уравнение имеет единственный корень: x =
б) 
т.е. b = 1 множество корней
в) b(b – 1) = 0 b = 0 и b = 1 при b = 0 получаем уравнение вида 0 . x = b т.е. корней нет.
b2 + b – 2 =/= 0
Таким образом, для данного уравнения выявим различные значения параметра b, для каждого из которых определено соответствующее множество корней:
Ответ: при b =/= 0; b =/= 1 x = 
при b = 1 множество корней x – любое число
при b = 0 корней нет.
Пример №2.
x (a2 – 1) = (a + 1)(1 – x)
Путем преобразований получим уравнение:
а2 x – x = а – аx + 1 – x
а2x – x + аx + x = а + 1
а(а + 1) x = а + 1
x = 
а) если а =/= 0; а =/= 1 уравнение имеет единственный корень x = 
б) если а = – 1, то уравнение имеет множество корней, x – любое число
в) если а = 0, то уравнение корней не имеет.
Ответ:
при а =/= 0; а = 1 x =
при а = – 1 x – любое число
при а = 0 корней нет.
Пример № 3.
Решить уравнение x – xу + 5у = 7 в целых числах, у считаем параметром.
x (1 – у) = 7 – 5у
x = 
выделим целую часть из этой дроби.
Дробь 
обращается в целое число, если у – 1 является делителем числа 2, т.е равна ± 2; ± 1
| y – 1 = 2 | y – 1 = – 2 | y – 1 = 1 | y – 1 = – 1 |
т.е. y = – 1; 0; 2; 3
Найдем соответствующие значения x.
y = – 1 x = 5 – 
= 5 + 1 = 6
y = 0 x = 5 – 
= 5 + 2 = 7
y = 2 x = 5 – 
= 5 – 2 = 3
y = 3 x = 5 – 
= 5 – 1 = 4 x = 3; 4; 6; 7.
Для каждого значения x найдем соответствующее ему значение y. Для этого выразим y через x из данного уравнения
5y – xy = 7 – x
(5 – x) • y = 7 – x
у = 
= 
Подставим в эту формулу найденные значения x.
| x = 3 у = | 3; 2 |
| x = 4 у = | 4; 3 |
| x = 6 у = | 6; – 1 |
| x = 7 у = | 7; 0 |
= 
= 2
= 
= 3
= 
= – 1
= 0Ответ: x1 = 3, у1 = 2; x2 = 4, у2 = 3; x3 = 6, у3 = – 1; x4 = 7, у4 = 0
Упражнения:
аx = 3а + 8 – уравнение с параметром а.
Написать уравнение, которое получится при а = 10, а = – 2, а = 
, а = 0
Каким – линейным или квадратным – является уравнение: 5b(b – 2)x2 + (5b – 20)x – 16 = 0 относительно x при:
а) b = 1
б) b = 2
в) b = 0,4
г) b = 0?
Выясните вид уравнения:
2аx (x – 1) + x (аx – 12) = 3x2 + 8
относительно x при:
а) а = – 2;
б) а = – 6;
в) а = 1;
г) а = 0
и решите его для каждого случая.
Дано уравнение аx = 4x + 5.
Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4.
При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни?
При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней?
При каких значениях параметра b уравнения: 
и 
не имеют корней?
При каких значениях параметра n уравнение (n2 – 4)x = n3 – 2n2 – n + 2:
а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?
Решите уравнение относительно у:
а) 
;
б) у – b = 
;
в) 
При каком значении параметра а уравнение
имеет:
а) положительный корень;
б) отрицательный корень;
в) корень, равный нулю?
При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.
1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта.
D 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D
2. Если D 0 то аx2 + вx + с = а (x – x1) (x – x2)
3. Если D 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного
ax2 + вx + с = а (x – x1)2
4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q
5. Если а 0, D 0, то уравнение имеет два действительных различных корня
а) в с 0 оба корня положительны
б) в 0, с 0 оба корня отрицательны
в) в с корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль.
г) в 0, с корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль.
Пример 1.
При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является
а) квадратным
б) неполным квадратным
в) линейным
Преобразуем: а2x2 + 3 аx + 6 = аx2 – 6x
а2x2 – аx2 + 3 аx + 6x + 6 = 0
а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0
а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0
а (а – 1) =/= 0
а = 0, а =/= 1
т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1
б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.
3 (а + 2) = 0 а = – 2
в) линейное, если коэффициент при x2 равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2
Ответ:
при а =/= 0; 2 уравнение квадратное
при а = – 2 неполное квадратное
при а = 0,2 линейное.
Пример 2.
Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0 D = b2 – 16.
