СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
«РАЗВИВАЕМ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ РЕЧЬ»
7 класс
Начальные понятия геометрии
Точка, прямая, отрезок, луч. Угол. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков и углов. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Ломаная, многоугольник. Перпендикулярные прямые.
Треугольники
Треугольник и его элементы. Периметр треугольника. Понятие равенства треугольников.
Высоты, медианы, биссектрисы треугольника и их замечательное свойство. Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Окружность и круг, радиус, хорда, диаметр, дуга окружности. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Параллельные прямые
Определение параллельных прямых. Виды улов, образованных при пересечении двух прямых секущей. Свойства и признаки параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых и некоторые следствия из неё. Условие и заключение теоремы. Теорема, обратная данной.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Теорема о большем угле и большей стороне треугольника и следствия из неё. Неравенство треугольника. Признак равнобедренного треугольника.
Прямоугольный треугольник. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Прямоугольный треугольник с углом в 30°. Прямоугольный треугольник с углами в 45°. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.
Окружность
Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная и секущая к окружности. Четыре замечательные точки треугольника. Свойство биссектрисы угла и следствия из него. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку и следствия из него. Окружность, вписанная в угол. Теорема о пересечении высот треугольника. Вписанная и описанная окружности треугольника.
8 класс
Четырёхугольники
Параллелограмм, его признаки и свойства. Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства. Трапеция, равнобокая трапеция, её свойства и признаки. Прямоугольная трапеция.
Метод удвоения медианы. Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.
Площадь
Измерение площади многоугольника. Основные свойства площадей многоугольников. Равновеликие и равносоставленные многоугольники. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге.
Теорема Пифагора, следствие из неё. Теорема, обратная теореме Пифагора. Применение теоремы Пифагора при решении практических задач. Формула Герона. Площадь равностороннего треугольника.
Подобные треугольники
Подобие треугольников, коэффициент подобия. Отношение площадей и периметров подобных фигур. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и при решении практических задач.
Средние линии треугольника и трапеции. Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Центр масс треугольника.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрические функции углов в 30, 45 и 60°.
Окружность
Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы между хордами и секущими. Вписанные и описанные четырёхугольники. Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям.
9 класс
Понятие вектора
Определение вектора, длина (модуль) вектора, коллинеарность векторов, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, равенство векторов, откладывание вектора от данной точки.
Операции над векторами. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач.
Метод координат
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Декартовы координаты на плоскости. Простейшие задачи в координатах.
Уравнения прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его применение.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.
Теорема о площади треугольника. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение треугольников. Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов. Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов.
Длина окружности и площадь круга
Правильные многоугольники. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны, радиуса вписанной и описанной окружности. Построение правильных многоугольников.
Длина окружности. Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей. Площадь круга, сектора, сегмента.
Движения
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления). Осевая симметрия. Центральная симметрия. Свойства фигур, имеющих центр и (или) ось симметрии. Параллельный перенос. Поворот.
Преобразование подобия. Подобие фигур
Представление о подобных фигурах. Подобие многоугольников. Теоремы о периметрах и площадях подобных треугольников.
Гомотетия и её свойства.
Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.
Формы организации учебной деятельности (по типу взаимодействия):
фронтальная;
индивидуальная;
парная;
групповая;
коллективная.
Виды занятий (организационные формы):
лекция;
семинар;
практическая работа;
тренинг;
консультация;
факультатив.
Нетрадиционные и интерактивные формы:
игровые;
мозговая атака;
урок-эврика.
Методы проведения занятий: лекция, беседа, работа с учебником, демонстрация видео, презентаций, упражнения, обсуждение проблемных вопросов, анализ конкретных ситуаций, работа в инструментальной среде «Живая геометрия», применение ЭОР.
Методы контроля: беседа (индивидуальная (опрос у доски), фронтальная (беглый опрос всего класса), уплотненный опрос), устный опрос, устная контрольная работа, самостоятельная работа, практическая работа, зачет, самоконтроль и взаимопроверка, наблюдение.
