Расстояние от точки до плоскости. Метод координат.

Расстояние от точки до плоскости

Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости ( типовые задачи С2)

Подготовила:

учитель математики

МОУ «Гимназия №1»

г. Железногорска Курской области

Агашкова Н.А.

План проведения занятий.

• Нахождение расстояния от точки до плоскости по определению. Построение перпендикуляра к плоскости на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.
• Нахождение расстояния от точки до плоскости по определению. Построение перпендикуляра к плоскости на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.
• Нахождение расстояния от точки до плоскости. Построение перпендикуляра к плоскости на основании свойства перпендикулярных плоскостей.
• Нахождение расстояния от точки до плоскости. Построение перпендикуляра к плоскости на основании свойства параллельности прямой и плоскости.
• Нахождение расстояния от точки до плоскости методом объемов.

• Нахождение расстояния от точки до плоскости методом координат.

Метод координат – это один из самых универсальных методов геометрии. В принципе почти любую геометрическую задачу можно решить методом координат. Однако, попытки решать каждую задачу только координатным методом (имеются в виду, конечно, те задачи, в условии которых не говорится о координатах) часто приводят к тому, что даже простая геометрическая задача становится очень сложной алгебраической.

Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат, т.е. выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в условии задачи, или оси симметрии (если они есть) фигур, рассматриваемых в задаче. Желательно, чтобы выбранная система координат естественным образом определялась условием задачи.

Следует отметить, что при решении задачи координатным методом выпускник должен получить правильный ответ, и только тогда его решение будет оценено в 2 балла. В противном случае его решение не соответствует приведенным критериям и будет оценено в 0 баллов.

Метод координат

Метод координат можно использовать, вычисляя:

• расстояние между двумя точками;
• расстояние от точки до прямой;
• расстояние от точки до плоскости;
• угол между прямой и плоскостью;
• угол между плоскостями;
• расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расположение относительно прямоугольной системы координат некоторых видов многогранников, наиболее часто используемых в задачах.

Расположение прямоугольной системы координат для куба

C

B

y

a

z

C ₁

B ₁

А

D

А ₁

D ₁

a

x

a

C

B

y

А

D

a

x

6

Расположение прямоугольной системы координат для куба

B

C

O

z

y

C ₁

B ₁

D

A

D ₁

А ₁

x

a

B

C

O

y

А

D

a

x

Расположение прямоугольной системы координат для куба

z

C

B

B ₁

C ₁

O

А ₁

D ₁

D

A

x

y

a

B

C

O

a

D

А

x

y

∆ AOD - прямоугольный

Расположение прямоугольной системы координат для прямоугольного параллелепипеда

A

B

z

y

b

A 1

B 1

C 1

D 1

D

C

a

c

x

b

B

A

a

y

D

C

x

Расположение прямоугольной системы координат для прямоугольного параллелепипеда

A

B

z

O

B 1

A 1

y

D 1

C 1

C

D

x

c

b

B

A

O

a

D

y

C

x

Правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁ , сторона основания которой равна a , а боковое ребро b.

x

z

B

C ₁

K

A ₁

B ₁

a

b

C

M

A

O

y

a

A

∆ AKB - прямоугольный

C

y

a

x

B

Другой вариант расположения правильной треугольной призмы относительно прямоугольной системы координат

z

C ₁

A ₁

x

B

B ₁

b

a

C

A

O

A

O

y

C

y

a

B

x

12

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , сторона основания которой равна a , а боковое ребро b.

z

B ₁

C₁

y

D

D₁

А ₁

E

C

F₁

E₁

а

O

b

К

B

30⁰

F

x

а

C

B

y

A

А

D

a

F

E

x

Другой вариант расположения правильной шестиугольной призмы относительно прямоугольной системы координат

z

у

B ₁

C₁

a

D

А ₁

D₁

О₁

C

E

E₁

F₁

M

K

х

O

b

B

F

B

C

-a

A

y

О

А

D

a

E

F

x

Правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания которой равна а, а высота h.

y

z

B

S

a

Н

C

A

h

x

O

B

y

C

∆ АОВ- прямоугольный

H

a

O

A

x

15

Другой вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно прямоугольной системы координат

x

z

K

S

C

a

H

h

B

P

A

a

A

B

y

O

y

∆ АКС- прямоугольный

H

a

C

x

Еще один вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно прямоугольной системы координат

y

z

S

B

a

O

x

B

C

y

A

C

Р

O

a

P

A

x

Правильная четырехугольная пирамида SABCD, сторона основания которой равна а, а высота h.

y

z

a

C

B

S

H

D

A

h

O

x

a

B

A

y

a

Н

D

C

x

Другой вариант расположения правильной четырехугольной пирамиды относительно прямоугольной системы координат

y

z

C

B

S

O

x

D

A

h

B

A

y

a

O

D

C

x

Еще один вариант расположения правильной четырехугольной пирамиды относительно прямоугольной системы координат

A

B

z

S

O

D

C

h

B

A

∆ ADC- прямоугольный, AD=DC

a

O

D

x

C

y

20

Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, сторона основания которой равна а, а высота h.

z

у

a

C

S

B

D

K

M

х

O

E

A

h

-a

F

E

D

C

F

у

O

a

B

A

х

Другой вариант расположения правильной шестиугольной пирамиды относительно прямоугольной системы

координат.

y

C

z

B

D

S

O

К

E

30⁰

x

A

а

F

h

∆ EKF-прямоугольный

E

- по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰

D

y

F

C

O

a

B

A

x

Расстояние от точки М(x 0 ;y 0 ;z 0 )до плоскости ax + by + cz + d = 0.

