Рабочая программа элективного предмета "Замечательные неравенства"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Туношёнская средняя школа

имени Героя России Селезнёва А.А.»

Ярославского муниципального района

Согласовано на заседании ШМО «Утверждаю»

Протокол № _____ Приказ № _________

«____»__________20___г «___» ___________20__г

Руководитель ШМО Директор школы

___________Голубева Е.Л. _______________ Балкова С.Е.

Рабочая программа

элективного предмета по математике

«Замечательные неравенства»

для 11 класса

среднего общего образования

(профильный уровень)

на 2019-2020 учебный год

Учитель

Шабуцкая И. В.

2019

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа для обучающихся 10-11 класса информационно-технологического профиля составлена на основании авторской программы С.А. Гомонова «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения».

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы, начиная от доказательства простейших числовых неравенств, до обоснования «замечательных» неравенств Коши-Буняковского, Чебышева и Иенсона. Навыки в использовании этих неравенств необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться к решению задач самого высокого уровня.

Цель курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также практическое применение изученного теоретического материала.

Задачи курса:

- рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств и основные методы решения данных задач;

- рассмотреть частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение;

- рассмотреть метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств;

- познакомить учащихся с неравенством Коши для произвольного числа переменных;

- доказать неравенство Коши-Буняковского и показать его применение для решения задач;

- познакомить учащихся с неравенством Чебышева и некоторыми его обобщениями;

- дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах применения неравенств в математической статистике, экономике, для решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления.

Данный элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

1. Числовые неравенства и их свойства

Понятие положительного и отрицательного числа, числа нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», « не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств, или как узнать «что больше?»

Сравнение двух чисел – значений числовых выражений « по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств.

3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Равносильные задачи на доказательство или опровержение неравенств. Методы установление истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод усиления и ослабления, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней выражений, образующих левую и правую части неравенств.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных

Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.

5. Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач

Формулировка и обоснование теоремы, устанавливающей соотношение Коши-Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Геометрическая интерпретация неравенства Коши-Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства.

6. Неравенства подсказывают методы их обоснования

Метод Штурма. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

7. Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение

Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних ». Среднее арифметическое, среднее геометрическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения

Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

9. Генераторы замечательных неравенств

Свойства квадратичной функции – источник простейших неравенств. Неравенство треугольника. Свойства одномонотонных последовательностей – источник замечательных неравенств. Неравенство Иенсона.

10. Применение неравенств

Задача Дидоны ( упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

В результате изучения курса учащиеся должны

- иметь ясное представление о положительных, отрицательных числах и о числе нуль, а также свойствах, связанных с операциями арифметического сложения и умножения действительных чисел;

- знать и уметь использовать понятия «не больше» и « не меньше» для действительных чисел, применять такие свойства ряда элементарных функций, как возрастание и убывание, свойства числовых неравенств;

- уметь применять переходы к сравнению дополнений до единицы и к сравнению расстояний до ближайшего целого числа, а также переход к алгебраическим выражениям;

- знать и уметь использовать для сравнения значений числовых выражений свойство монотонности степенной функции;

- знать неравенство Коши и уметь применять его для решения задач;

- владеть понятиями неравенство с переменными, решение неравенства, неравенство-следствие, система неравенств, совокупность неравенств, выполнять геометрическую интерпретацию понятий;

- применять такие методы установления истинности неравенств, как метод синтеза и метод анализа, метод «от противного» и метод использования тождеств;

- уметь доказывать неравенство Коши для трех и четырех переменных, применять неравенство Коши для обоснования неравенств с переменными;

- знать метод перебора всех вариантов и уметь применять его при доказательстве неравенств с переменными;

- иметь представление о системе аксиом Пеано; наизусть знать аксиому математической индукции;

- иметь представление о нескольких вариантах метода математической индукции и уметь их использовать при решении задач;

- знать и уметь доказывать неравенство Коши-Буняковского двумя способами (методом вспомогательной функции и с помощью тождества Лагранжа); уметь применять неравенство при решении задач;

- иметь ясное представление о методе Штурма доказательства неравенств с переменными;

- знать определение симметрической функции и симметрического неравенства; уметь использовать для доказательства неравенства его симметричность;

- знать общее определение средней величины произвольного конечного числа действительных чисел; иметь представление о применении в физике средних величин;

- знать и уметь использовать среднее арифметическое взвешенное при решении задач;

- знать и уметь доказывать теорему о соотношении между четырьмя средними в случае двух переменных;

-знать неравенство Чебышева, его доказательство и простейшие обобщения, уметь применять в решении задач;

- знать и уметь использовать основные свойства линейной и квадратичной функций для обоснования и получения неравенств с переменными;

- знать неравенство треугольника и теорему косинусов и уметь использовать их для обоснования и получения неравенств.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 кл. : учебное пособие для профильных классов общеобразовательных учреждений/ С. А. Гомонов.- М.: Дрофа, 2006.

2. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 классы. Методические рекомендации к элективному курсу Гомонова С.А. «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»/С. А. Гомонов.- М.: Дрофа, 2006.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

(1 час в неделю, 34 часа в 10 классе и 34 часа в 11 классе)