Технологии, методики:
уровневая дифференциация;
гуманно-личностно ориентированная;
игровая;
проблемное обучение;
поисковая деятельность;
информационно-коммуникационные технологии;
реализация теории поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович);
здоровьесберегающие технологии.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
С УКАЗАНИЕМ КОЛИЧЕСТВА ЧАСОВ,
ОТВОДИМЫХ НА ОСВОЕНИЕ КАЖДОЙ ТЕМЫ
7 класс
| Номер темы | Содержание материала | Количество часов | Электронные цифровые образовательные ресурсы |
| 1 | Прямая и отрезок. Луч и угол | 1 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866b724 |
| 2 | Сравнение отрезков и углов | 1 |
|
| 3 | Измерение отрезков и углов | 1 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866c3ea |
| 4 | Перпендикулярные прямые | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866c7be |
| 5 | Первый признак равенства треугольников | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866d1fa |
| 6 | Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | 1 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866d880 |
| 7 | Второй признак равенства треугольников | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866d34e |
| 8 | Третий признак равенства треугольников | 1 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866e01e |
| 9 | Задачи на построение | 1 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671188 |
| 10 | Признаки параллельности двух прямых | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866f086 |
| 11 | Свойства параллельных прямых | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866f3b0 |
| 12 | Сумма углов треугольника | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8866f8ba |
| 13 | Соотношения между сторонами и углами треугольника | 1 |
|
| 14 | Некоторые свойства прямоугольных треугольников | 2 |
|
| 15 | Признаки равенства прямоугольных треугольников | 2 |
|
| 16 | Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми | 1 |
|
| 17 | Построение треугольника по трём элементам | 2 |
|
| 18 | Касательная к окружности | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88670e9a |
| 19 | Четыре замечательные точки треугольника | 2 |
|
| 20 | Вписанная и описанная окружности треугольника | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88670a62 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8867103e |
| Итого | 34 |
|
8 класс
| Номер темы | Содержание материала | Количество часов | Электронные цифровые образовательные ресурсы |
| 1 | Параллелограмм и трапеция | 3 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671af2 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671ca0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671ca0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88672858 |
| 2 | Прямоугольник, ромб, квадрат | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671dea Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88671f20 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8867209c |
| 3 | Площадь многоугольника | 2 |
|
| 4 | Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции | 5 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88674860 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88674a22 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88674a22 |
| 5 | Теорема Пифагора | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88675918 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88675918 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88675abc |
| 6 | Теорема, обратная теореме Пифагора | 2 |
|
| 7 | Формула Герона | 2 |
|
| 8 | Подобные треугольники | 2 |
|
| 9 | Признаки подобия треугольников | 6 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88673bae Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88673d52 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8867400e |
| 10 | Средняя линия треугольника | 3 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88672e0c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88672f38 |
| 11 | Средняя линия трапеции | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88672358 |
| 12 | Теорема о точке пересечения медиан треугольника | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88673064 |
| 13 | Пропорциональные в прямоугольном треугольнике | 4 |
|
| 14 | Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88675d32 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/88675f44 |
| 15 | Касательная к окружности | 4 |
|
| 16 | Центральные и вписанные углы | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1415b2 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a141940 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a141b34 |
| 17 | Углы, образованные хордами, касательными и секущими | 4 |
| 18 | Четыре замечательные точки треугольника | 3 |
|
| 19 | Вписанная окружность в четырёхугольник | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a140f86 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1416d4 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1416d4 |
| 20 | Описанная около четырёхугольника окружность | 4 |
| Итого | 68 |
|
9 класс
| Номер темы | Содержание материала | Количество часов | Электронные цифровые образовательные ресурсы |
| 1 | Понятие вектора | 3 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a144960 |
| 2 | Сложение и вычитание векторов | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a144a8c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a144d52 |
| 3 | Умножение вектора на число | 4 |
| 4 | Применение векторов к решению задач | 3 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a144c3a |
| 5 | Координаты вектора | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1458c4 |
| 6 | Простейшие задачи в координатах | 4 |
|
| 7 | Уравнения окружности и прямой | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a145c48 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14635a |
| 8 | Синус, косинус, тангенс и котангенс угла | 4 |
|
| 9 | Соотношения между сторонами и углами треугольника | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1424bc Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142e8a Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14336c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142d5e Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1430b0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142ac0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142ac0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142ac0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142ac0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a142c3c |