Например:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости имеет вид

Числа a, b, c находим из системы уравнений

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

- уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, найти расстояние от точки А ₁ до плоскости BDC₁

z

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб

АА₁=1

(BDC ₁ )- секущая плоскость

Найти: ρ (А₁; BDC₁)

Решение:

• Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В.

BA - ось абсцисс (Ox)

ВС- ось ординат (Oy)

ВВ₁- ось аппликат (Oz)

B ₁

C ₁

А ₁

D ₁

1

C

B

y

А

D

1

x

26

z

Сделаем выносной рисунок

C ₁

B ₁

C

B

D ₁

А ₁

y

1

1

А

B

C

D

1

y

А

x

D

1

x

• Составим уравнение плоскости проходящей через точки В, D и С₁
• Найдем координаты этих точек:

В (0;0;0),

D (1;1;0),

С ₁ (0;1;1)

4) Подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости:

z

Получим систему уравнений

C ₁

B ₁

А ₁

D ₁

1

B

C

y

А

D

1

x

Отсюда находим уравнение плоскости

- уравнение плоскости BDC ₁

z

5) Найдем искомое расстояние по формуле:

где М (х ₀ ; у ₀ ; z ₀ )

плоскость α задана уравнением

C ₁

B ₁

D ₁

А ₁

1

• А ₁ (1;0;1)

Значит, x₀=1, y₀=0, z₀=1

B

C

y

А так как уравнение плоскости BDC ₁ имеет вид

А

D

1

x

Ответ:

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра

равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA₁.

z

Дано:

ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁- правильная шестиугольная призма

AA₁=AF=1

(DEA₁)- секущая плоскость

Найти: ρ(B; DEA₁)

Решение:

• Введем систему координат с началом в точке В

BF- ось абсцисс

BC- ось ординат

BB₁- ось аппликат

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки D, E и A₁.

3) Найдем координаты этих точек.

BF ┴ BC по свойству правильного шестиугольника, то

C₁

B ₁

А ₁

D₁

F₁

E₁

1

C

B

y

D

А

1

F

E

x

Значит,

z

В

C₁

B ₁

y

С

D₁

А ₁

1

30 ⁰

О

E₁

F₁

К

А

D

1

Е

F

B

C

y

x

∆ FAB- равнобедренный, с основанием BF.

Проведем в ∆FAB медиану АК(высота)

А

D

1

F

E

x

- по свойству катета, лежащего напротив угла в 30⁰

z

В

B ₁

C₁

y

С

А ₁

D₁

1

30 ⁰

О

E₁

К

F₁

А

D

1

Е

F

C

B

y

x

По теореме Пифагора:

D

А

1

F

E

x

4) Подставим координаты точек E, D и А₁ в общее уравнение плоскости

Получим систему уравнений

(для точки Е)

(для точки D)

(для точки A₁)

«+»

Отсюда находим уравнение плоскости

- уравнение плоскости DEA₁

5)Найдем искомое расстояние по формуле

где М(x₀;y₀;z₀), плоскость α задана уравнением

6) B(0;0;0), значит х₀=0, y₀=0, z₀=0

Ответ:

Второй способ выбора системы координат

z

• Введем систему координат с началом в точке О.

О- центр правильного шестиугольника.

ОК - ось абсцисс, К- середина ЕF

OD - ось ординат

OO ₁ - ось аппликат

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки D, E и A

3) Найдем координаты этих точек.

ОD- радиус описанной окружности около правильного шестиугольника.

ОК- радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник.

B ₁

C₁

А ₁

D₁

О₁

E₁

F₁

1

B

C

y

О

А

D

1

E

F

К

x

С

В

1

Р

О

А

D

1

Е

F

К

4) Подставим координаты точек Е, D и А₁ в общее уравнение плоскости

ax+by+cz+d=0

Получим систему уравнений

z

B ₁

C₁

А ₁

D₁

О₁

E₁

F₁

1

B

C

y

О

А

D

1

E

F

К

x

Отсюда находим уравнение:

5) Найдем искомое расстояние по формуле

, где М (х ₀ ; у ₀ ;z₀),

плоскость задана уравнением

ах + by + cz +d=0

• , значит

z

B ₁

C₁

А ₁

D₁

О₁

F₁

E₁

1

C

B

y

О

А

D

1

E

F

К

x

z

C₁

B ₁

А ₁

D₁

О₁

E₁

F₁

1

B

C

y

О

А

D

1

E

F

К

x