а) если 
4, т.е. b – 4 и b 4 (b ? ( – 
; 4)U(4; + ), то D 0 и уравнение имеет 2 корня x1,2 = 
б) если = 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = 
в) если b
Ответ: если b b 4, то 2 корня x1,2 =
если b = ± 4, то 1 корень x =
если – 4 b
Упражнения:
1) Решите относительно x уравнение:
| а) mx2 – 6x + 1 = 0; | г) x2 – 2x = с = 0; |
2) Решите относительно у уравнение:
а) су2 + 8 = 2у2 + 4с;
б) b (у2 + 7) = b (у + 5) + 2b;
в) у2 – 3у = а2 + 3а;
г) ау2 + 6у + а = 3 (2у – а).
3) При каких значениях параметра а уравнение аx2 – 4x + а = 0 имеет:
а) положительные корни;
б) отрицательные корни;
в) корень, равный нулю;
г) единственный корень, отличный от нуля?
Список используемой литературы:
Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции. – 2 – е изд. – М.: «Наука» 1966.г., – 448с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс.: – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2000 г.
Газета «Математика» Издательский дом «Первое сентября».
Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением курса математики М.: Просвещение 1992 г.
Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра М.: Наука 1987 г.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука 1989 г.
I. Квадратное уравнение и его корни
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, а =/= 0. В зависимости от дискриминанта D = b2 – 4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D 0), один корень (D = 0) и не иметь корней (D Квадратное уравнение, у которого а = 1, называют приведенным и записывают в виде х2 + рх + q = 0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.
1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:
а) 3х2 + х + 2m – 3 = 0
б) х2 – 2х + m – 1 = 0
в) х2 + (m + 3)х + m – 3 = 0?
2..При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:
а) х2 + (3а – 5)х = 2
б) 2х2 – (5а – 3)х + 1 = 0
в) 4х2 + (5а – 1)х + 3а + а = 0?
3.При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:
а) 3х2 + (к – 1)х + 1 – к = 0
б) х2 – (3к + 4к)х + 9к – 16 = 0
в) х2 + (16 – к)х + к + 8 = 0?
4. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, если а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.
Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения.
5. При каком значении а уравнения х2 + ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют общий корень?
Ответ: а = – 2.
6. Доказать, что при любом значении а уравнение (а – 3) х2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.
II. Теорема Виета
Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, тогда х1 + х2 = – b/a, х1х2 = c/a. Для приведённого квадратного уравнения х2 + рх + q = 0, если х1 и х2 – корни этого уравнения, то х1 + х2 = – p, х1х2 = q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.
1. Не вычисляя корней уравнения 3х2 + 8х – 1 = 0, найти:
а) х12 + х22
б) х1х23 + х2х13;
в) х1/х2 + х2/х1
г) х14 + х24.
2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2 – 7х – 3 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) х1 – 2 и х2 – 2
б) 2х1 + 3 и 2х2 + 3;
в)1/x1 и 1/х2
г) х1 + 1/х2 и х2 + 1/x1
3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х2 – 3,75х + а = 0 является квадратом другого?
Ответ: – 125/8; 27/8.
4. При каком значении параметра а один из корней уравнения х2 – (3а + 2)х + а2 = 0 в девять раз больше другого?
Ответ: – 6/19; 6.
5 . Корни х1 и х2 уравнения х2 + рх + 12 = 0 обладают свойством х2 – х1 = 1. Найти р.
Ответ: ± 7.
6. При каком значении параметра а уравнение х2 + (а2 + а – 2)х + а = 0 имеет корни, сумма которых равна 0?
Ответ: – 2.
7. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеет корни одного знака?
Ответ: [ – 2,125; – 2) 
(1; + 
).
8. При каком значении параметра а корни уравнения ах2 + (2а – 1)х + а – 2 = 0 отрицательны и их сумма меньше – 5?
Ответ: [ – 0,25; 0).
9. При каком значении параметра р корни уравнения (р – 2)х2 + 2рх + р + 4 = 0 разных знаков и их сумма отрицательна?
Ответ: ( – 4; 0).
III. Существование корней квадратного уравнения
Для того чтобы квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а 0, то для доказательства того, что уравнение ах2 + bx + с = 0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0) = ах02 + bx0 + c х0 берут 0 (даёт достаточное условие с а + b + с а – b + c
1. Доказать, что при любом а уравнение (а3 – 2а2)х2 – (а3 – а + 2)х + а2 + 1 = 0 имеет решение.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0) = a2 + 1 0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х1, для которого f(x1) f(1) = – a2 + a – 1 а. Легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение.
2. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2
3(а – 3)х + а2 – 3а + 2 = 0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.
Решение. Если а2 – 3а + 2 а х1 0 и х2 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:
Аналогично рассматриваются другие случаи.