| 10 | Скалярное произведение векторов | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14539c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14550e |
| 11 | Правильные многоугольники | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a146fda |
| 12 | Длина окружности и площадь круга | 4 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1472c8 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14714c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14714c Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147426 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147750 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147750 |
| 13 | Понятие движения | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147c82 |
| 14 | Параллельный перенос и поворот | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147f16 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a147f16 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1480e2 |
| 15 | Подобие многоугольников | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a143ab0 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a143de4 |
| 16 | Преобразование подобия | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a14406e Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1441a4 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1442da |
| 17 | Применение подобия к доказательству теорем и решению задач | 2 | Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a143f06 Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a1443fc Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/8a144578 |
| 18 | Повторение по теме «Треугольники» | 3 |
|
| 19 | Повторение по теме «Четырёхугольники» | 3 |
|
| 20 | Повторение по теме «Окружность» | 4 |
|
| Итого | 66 |
|
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
КУРСА ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ»
НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской математической школы, к использованию этих достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав, представлением о математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например, выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об основных закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации, овладением языком математики и математической культурой как средством познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием глобального характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий, устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного), проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей математического объекта, зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным учителем или сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие предметные результаты:
Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи. Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов.
Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни, размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по порядку величины.
Строить чертежи к геометрическим задачам.
Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач.
Проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем.
Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников, свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических задач.
Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
Решать задачи на клетчатой бумаге.
Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахождение углов.
Владеть понятием геометрического места точек. Уметь определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач.
Владеть понятием описанной около треугольника окружности, уметь находить её центр. Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого к точке касания.
Пользоваться простейшими геометрическими неравенствами, понимать их практический смысл.
Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие предметные результаты:
Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач.
Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач.
Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач.
Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины.
Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач.
Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах.
Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач.
Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного четырёхугольника при решении задач.
Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие предметные результаты:
Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных треугольников»).
Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами.
Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при решении геометрических задач.
Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов.
Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач.
Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах.
Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях.
Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ
К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
7 КЛАСС
| Код проверяемого результата | Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования |
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи. Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов |
| 6.2 | Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни, размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по порядку величины |
| 6.3 | Строить чертежи к геометрическим задачам |
| 6.4 | Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач |
| 6.5 | Проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем |
| 6.6 | Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников, свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических задач |
| 6.7 | Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой |
| 6.8 | Решать задачи на клетчатой бумаге |
| 6.9 | Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахождение углов |
| 6.10 | Владеть понятием геометрического места точек. Уметь определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек |
| 6.11 | Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач |
| 6.12 | Владеть понятием описанной около треугольника окружности, уметь находить её центр. Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке |
| 6.13 | Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого к точке касания |
| 6.14 | Пользоваться простейшими геометрическими неравенствами, понимать их практический смысл |
| 6.15 | Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки |
8 КЛАСС
| Код проверяемого результата | Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования |
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач |
| 6.2 | Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач |
| 6.3 | Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач |
| 6.4 | Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач |
| 6.5 | Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины |
| 6.6 | Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач |
| 6.7 | Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах |
| 6.8 | Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач |
| 6.9 | Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного четырёхугольника при решении задач |
| 6.10 | Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия
и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором) |
9 КЛАСС
| Код проверяемого результата | Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования |
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных треугольников»). Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений |
| 6.2 | Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами |
| 6.3 | Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при решении геометрических задач |
| 6.4 | Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире |
| 6.5 | Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной |
| 6.6 | Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов |
| 6.7 | Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач |
| 6.8 | Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах |
| 6.9 | Находить оси или центры симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях |
| 6.10 | Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия
и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором) |
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
7 КЛАСС
| Код
| Проверяемый элемент содержания
|
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Начальные понятия геометрии. Точка, прямая, отрезок, луч. Угол. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Ломаная, многоугольник. Параллельность и перпендикулярность прямых |
| 6.2 | Симметричные фигуры. Основные свойства осевой симметрии. Примеры симметрии в окружающем мире |
| 6.3 | Основные построения с помощью циркуля и линейки. Треугольник. Высота, медиана, биссектриса, их свойства |
| 6.4 | Равнобедренный и равносторонний треугольники. Неравенство треугольника |
| 6.5 | Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников |
| 6.6 | Свойства и признаки параллельных прямых. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника |
| 6.7 | Прямоугольный треугольник. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
| 6.8 | Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, неравенство о длине ломаной, теорема о большем угле и большей стороне треугольника. Перпендикуляр и наклонная |
| 6.9 | Геометрическое место точек. Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек |
| 6.10 | Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства. Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная и секущая к окружности |
| 6.11 | Окружность, вписанная в угол. Вписанная и описанная окружности треугольника |
8 КЛАСС
| Код | Проверяемый элемент содержания |
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Четырёхугольники. Параллелограмм, его признаки и свойства |
| 6.2 | Прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства |
| 6.3 | Трапеция, равнобокая трапеция, её свойства и признаки. Прямоугольная трапеция |
| 6.4 | Метод удвоения медианы. Центральная симметрия. Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках |
| 6.5 | Средние линии треугольника и трапеции. Центр масс треугольника |
| 6.6 | Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Применение подобия при решении практических задач |
| 6.7 | Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции |
| 6.8 | Свойства площадей геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур |
| 6.9 | Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге |
| 6.10 | Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора при решении практических задач |
| 6.11 | Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрические функции углов в 30°, 45° и 60° |
| 6.12 | Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы между хордами и секущими |
| 6.13 | Вписанные и описанные четырёхугольники |
| 6.14 | Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям |
9 КЛАСС
| Код | Проверяемый элемент содержания |
| 6 | Геометрия |
| 6.1 | Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения |
| 6.2 | Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов |
| 6.3 | Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов |
| 6.4 | Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной |
| 6.5 | Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство векторов, операции над векторами. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам |
| 6.6 | Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов |
| 6.7 | Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его применение |
| 6.8 | Правильные многоугольники |
| 6.9 | Длина окружности. Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей |
| 6.10 | Площадь круга, сектора, сегмента |
| 6.11 | Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления). Параллельный перенос. Поворот |
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
| Код проверяемого требования | Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования на основе ФГОС |
| 1 | Умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над множествами; умение оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, применять их при решении задач; умение использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов |
| 2 | Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство; умение распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний |
| 3 | Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и составное число, делимость натуральных чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная дробь и десятичная дробь, стандартный вид числа, рациональное число, иррациональное число, арифметический квадратный корень; умение выполнять действия с числами, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на координатной прямой, округлять числа; умение делать прикидку и оценку результата вычислений |
| 4 | Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический квадратный корень, многочлен, алгебраическая дробь, тождество; знакомство с корнем натуральной степени больше единицы; умение выполнять расчёты по формулам, преобразования целых, дробно-рациональных выражений и выражений с корнями, разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности квадратов и квадрата суммы и разности |
