Рабочая программа учебного курса «Замечательные неравенства» для 10 класса является составной частью учебного плана образовательного учреждения, реализующего программы среднего (полного) образования. Рабочая программа отражает методику реализации программы учебного курса с учетом: обязательного минимума содержания учебной программы; максимального объема учебного материала для обучающихся; требований к уровню подготовки выпускников; объема часов учебной нагрузки, определенного учебным планом образовательного учреждения для реализации учебного курса. Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем, предлагает распределение предметных часов по разделам курса, последовательность изучения тем и разделов с учетом логики учебного процесса, возрастных особенностей учащихся. Рабочая программа позволяет сформировать у учащихся средней (полной) школы достаточно широкое представление о математической картине мира.
Рабочая программа включает: пояснительную записку; содержание курса с перечнем разделов с указанием минимального числа часов, отводимого на их изучение; тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности школьников; темы рефератов; учебно-методическое обеспечение обучения.
Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Предлагаемый курс дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов решения простых числовых неравенств, встречающихся в школьной программе до обоснования замечательных неравенств Коши–Буняковского, Чебышева и др. Курс представляет углубленное изучение теоретического материала. Запланированный данной программой объем знаний необходим для овладения обучающимися методами решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления, а также для ознакомления с некоторыми идеями такого раздела современной математики, как выпуклый анализ; решения примеров на установление истинности простейших и более сложных числовых неравенств, встречающихся на ЕГЭ по математике. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся и исследовательских навыков, намечает и использует целый ряд межпредметных связей (прежде всего с физикой). Материал курса позволяет показать учащимся как красоту и совершенство, так сложность и изощренность математических методов.
Программа курса для учащихся 10 классов рассчитана на 35 часов. Предполагается изучение данного курса в 10 по 1 ч в неделю (35 часов в год). В школе определена безоценочная система изучения данного курса.
Понятие положительного, отрицательного числа, числа нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства. Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функций и числовые неравенства.
Сравнение двух чисел — значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.
Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать) неравенства с параметрами. Банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей востребованности. Неравенство-следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры.
Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Исторический экскурс. Функциональное доказательство неравенства Коши. Примеры. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.
Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши—Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Примеры. Геометрическая интерпретация неравенства Коши—Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства.
Метод Штурма. Примеры. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.
| № урока | Тема урока | Дата проведения | Содержание обучения | Характеристика основных видов деятельности ученика на уроке | Домашнее задание |
| 1/1 | Строгие числовые неравенства и их свойства |
| Вводный инструктаж по ОТ в кабинете математики. Понятие положительного и отрицательного числа, числа нуль. Понятия «больше», «меньше» и их свойства | Знать/понимать: Свойства числовых неравенств и их доказательства Уметь: Применять свойства при решении задач | Записи |
| 2/2 | Нестрогие неравенства |
| Основные законы сложения и умножения чисел. Понятия «не больше», «не меньше», и их свойства | Знать/понимать: Свойства числовых неравенств и их доказательства Уметь: Формулировать и доказывать аналоги свойств для нестрогих неравенств | Записи |
| 3/1 | Сравнение значений двух числовых выражений |
| Сравнение двух числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей | Знать/понимать: Неоднозначность и многообразие задания одного и того же действительного числа как значения числового выражения Уметь: Применять переходы при решении задач | Записи |
| 4/2 | Сравнение значений двух числовых выражений |
| Сравнение двух числовых выражений путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточным числом | Знать/понимать: Метод «промежуточного числа» Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 5/3 | Метод вспомогательной функции |
| Свойство монотонности функции как генератор числовых неравенств. Изучение поведения производной исследуемой функции | Знать/понимать: Свойство монотонности функции Уметь: Применять свойство при решении задач | Записи |
| 6/4 | Использование свойств определенного интеграла |
| Неравенство Коши от двух переменных. Понятие и свойства определенного интеграла, его геометрическая интепритация | Знать/понимать: Определенный интеграл и его свойства Уметь: Применять свойства при решении задач | Записи |
| 7/5 | Решение задач на доказательство числовых неравенств |
| Совершенствование навыков решения числовых неравенств | Знать/понимать: Методы решения задач на доказательство числовых неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 8/1 | Неравенства с переменными |
| Понятия неравенства с переменными, его решения и нерешения, неравенства-следствия, равносильных неравенств, области определения и области истинности неравенства | Знать/понимать: Основные виды преобразований неравенства, приводящих к получению равносильного ему неравенства Уметь: Иллюстрировать изученные понятия примерами | Записи |
| 9/2 | Методы анализа и синтеза в решении задач |
| Рассмотреть методы анализа и синтеза для решения задач | Знать/понимать: Методы установления истинности неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 10/3 | Метод «от противного» и метод использования тождеств |
| Рассмотреть методы «от противного» и использования тождеств для доказательства неравенств | Знать/понимать: Методы установления истинности неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 11/4 | Метод оценивания и метод введения новых переменных |