Ответ: если а а х1 х2 а = 1 или а = 2, то х1 х2 = 0;
если 1 а х1 х2 0;
если а = 2,5, то х1 = х2 а если а = 5, х1 = х2 0; если а 5, х1 0, х2 0.
3. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?
Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а =/= 0, а =/= 3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4 = (а + 3)2 – а(а + 3)( – 3а – 9) 0
Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а = 0 и а = – 3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а = – 3.
Ответ: { – 3} ( – 1/3;0) (0; + )
4. При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Комментарий к решению. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а =/= 0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D = а2 – 7а + 10 = 0 при а = 2 или а = 5. Значение а = 2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
Ответ: а = 5.
5. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х2 + (а + 4)х + а + 7 = 0 имеет единственное решение?
Ответ: 1;2; – 22/3.
6. При каком значении параметра а уравнение (2а – 5)х2 – 2(а – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение?
Ответ: 5/2;4.
7. При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?
(х2 – (3а – 1)х + 2а2 – 2)/(х2 – 3х – 4) = 0.
Ответ: – 2;0,5.
IV. Расположение корней квадратного уравнения
Для решения задач этого пункта существует таблица (см. Приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.
1. При каком значении параметра а один корень уравнения х2 – (3а + 2)х + 2а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у = х2 – (3а + 2)х + 2а – 1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось X, причем отрезок [х1; х2] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х2 – (3а + 2) х + 2а – 1 при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х1 х2.
Ответ: а – 2.
В общем случае для того, чтобы уравнение f(х) = ах2 + вх + с = 0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A)
2. Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2 – а)х2 – 3ах + 2 = 0 больше 1/2.
Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 1/2). Если а =/= 2, то уравнение – квадратное. Введем обозначение f(x) = (2 – а)х2 – 3ах + 2, хв = 3а/2(2 – а), D = а(17а – 16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D 0, хв 1/2, (2 – а)f(1/2) 0. Решая эту систему, получим: 16/7 а
Ответ: [16/17; 2].
3. При каких значениях параметра а уравнение (а – 2)х2 – 2(а + 3)х + 4а = 0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.
Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть, а =/= 2. Рассмотрим функцию f(х) = (а – 2)х2 – 2(а + 3)х + 4а, (а =/= 2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось ОX один раз на интервале ( – ; 2) и один раз на интервале (3; + ). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:
Ответ: 2 а
4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2 – (3а + 1)х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)?
Ответ: ( – 3/2; 12/7).
5. Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х2 + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х
Ответ: а = 2, а
6. Найти все значения а, при которых уравнение х2 – 6х + а = 0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).
Ответ: – 7 a 5.
7. Найти все значения а, при которых все корни уравнения х2 + х + а = 0 больше а.
Ответ: а
V. Решение квадратных уравнений с параметром
Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.
1. Решить уравнение х2 – вх + 4 = 0.
Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D = в2 – 16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в в 4, то х = (в ± в2 – 16)/2; если в = ±4, то х = в/2;если – 4 в
2. Решить уравнение (а – 2)х2 – 2ах + 2а – 3 = 0.
Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а = 2 и а =/= 2. В первом случае исходное уравнение принимает вид – 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с одним корнем х = 0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D = – 4(a – 1)(a – 6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.
В результате решения получаем ответ:
если а а = 1, то х = – 1;
если 1 a х1,2 = (а ± (1 – а)(а – 6))/(a – 2); если а = 2, то х = 0,25;
если 2 a х1,2 = (а ± (1 – а)(а – 6))/(a – 2); если а = 6, то х = 1,5;
если а 6, то корней нет.
3.. Решить уравнение (2а – 1)х2 – (3а + 1)х + а – 1 = 0.
Ответ: если а = 0,5, то х = – 0,2; если – 9 – 84 a 84, то корней нет; если а – 9 – 84 или – 9 + 84 а а 0,5 то х = (3а + 1 + а2 + 18а – 3)/(2а – 1)
4. Решить уравнение ах2 – (1 – 2а)х + 2 – а = 0.
Ответ: если а = 0, то х = – 2; если а а = – 0,25, то х = – 3; если – 0,25 а а 0, то х1,2 = (1 – 2а ± 4а + 1)/2а.
5. Решить уравнение (х2 – 5х + 6)/(х – а) = 0
Ответ: если а = 2, то х = 3; если а = 3, то х = 2; если а =/= 2, а =/= 3, то х = 2 или х = 3.
VI. Разные задачи
1. Найти все значения а, при которых уравнения ах2 + (3 + 4а)х + 2а2 + 4а + 3 = 0 имеет только целые корни.