| 5 | Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с одной переменной, числовое неравенство, неравенство с переменной; умение решать линейные и квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения с одной переменной, системы двух линейных уравнений, линейные неравенства и их системы, квадратные и дробно-рациональные неравенства с одной переменной, в том числе при решении задач из других предметов и практических задач; умение использовать координатную прямую и координатную плоскость для изображения решений уравнений, неравенств и систем |
| 6 | Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции; умение оперировать понятиями: прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола; умение строить графики функций, использовать графики для определения свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; умение выражать формулами зависимости между величинами |
| 7 | Умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии; умение использовать свойства последовательностей, формулы суммы и общего члена при решении задач, в том числе задач из других учебных предметов и реальной жизни |
| 8 | Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, движение, работу, цену товаров и стоимость покупок и услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами); умение составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность полученных результатов |
| 9 | Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник, медиана, биссектриса и высота треугольника, четырёхугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, круг, касательная; знакомство с пространственными фигурами; умение решать задачи, в том числе из повседневной жизни, на нахождение геометрических величин с применением изученных свойств фигур и фактов |
| 10 | Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых, угол между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные треугольники, симметрия относительно точки и прямой; умение распознавать равенство, симметрию и подобие фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в окружающем мире |
| 11 | Умение оперировать понятиями: длина, расстояние, угол (величина угла, синус и косинус угла треугольника), площадь; умение оценивать размеры предметов и объектов в окружающем мире; умение применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, объема прямоугольного параллелепипеда; умение применять признаки равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника, теорему Пифагора, тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей |
| 12 | Умение изображать плоские фигуры и их комбинации, пространственные фигуры от руки, с помощью чертёжных инструментов и электронных средств по текстовому или символьному описанию |
| 13 | Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат; координаты точки, вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов; умение использовать векторы и координаты для представления данных и решения задач, в том числе из других учебных предметов и реальной жизни |
| 14 | Умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые диаграммы, таблицы, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора; умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений; умение распознавать изменчивые величины в окружающем мире |
| 15 | Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный эксперимент), элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, случайное событие, вероятность события; умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями; умение решать задачи методом организованного перебора и с использованием правила умножения; умение оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни; знакомство с понятием независимых событий; знакомство с законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях |
| 16 | Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи, приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление законов математики в искусстве, описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки, приводить примеры математических открытий и их авторов в отечественной и всемирной истории |
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ,
ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
| Код | Проверяемый элемент содержания |
| 1 | Числа и вычисления |
| 1.1 | Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел |
| 1.2 | Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби |
| 1.3 | Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными числами |
| 1.4 | Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами |
| 1.5 | Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений |
| 2 | Алгебраические выражения |
| 2.1 | Буквенные выражения (выражения с переменными) |
| 2.2 | Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени |
| 2.3 | Многочлены |
| 2.4 | Алгебраическая дробь |
| 2.5 | Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени |
| 3 | Уравнения и неравенства |
| 3.1 | Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений |
| 3.2 | Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств |
| 3.3 | Решение текстовых задач |
| 4 | Числовые последовательности |
| 4.1 | Последовательности, способы задания последовательностей |
| 4.2 | Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов |
| 5 | Функции |
| 5.1. | Функция, способы задания функции. График функции. Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке |
| 6 | Координаты на прямой и плоскости |
| 6.1 | Координатная прямая |
| 6.2 | Декартовы координаты на плоскости |
| 7 | Геометрия |
| 7.1 | Геометрические фигуры и их свойства |
| 7.2 | Треугольник |
| 7.3 | Многоугольники |
| 7.4 | Окружность и круг |
| 7.5 | Измерение геометрических величин |
| 7.6 | Векторы на плоскости |
| 8 | Вероятность и статистика |
| 8.1 | Описательная статистика |
| 8.2 | Вероятность |
| 8.3 | Комбинаторика |
| 8.4 | Множества |
| 8.5 | Графы |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
1. Математика. Геометрия: 7 – 9-е классы: базовый уровень: учебник/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14-е изд., перераб. – Москва: Просвещение, 2023. – 416 с.: ил.
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1. Математика. Геометрия: 7 – 9-е классы: базовый уровень: учебник/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14-е изд., перераб. – Москва: Просвещение, 2023. – 416 с.: ил.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ ИНТЕРНЕТ
1. Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/
2. https://uchitelya.com/matematika/
3. https://urok.1sept.ru/
4. https://resh.edu.ru/
5. https://4ege.ru/gia-matematika/
6.https://oge.fipi.ru/bank/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0
99 805
163 