| Рассмотреть методы оценивания и введения новых переменных для доказательства неравенств | Знать/понимать: Методы установления истинности неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 12/5 | Метод вспомогательных функций |
| Рассмотреть метод вспомогательных функций для доказательства неравенств | Знать/понимать: Свойства линейной и квадратичной функций Уметь: Применять свойства при решении задач | Записи |
| 13/6 | Методы упрощения задач на доказательство неравенств с переменными |
| Рассмотреть метод уменьшения числа переменных и понижения степени и метод моделей для доказательства неравенств | Знать/понимать: Приемы перехода от данного неравенства с переменными к более простому для обоснования Уметь: Применять переходы при решении задач | Записи |
| 14/7 | Некоторые частные случаи неравенства Коши |
| Рассмотреть частные случаи неравенства Коши и их применение | Знать/понимать: Неравенство Коши для 3 и 4 переменных Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 15/8 | Применение неравенства Коши |
| Применение неравенства Коши для нахождения наибольших и наименьших значений исследуемой функции | Знать/понимать: Запись неравенства Коши для 2, 3, 4 и большего числа переменных
Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 16/9 | Решение задач на доказательство неравенств с переменными |
| Совершенствование навыков решения неравенств с переменными | Знать/понимать: Методы решения задач на доказательство неравенств с переменными Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 17/1 | Метод перебора всех вариантов |
| Понятие индукции вообще и в математике в частности. Принцип математической индукции и некоторые ее модификации | Знать/понимать: Метод перебора всех вариантов Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 18/2 | Аксиома, принцип и метод математической индукции |
| Система аксиом Пеано. Аксиома математической индукции. Несколько вариантов принципа математической индукции | Знать/понимать: Метод математической индукции Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 19/3 | Теоремы о сравнениях соответствующих членов двух последовательностей |
| Сформулировать и доказать теоремы о сравнениях соответствующих членов двух последовательностей | Знать/понимать: Формулировки теорем Уметь: Применять теоремы при решении задач | Записи |
| 20/4 | Неравенство Коши для произвольного числа переменных |
| Доказательство неравенства Коши для произвольного числа переменных двумя способами | Знать/понимать: Неравенство Коши для произвольного числа переменных Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 21/5 | Неравенство Коши для произвольного числа переменных |
| Некоторые неравенство, эквивалентные неравенству Коши. Доказательство неравенства Бернулли | Знать/понимать: Неравенство Коши, неравенство Бернулли Уметь: Применять неравенства при решении задач | Записи |
| 22/6 | Решение задач на доказательство неравенств |
| Совершенствование навыков доказательства неравенств | Знать/понимать: Методы решения задач на доказательство неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 23/7 | Решение задач на доказательство неравенств |
| Совершенствование навыков доказательства неравенств | Знать/понимать: Методы решения задач на доказательство неравенств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 24/1 | Неравенство Коши-Буняковского |
| Понятие угла между векторами. Сформулировать и обосновать теорему, устанавливающую соотношение Коши-Буняковского | Знать/понимать: Неравенство Коши-Буняковского, тождество Лагранжа Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 25/2 | Векторный вариант неравенства Коши-Буняковского |
| Геометрическая интерпретация неравенства Коши-Буняковского и векторный вариант записи этого неравенства. | Знать/понимать: Тригонометрические подстановки Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 26/3 | Применение неравенства Коши-Буняковского |
| Решение задач на применение неравенства Коши-Буняковского | Знать/понимать: Доказательство неравенства Коши-Буняковского Уметь: Применять неравенство при решении задач | Записи |
| 27/4 | Решение задач на доказательство неравенств |
| Совершенствование навыков доказательства неравенств | Знать/понимать: Основные методы решения задач на доказательство неравенств Уметь: Решать простейшие задачи на доказательство неравенств | Записи |
| 28/5 | Решение задач на доказательство неравенств |
| Совершенствование навыков доказательства неравенств | Знать/понимать: Основные методы решения задач на доказательство неравенств Уметь: Решать простейшие задачи на доказательство неравенств | Записи |
| 29/1 | Метод Штурма |
| Рассмотреть метод Штурма для обоснования неравенств | Знать/понимать: Методы доказательства условных тождеств Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 30/2 | Метод выравнивания и метод раздвигания |
| Рассмотреть методы выравнивания и раздвигания значений переменных для обоснования неравенств | Знать/понимать: Методы доказательства условных тождеств Уметь: Применять методы при решении задач | Записи |
| 31/3 | Свойство симметричности функций |
| Рассмотреть метод использования симметричности для обоснования неравенств | Знать/понимать: Симметрическая функция для n = 2, 3 и в общем виде. Симметричное неравенство Уметь: Применять свойство при решении задач | Записи |
| 32/4 | Свойство однородности функций |
| Рассмотреть метод однородности левой и правой частей для обоснования неравенств | Знать/понимать: Понятие однородности функции и её порядка Уметь: Применять свойство при решении задач | Записи |
| 33/5 | Методы доказательства циклических неравенств |
| Рассмотреть метод цикличности левой и правой частей для обоснования неравенств | Знать/понимать: Понятие циклического неравенства для n = 2, 3 и в общем виде. Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 34/6 | Приемы установления геометрических неравенств |
| Рассмотреть геометрический метод обоснования неравенств | Знать/понимать: Геометрический метод обоснования неравенств Уметь: Применять метод при решении задач | Записи |
| 35/7 | Условные тождества и условные неравенства |
| Простейшие приемы обоснования условных тождеств и условных неравенств | Знать/понимать: Методы доказательства условных тождеств Уметь: Применять методы при решении задач |
|
1 169
57 824 