Решение. Пусть а = 0, тогда из уравнения следует, что 3х + 3 = 0, х = – 1. Поэтому а = 0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а =/= 0, тогда уравнение равносильно уравнению х2 + (4 + 3/а)х + 2а + 4 + 3/а = 0. Если х1 и х2 – целые корни нового уравнения, то – 4 – 3/а и 2а + 4 + 3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а = n, где n 
Z, тогда а = n/2, 3/а = 6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Проверка показывает, что только при n = – 1 и n = 3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.
Ответ: 0; – 1/2; 3/2.
2. Найти все значения а, при которых уравнение х2 + (а + 2)х + 1 – а = 0 имеет 2 действительных корня х1 и х2 такие, что х1х2 х1| х2|
Решение. Обозначим f(х) = х2 + (а + 2)х + 1 – а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f( – 4) 0, f(4) 0, f(0) 0. Получили систему:
Решая систему, получаем 1 а
Ответ: 1 а
3. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1 + а)х2 – 3ах + 4а = 0 в зависимости от а?
Ответ: если – 1 а 0,5, то один корень меньше 1; если – 0,5 а 0, то оба корня меньше 1; при других а таких корней нет
4. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение: ах2 + | х – 1| = 0
Ответ: если а а = – 1/4, то три корня; если – 1/4 а а = 0, то один корень; если а 0, то корней нет.
5. 2х2 + а| х – 2 | = 0
Ответ: если а а = – 8, то три корня; если – 8 а а = 0. то один корень; если а 0, то корней нет.
6. х2 + 2| х – а | = 5
Ответ: если а а 3, то корней нет; если а = ±3, то один корень; если – 3 а
VII. Задачи к зачёту
1. При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения 2х2 – рх + 2р2 – 3р = 0 равен нулю?
Ответ: р = 1,5.
2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х2 + (р2 – 4р)х + р – 1 = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Ответ: р = 0.
3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х2 + (3а2 – | а |)х – а3 – 3а = 0 равны нулю?
Ответ: а = 0.
4. Не вычисляя корней уравнения 2х2 – 5х – 4 = 0 найти:
а) 1/х12 + 1/х22;
б) х1х24 + х2х14;
в) х1/х23 + х2/x13.
5. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х2 – 6х – 1 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) х1х22 и х2х12;
б) 1/х12 и 1/х22;
в) х1/х2 + 1 и х2/х1 + 1;
6. В уравнении 5х2 – ах + 1 = 0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.
Ответ: ± 5.
7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х2 – (а + 3)х + 6 = 0 равно 1,5?
Ответ: – 8; 2.
8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а + 1)х2 + (а + 1)х + а = 0 положительна?
Ответ: [ – 1/7;1/2)
9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 1)х2 + (2 – а)х + а + 6 = 0 положительны?
Ответ: [ – 10 ; – 6)
10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а – 1)х2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеют одинаковые знаки?
Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).
11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2 + (3а + 4)х – 3 = 0 лежат в промежутке ( – 2 ; 1)?
Ответ: ( – 5/2 ; 5/7).
12. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х2 = (а + 1)х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 х
Ответ: (0;12/7); 1 + 2 3/3.
13. Решить уравнения при всех значениях параметра:
а) ах2 – 6х + 1 = 0;
б) ах2 = 4;
в) х2 – ах = 0;
г) ах2 + 8 = 2х2 + 4а.
14. Решить уравнение (а – 1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.
Ответ: если а а = 1, то х = – 7/6, если а – 4/5 и а =/= 1, то х1,2 = ( – (2а + 1) ± 5а + 4)/(a – 1).
Литература
Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2005.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Москва. «Просвещение». 2005.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 2004.
Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. Москва. «Просвещение». 1998.
Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 г. № 7.
Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3.
Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 г. № 5.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002.
Ответить на вопросы:
1)Что общего в уравнениях?
2) Чем отличаются уравнения?
3) Какой буквой обозначен корень?
4) Как найти корни уравнения?
5) Найдите корни уравнения.
6) Сколько корней имеет уравнение?
Линейное уравнение с параметром: 
.
1) Что общего с уравнениями а), б), в)?
2) Чем отличается уравнение от уравнений а), б), в)?
3) Какое значение а соответствует уравнению а), б), в)?
4) Какой буквой обозначен корень?
5) Как найти корень уравнения?
6) Найдите корень уравнения.
7) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения а?
Ответить на вопросы:
1)Что общего в уравнениях?
2) Чем отличаются уравнения?
3) Какой буквой обозначен корень?
4) Как найти корни уравнения?
5) Найдите корни уравнения.
6) Сколько корней имеет уравнение?
Линейное уравнение с параметром: .
1) Что общего с уравнениями а), б), в)?
2) Чем отличается уравнение от уравнений а), б), в)?
3) Какое значение а соответствует уравнению а), б), в)?
4) Какой буквой обозначен корень?
5) Как найти корень уравнения?
6) Найдите корень уравнения.
7) Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения а?
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
