Расчет количества вариантов: формулы перемножения и сложения количества вариантов. Количество текстов данной длины в данном алфавите
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы выбора или расположения элементов множества в соответствии с заданными правилами
Правило сложения «ИЛИ»
Если объект A можно получить n способами, объект B можно получить m способами и эти способы различны, то объект «A или B» можно получить n+m.
Если объект A можно получить n способами, объект B можно получить m способами, то объект «A или B» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.
Если в условии задачи звучит «ИЛИ», то выбираем закон сложения
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только один элемент
Правило сложения «ИЛИ»
Задание 1.
Студент должен выполнить практическую работу по физике. Ему предложили на выбор 19 тем по механике и 10 тем по электродинамике. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы ?
Решение
19+10=29 вариантов
Задание 2.
Пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить один шарик из одного из этих ящиков ?
Решение
n+m способов
Правило умножения
Если при составлении комбинации из двух элементов вида (A, B) первый элемент можно выбрать n способами, а затем второй – m способами, то различных комбинаций вида (A, B) можно выбрать m × n способами.
Задание 3.
Сколько чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если число должно быть двузначным ?
Решение
Первую цифру числа можем выбрать 9 способами, а вторую десятью способами
9*10=90 вариантов
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.
Правило умножения
Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 3, 5, 7, 8, 9 ?
Цифры в записи чисел не повторяются.
Задание 4.
Решение
На первом месте должна стоять запись любой из цифр
3, 5, 7, 8, 9 – всего 5 способов.
На втором – снова какая-нибудь из 5 (среди них может уже быть цифра 0).
На третьем любая из 4 , что остались после записи первых двух цифр числа.
Всего
5 ∙ 5 ∙ 4 = 100 разных способов трёхзначных чисел.
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько их существует.
Количество различных текстов данной длины в данном алфавите
максимально возможное количество комбинаций (слов) фиксированной длины определенного алфавита
N = m k
m – это количество символов в алфавите .
k – это длина слова
Количество различных текстов данной длины в данном алфавите
Задание 5.
В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв.
Определите максимально возможное количество составленных слов.
N = m k
m – это количество символов в алфавите .
k – это длина слова
Количество различных текстов данной длины в данном алфавите
Задание 6.
В алфавите папуасов содержится 3 буквы. Один из папуасов составил слова из 5 букв.
Определите максимально возможное количество составленных слов.
N = m k =3 5 =243
m – это количество символов в алфавите .
k – это длина слова
Количество различных текстов данной длины в данном алфавите
Задание 7.
Определить количество различных последовательностей, которые можно составить с помощью
двоичных слов, состоящих из шести символов (знакомест). Ответ:64
Задание 8.
Определить количество различных последовательностей из символов “a”, “b”, “c”, “%”, “&” длиной в четыре символа. Ответ:625
Задание 9.
Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в английском языке? Ответ:17576
Задание 10.
Сколько существует всевозможных трехбуквенных слов в русском языке? Ответ:35937
Домашняя работа
1. Пять учеников участвуют в концерте. Сколькими способами их можно расположить в списке участников ?
а) 124; б) 118;
в) 120; г) 121.
3. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7 ?
а) 22; б) 25;
в) 18; г) 20.
2. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных ?
а) 670; б) 650;
в) 646; г) 654.
Выучить определения и формулы